Linee in forma parametrica: regolarita' e rettificabilita'
Buongiorno,
vorrei per favore una precisazione su due aspetti riguardanti le linee in forma parametrica.
Regolarita'.
Stando ad alcuni testi/autori trovati in rete, una linea e' regolare se le sue componenti sono derivabili con continuità e se il vettore tangente non e' mai nullo in tutto l'intervallo di definizione del parametro.
Altri invece, oltre alle due citate condizioni, aggiungono anche che la linea sia iniettiva (priva di autointersezioni).
Rettificabilita'.
Anche su questo aspetto, alcuni autori chiedono come condizione sufficiente per la rettificabilita` che la linea abbia le componenti derivabili con continuità mentre altri chiedono ''di piu''', cioe' chiedono che la linea sia regolare nel senso di sopra.
Potete aiutarmi a capire meglio?
Vi ringrazio
vorrei per favore una precisazione su due aspetti riguardanti le linee in forma parametrica.
Regolarita'.
Stando ad alcuni testi/autori trovati in rete, una linea e' regolare se le sue componenti sono derivabili con continuità e se il vettore tangente non e' mai nullo in tutto l'intervallo di definizione del parametro.
Altri invece, oltre alle due citate condizioni, aggiungono anche che la linea sia iniettiva (priva di autointersezioni).
Rettificabilita'.
Anche su questo aspetto, alcuni autori chiedono come condizione sufficiente per la rettificabilita` che la linea abbia le componenti derivabili con continuità mentre altri chiedono ''di piu''', cioe' chiedono che la linea sia regolare nel senso di sopra.
Potete aiutarmi a capire meglio?
Vi ringrazio
Risposte
Cosa esattamente vuoi capire? Perché queste definizioni sono diverse?
Semplicemente perché sono diversi i contesti in cui la nozione è usata. A volte l'assenza di autointersezioni è una richiesta ragionevole, perché altrimenti lo spazio risultante non è una varietà. A volte la derivabilità in ogni punto è sufficiente a dimostrare delle cose, ma quando le curve che studi sono immerse in una varietà liscia preferisci considerare lisce anche loro. La rettificabilità è la condizione di finitezza di un integrale; a volte questo integrale può non convergere se le curve che integri sono troppo patologiche (un esempio eminente è quando sono space filling).
Semplicemente perché sono diversi i contesti in cui la nozione è usata. A volte l'assenza di autointersezioni è una richiesta ragionevole, perché altrimenti lo spazio risultante non è una varietà. A volte la derivabilità in ogni punto è sufficiente a dimostrare delle cose, ma quando le curve che studi sono immerse in una varietà liscia preferisci considerare lisce anche loro. La rettificabilità è la condizione di finitezza di un integrale; a volte questo integrale può non convergere se le curve che integri sono troppo patologiche (un esempio eminente è quando sono space filling).
Ti porto un esempio.
Supponiamo di voler calcolare la lunghezza della curva piana detta ''asteroide''. Essa non e' regolare perche' il vettore tangente si annulla nei 4 punti di intersezione con gli assi cartesiani. Pero' le sue componenti sono derivabili con continuita'.
Quindi per i ''fautori'' della rettificabilita' previa regolarita' non sussitono le condizioni sufficienti (e devono quindi ripegare nella regolarita` a tratti dell'asteroride) mentre per i ''fautori'' della rettificabilita' previa derivabilita' sussistono.
Perche?
Grazie
Supponiamo di voler calcolare la lunghezza della curva piana detta ''asteroide''. Essa non e' regolare perche' il vettore tangente si annulla nei 4 punti di intersezione con gli assi cartesiani. Pero' le sue componenti sono derivabili con continuita'.
Quindi per i ''fautori'' della rettificabilita' previa regolarita' non sussitono le condizioni sufficienti (e devono quindi ripegare nella regolarita` a tratti dell'asteroride) mentre per i ''fautori'' della rettificabilita' previa derivabilita' sussistono.
Perche?
Grazie
Perché uno sceglie la definizione che gli fa più comodo. Mica devo ricordarti che(*) per gli analisti i naturali cominciano da 1 mentre per gli algebristi partono da 0?
Quello che importa è che non sia contraddittoria.
Intanto l'unica cosa che conta è la pars definiens.
Se decido di chiamare proprietà "ciccio" il fatto che una funzione (reale di variabile reale) sia continua su tutto $RR$ e inoltre valga 7 nel punto 64, che male c'è? E se tu invece chiami "ciccio" le funzioni continue che però nel punto 13 valgono 0, mica ti posso dire che la tua è sbagliata. Tutt'al più, nella nostra corrispondenza potremmo aggiungere dei suffissi, tipo FP e MM, giusto per non incasinarci. E così stiamo scivolando verso considerazioni utilitaristiche, che però sono importanti per la proliferazione e sopravvivenza di una definizione.
[size=85](*) sto un po' semplificando, ma non troppo[/size]
Quello che importa è che non sia contraddittoria.
Intanto l'unica cosa che conta è la pars definiens.
Se decido di chiamare proprietà "ciccio" il fatto che una funzione (reale di variabile reale) sia continua su tutto $RR$ e inoltre valga 7 nel punto 64, che male c'è? E se tu invece chiami "ciccio" le funzioni continue che però nel punto 13 valgono 0, mica ti posso dire che la tua è sbagliata. Tutt'al più, nella nostra corrispondenza potremmo aggiungere dei suffissi, tipo FP e MM, giusto per non incasinarci. E così stiamo scivolando verso considerazioni utilitaristiche, che però sono importanti per la proliferazione e sopravvivenza di una definizione.
[size=85](*) sto un po' semplificando, ma non troppo[/size]
pars*
"megas_archon":
pars*
Grazie, ho corretto
[ot]
io per non sapere né leggere né scrivere non scrivo mai \(\mathbb N\). Scrivo sempre \(\mathbb N_{\ge 0}\) o \(\mathbb N_{\ge 1}\).[/ot]
"Fioravante Patrone":
Mica devo ricordarti che(*) per gli analisti i naturali cominciano da 1 mentre per gli algebristi partono da 0?
io per non sapere né leggere né scrivere non scrivo mai \(\mathbb N\). Scrivo sempre \(\mathbb N_{\ge 0}\) o \(\mathbb N_{\ge 1}\).[/ot]
[ot]
A questo punto perchè non \(\mathbb Z_{\ge 0}\) o \(\mathbb Z_{\ge 1}\)?[/ot]
"dissonance":
io per non sapere né leggere né scrivere non scrivo mai \(\mathbb N\). Scrivo sempre \(\mathbb N_{\ge 0}\) o \(\mathbb N_{\ge 1}\).
A questo punto perchè non \(\mathbb Z_{\ge 0}\) o \(\mathbb Z_{\ge 1}\)?[/ot]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo