Limiti notevoli
ciaoo! vi chiedo una mano nle capire come risolvere questo limite:
$lim_(x \to \infty)(1+ sin(1/x))^(2x+1)$
se pongo $t= sin (1/x)$ risolvo una parte però non riesco a concludere a causa dell'esponente $2x+1$
$lim_(x \to \infty)(1+ sin(1/x))^(2x+1)$
se pongo $t= sin (1/x)$ risolvo una parte però non riesco a concludere a causa dell'esponente $2x+1$
Risposte
Usa le proprietà delle potenze.
si ok trovo$lim_(t \to \infty)(1+1/t)^((2x+1)/t)$
il mio problema è che mi trovo dopo con $(2x+1)(sin(1/x))$ e non so come agire...
il mio problema è che mi trovo dopo con $(2x+1)(sin(1/x))$ e non so come agire...
segui il consiglio di ciampax ....
Credo che Antimus volesse dire che puoi usare la proprietà [tex]$[f(x)]^{g(x)}=e^{g(x)\cdot\log f(x)}$[/tex]
fa $\infty$ giusto?
No, fa [tex]$e^2$[/tex]. Infatti puoi scrivere, definendo [tex]$\exp(t)=e^t$[/tex]
[tex]$\lim_{x\to\infty}\exp\left[(2x+1)\log\left(1+\sin\frac{1}{x}\right)\right]=$[/tex] (posto [tex]$t=1/x,\ t\to 0$[/tex])
[tex]$=\lim_{t\to 0}\exp\left[\left(\frac{2}{t}+1\right)\log\left(1+\sin t\right)\right]=$[/tex] (usando il fatto che [tex]$\sin t\sim t,\ \log(1+t)\sim t$[/tex])
[tex]$=\lim_{t\to 0}\exp\left[\frac{2+t}{t}\cdot\log(1+t)\right]=\lim_{t\to 0}\exp\left[\frac{2+t}{t}\cdot t\right]=\lim_{t\to 0}\exp\left[2+t\right]=e^2$[/tex]
[tex]$\lim_{x\to\infty}\exp\left[(2x+1)\log\left(1+\sin\frac{1}{x}\right)\right]=$[/tex] (posto [tex]$t=1/x,\ t\to 0$[/tex])
[tex]$=\lim_{t\to 0}\exp\left[\left(\frac{2}{t}+1\right)\log\left(1+\sin t\right)\right]=$[/tex] (usando il fatto che [tex]$\sin t\sim t,\ \log(1+t)\sim t$[/tex])
[tex]$=\lim_{t\to 0}\exp\left[\frac{2+t}{t}\cdot\log(1+t)\right]=\lim_{t\to 0}\exp\left[\frac{2+t}{t}\cdot t\right]=\lim_{t\to 0}\exp\left[2+t\right]=e^2$[/tex]
puoi risolverlo moltiplicando e dividendo il seno per $x$ ti troveresti $lim_(x->+oo) (1 + (1/x)(sen(1/x))/(1/x))^(2x + 1)) = lim_(x->+oo) (1 + 1/x)^(2x + 1) = e^2( 1) = e^2...
EDIT: ho corretto non era +oo ma 1
EDIT: ho corretto non era +oo ma 1
grande 
grazie infinite!!
grazie infinite!!
"tenebrikko":
grande
grazie a te
... mi hai fatto allenare per l'esame! ...
"Ma.Gi.Ca. D":
$lim_(x->+oo) (1 + (1/x)(sen(1/x))/(1/x))^(2x + 1)) = lim_(x->+oo) (1 + 1/x)^(2x + 1) $
Ti comunico che secondo me questo non lo puoi fare.
Magari il risultato è corretto, ma il procedimento sembra concettualmente sbagliato; dovresti giustificarlo con un po' di più cura.
"Seneca":
[quote="Ma.Gi.Ca. D"] $lim_(x->+oo) (1 + (1/x)(sen(1/x))/(1/x))^(2x + 1)) = lim_(x->+oo) (1 + 1/x)^(2x + 1) $
Ti comunico che secondo me questo non lo puoi fare.
