Limiti notevoli

[tenebrikko]

ciaoo! vi chiedo una mano nle capire come risolvere questo limite:
$lim_(x \to \infty)(1+ sin(1/x))^(2x+1)$
se pongo $t= sin (1/x)$ risolvo una parte però non riesco a concludere a causa dell'esponente $2x+1$

[Seneca1]

In questo caso non ci sono problemi, comunque. La cosa diventa evidente se si passa alla forma esponenziale:

$ lim_(x -> +oo) e^ [ (2 x + 1) * ln( 1 + sin(1/x) )/(sin(1/x)) * (sin(1/x))/(1/x ) * 1/x ]$

$ = e^( lim_(x -> +oo) [ (2 x + 1)/x * ln( 1 + sin(1/x) )/(sin(1/x)) * (sin(1/x))/(1/x) ] )$

Per il teorema del limite di un prodotto:

$ = e^2 $

[iamagicd]

"Seneca":In questo caso non ci sono problemi, comunque. La cosa diventa evidente se si passa alla forma esponenziale:

$ lim_(x -> +oo) e^ [ (2 x + 1) * ln( 1 + sin(1/x) )/(sin(1/x)) * (sin(1/x))/(1/x ) * 1/x ]$

$ = e^( lim_(x -> +oo) [ (2 x + 1)/x * ln( 1 + sin(1/x) )/(sin(1/x)) * (sin(1/x))/(1/x) ] )$

Per il teorema del limite di un prodotto:

$ = e^2 $

mmmh... così sei riuscito anche ad ovviare al problema di prima... però rimane che bisogna trovare una soluzione a quel problema! ...

[iamagicd]

"Seneca":Non ho capito bene il ragionamento che hai svolto (applicato al caso concreto del limite di prima), ma continuo a sostenere che non puoi mandare al limite pezzi di funzioni sì ($(sin(x))/x $) e pezzi di funzioni no ($1/x$).

P.S.: In $0$ la funzione che ti ho portato come esempio ha una discontinuità eliminabile. I due limiti coincidono. La conclusione è che non va bene il passaggio che proponevi.

in pratica ho applicato il criterio del confronto alla funzione di prima, confrontandola con $(1 + 1/x)^(2x + 1)$...

[Seneca1]

Penso che vada bene; quindi $(1 + 1/x)^(2x + 1) <= (1 + sin(1/x))^(2x + 1) $

Per applicare il teorema del confronto devi trovare un'altra funzione $g$ che converge allo stesso limite di $(1 + 1/x)^(2x + 1)$ e che maggiori, in un intorno di $+oo$, la funzione $(1 + sin(1/x))^(2x + 1) $:

$(1 + 1/x)^(2x + 1) <= (1 + sin(1/x))^(2x + 1) <= g(x)$