Lineare indipendenza della delta di dirac e sua derivata

[mikhael]

Salve a tutti,
come faccio a dimostrare che la delta di dirac e la sua derivata prima sono linearmente indipendenti?
Grazie.

[gugo82]

Come al solito... Supponi che una combinazione lineare di \(\delta\) e \(\delta^\prime\), diciamola \(a\delta +b\delta^\prime\), sia la distribuzione nulla e cerca di provare che da ciò segue necessariamente \(a=0=b\).

[mikhael]

Allora parto dalla uguaglianza:
$a\delta(t) +b\delta'(t)=0$ con $t in RR$, $a,b in RR$
Integrando ambo i membri in $(-oo,+oo)$ ottengo $a=0$, tenendo conto del fatto che
$\int_{-oo}^{+oo}\delta(t) dt =1$ e $\int_{-oo}^{+oo}\delta'(t) dt =0$, giungendo così a
$b\delta'(t)=0$.
Affinché possa valere l'ultima uguaglianza per $AA t in RR$ deve aversi necessariamente che $b=0$, altrimenti si avrebbe un risultato non nullo se fosse $b!=0$ e $t=0$.
E' questa una possibile strada?

[gugo82]

Se continui a trattare \(\delta\) e \(\delta^\prime\) come funzioni non ci riesci.
Come certamente saprai, tali due oggetti sono distribuzioni "non regolari", quindi non possono essere identificate con funzioni \(L_{\text{loc}}^1\).

Prova ad usare le definizioni di \(\delta\) e \(\delta^\prime\)...

[mikhael]

Scusami ma non so cosa sia una distribuzione. L'esame in questione non è di matematica ma riguarda l'analisi dei segnali e dei sistemi e lo studio lo faccio dal libro consigliato dal prof. Qui si dice naturalmente che il delta di Dirac è una distribuzione (studieremo cosa sono le distribuzioni ma in esami successivi a questo) e può essere introdotto (in maniera "intuitiva ma informale") come il limite per $n rightarrow +oo$ di un'opportuna successione $f_n (t)$ con $n in NN$ e $t in RR$ tale che il sottografico abbia area unitaria e $f_n(t)=n^2*(t+1/n)$ per $-1/n <=t<0$, $f_n(t)=n^2*(1/n -t) $ per $0 <=t<1/n$ e $0$ altrove.
La derivata prima dell'impulso di Dirac viene invece introdotto come il limite per $n rightarrow +oo$ di $d/dt f_n(t)$.
In base a queste premesse, fino a che punto posso dimostrare la lineare indipendenza, sempre che sia possibile?
Grazie.

[Sk_Anonymous]

gugo82, correggimi se sbaglio. Siccome il supporto di entrambe è $t=0$, per avere la distribuzione nulla è necessario che entrambi i coefficienti siano nulli. Può andare?

[gugo82]

@spacetime: Non hai i prerequisiti matematici... Insomma, se non sai nemmeno cosa sono le distribuzioni, è difficile andare avanti in maniera sensata.

Ad ogni modo, ecco come si può procedere:

Inizio con un po' di teoria.

Una distribuzione è un funzionale lineare continuo che agisce sullo spazio \(C_c^\infty (\mathbb{R})\) delle funzioni regolari a supporto compatto, ossia una qualsiasi applicazione \(F:C_c^\infty (\mathbb{R}) \ni \phi \mapsto \langle F,\phi \rangle \in \mathbb{R}\) che soddisfa le seguenti due condizioni:

(linearità) \( \forall a,b\in \mathbb{R},\ \forall \phi,\psi \in C_c^\infty (\mathbb{R}),\quad \langle F, a\phi+b\psi\rangle=a\langle F,\phi \rangle+ b\langle F,\psi\rangle\);

(continuità) \(\forall (\phi_n)_n\subset C_c^\infty (\mathbb{R})\) tale che i supporti delle \(\phi_n\) sono tutti contenuti dello stesso compatto e tale che (per ogni \(k\)), \(\phi_n^{(k)}\to 0\) uniformemente, risulta \(\langle F,\phi_n\rangle \to 0 \).

In particolare, la delta di Dirac è il funzionale definito dalla seguente uguaglianza:
\[\langle \delta ,\phi \rangle :=\phi (0) \; .\]

La classe delle distribuzioni \(\mathfrak{D}\) si può dotare della struttura di spazio vettoriale ponendo per definizione:
\[\forall F,G\in \mathfrak{D},\quad \langle F+G,\phi \rangle:=\langle F,\phi\rangle +\langle G,\phi\rangle\; ,\]
\[\forall F\in \mathfrak{D},\ \forall a\in \mathbb{R},\quad \langle aF,\phi\rangle :=a\langle F,\phi\rangle \; ,\]
quindi ha senso parlare di combinazione lineare di due (o più) distribuzioni.

Si vede facilmente che ogni funzione \(f\in L_{\text{loc}}^1\) determina una distribuzione, ma non vale in generale il viceversa (ossia non tutte le distribuzioni sono determinate da funzioni di \(L_{\text{loc}}^1\)): le distribuzioni che "provengono" da funzioni \(L_{\text{loc}}^1\) si dicono regolari; le altre diconsi non regolari.
Si dimostra che la \(\delta\) è una distribuzione non regolare.
Quindi, in un certo senso, si può sempre pensare che \(L_{\text{loc}}^1 \subset \mathfrak{D}\), con l'inclusione stretta; ciò, tra le altre cose, permette a voi ingegneri di scrivere senza troppi patemi amenità come:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (x)\ \phi(x)\ \text{d} x=\phi(0)\]
per evitare la notazione "astratta" \(\langle \delta ,\phi\rangle =\phi(0)\).

La derivata prima di una distribuzione \(F\) è la distribuzione \(F^\prime\) definita dall'uguaglianza:
\[\langle F^\prime ,\phi \rangle :=- \langle F, \phi^\prime \rangle \; ;\]
tale uguaglianza si può giustificare facilmente se \(F\) è determinata da una funzione \(f\in C^1\cap L_{\text{loc}}^1\), ma in ciò non mi voglio addentrare.
Conseguentemente la \(\delta^\prime\) è la distribuzione definita ponendo:
\[ \langle \delta^\prime ,\phi \rangle =-\phi^\prime (0)\]
ed è anch'essa non regolare.

***

Detto ciò, veniamo a noi.
Supponiamo che \(F=a\delta +b\delta^\prime\) sia la distribuzione nulla (che è l'unica che associa \(\phi \mapsto 0\) ad ogni \(\phi \in C_c^\infty\)); fissata ad arbitrio una funzione \(\phi \in C_c^\infty\) deve allora aversi:
\[ \begin{split} 0&=\langle a\delta +b\delta^\prime ,\phi\rangle \\ &= a\langle \delta ,\phi \rangle +b\langle \delta^\prime, \phi \rangle \quad \text{(definizione di combinazione lineare di distribuzioni)}\\ &=a\phi(0)-b\phi^\prime (0) \quad \text{(definizione di } \delta \text{ e } \delta^\prime \text{)}\; \end{split}\]
e, se chiamiamo per comodità \(\phi (0)=X,\ \phi^\prime (0)=Y\), la precedente ci dice che \(aX-bY=0\).
La tesi (che è \(a=0=b\)) si ottiene se si riesce a far vedere che le variabili \(X,Y\) possono assumere indipendentemente l'una dall'altra i valori \(0\) ed \(1\): infatti, se ciò effettivamente accade, dall'uguaglianza \(aX-bY=0\) scritta prima per \(X=1,Y=0\) e poi per \(X=0,Y=1\) si ricava immediatamente \(a=0=b\).
Dobbiamo quindi chiederci se esistono funzioni regolari a supporto compatto \(\phi,\psi\) tali che \(\phi(0)=1,\ \phi^\prime (0)=0\) e \(\psi(0)=0,\ \psi^\prime (0)=1\)... Ma la risposta a questa domanda è affermativa e basta giocare un po' con le funzioni regolari per accorgersene*, quindi si ha \(a=0=b\) e perciò \(\delta\) e \(\delta^\prime\) sono linearmente indipendenti.

__________
* Permettimi di glissare sui conti, giacché non mi va di farli. Ti chiedo solo di fidarti.

@speculor: Potrei dirti che va bene, ma al momento non ricordo bene le proprietà del supporto di una distribuzione... Se fossi un po' più esplicito forse sarebbe meglio.