Magari il risultato è corretto, ma il procedimento sembra concettualmente sbagliato; dovresti giustificarlo con un po' di più cura.[/quote]
a cosa ti riferisci? al fatto che il lim và a $+ oo$ e quindi non posso usare quel limite notevole? beh per questo posso dirti che $1/x$ per $(x-> +oo)$ tende a zero ed è equivalente al $lim_(x->0) (sen(x))/(x)=1$
se invece ti rifersci alla moltiplicazione e divisione per la stessa quantità, è intuitivo che moltiplicando e dividendo per la stessa quantità lascio intatta la funzione...
Quello va bene. Mi riferivo al fatto che, a quanto posso vedere, mandi al limite $(sin(1/x))/(1/x)$ per ottenere $ lim_(x->+oo) (1 + 1/x)^(2x + 1) $ . Non si può fare il limite di ciò che si vuole, nell'ordine che si vuole... Non sempre, almeno.
"Seneca":
Quello va bene. Mi riferivo al fatto che, a quanto posso vedere, mandi al limite $(sin(1/x))/(1/x)$ per ottenere $ lim_(x->+oo) (1 + 1/x)^(2x + 1) $ . Non si può fare il limite di ciò che si vuole, nell'ordine che si vuole... Non sempre, almeno.
perdonami, ma non riesco a capire... siccome $sin(1/x)/(1/x)$ al limite per $x->+oo$ tenderà sempre ad 1 posso già "semplificare" la mia funzione...
E' qui l'inghippo. Chi ti dice che puoi farlo? Quale teorema?
Ottimo controesempio (che forse aiuta ad intuire dove risiede il problema):
$lim_(x -> 0) ((ln(x+1))/x * e^x - 1)/x$
Questo limite fa $1/2$. Se invece "semplifichiamo" come dicevi tu, abbiamo: $lim_(x -> 0) ((ln(x+1))/x * e^x - 1)/x = lim_(x -> 0) (e^x - 1)/x = 1$
che è in contraddizione con il teorema di unicità del limite.
$lim_(x -> 0) ((ln(x+1))/x * e^x - 1)/x$
Questo limite fa $1/2$. Se invece "semplifichiamo" come dicevi tu, abbiamo: $lim_(x -> 0) ((ln(x+1))/x * e^x - 1)/x = lim_(x -> 0) (e^x - 1)/x = 1$
che è in contraddizione con il teorema di unicità del limite.
"Seneca":
E' qui l'inghippo. Chi ti dice che puoi farlo? Quale teorema?
mmmh... questa domanda mi fà crollare un pò il modus operandi che ho sempre usato
... ma posso azzardare il criterio del confronto, siccome stiamo parlando comunque di immagini di successioni, posso dire che attraverso questo criterio posso confrontare con una successione che maggiora la mia di partenza, siccome $sen x < x$, ma posso giustificare questa "posizione" considerando che quel $senx = sen x 1= (sen x (x))/x $ e al limite per $x->0$ (considera che nel nostro caso ho già preso quell $1/x$ come quantità che tende a zero al limite per $x-> +oo$ e perciò considero il caso di $sen x$) quella specifica quantità tende a $1/x$ quindi maggioro la nostra quantità di partenza con questa quantità...
"Seneca":
Ottimo controesempio (che forse aiuta ad intuire dove risiede il problema):
$lim_(x -> 0) ((ln(x+1))/x * e^x - 1)/x$
Questo limite fa $1/2$. Se invece "semplifichiamo" come dicevi tu, abbiamo: $lim_(x -> 0) ((ln(x+1))/x * e^x - 1)/x = lim_(x -> 0) (e^x - 1)/x = 1$
che è in contraddizione con il teorema di unicità del limite.
perchè fa $1/2$?
Perché Derive mi ha detto così. 
Ma si fanno presto i conti; basta applicare due volte De L'Hospital.
Ma si fanno presto i conti; basta applicare due volte De L'Hospital.
potrebbe anche darsi che ci troviamo difronte ad una discontinuità e che in realtà stiamo facendo i limiti da destra e sinistra...
Non ho capito bene il ragionamento che hai svolto (applicato al caso concreto del limite di prima), ma continuo a sostenere che non puoi mandare al limite pezzi di funzioni sì ($(sin(x))/x $) e pezzi di funzioni no ($1/x$).
P.S.: In $0$ la funzione che ti ho portato come esempio ha una discontinuità eliminabile. I due limiti coincidono. La conclusione è che non va bene il passaggio che proponevi.
P.S.: In $0$ la funzione che ti ho portato come esempio ha una discontinuità eliminabile. I due limiti coincidono. La conclusione è che non va bene il passaggio che proponevi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo