Limiti in due variabili

[Ziko1]

Ho i seguenti limiti dei quali al momento non riesco a venire a capo:

$lim_((x,y)->(0,0)) (y^2log (x))/((x-1)^2+y^2)$
$lim_((x,y)->(0,0)) (xsin(y-1))/(1-cos[x(y-1)])$
$lim_((x,y)->(0,0)) sin(x-2y)/(x-y)$

Qualcuno mi da una mano? Grazie 1000 in anticipo!

[_Tipper]

Per il primo limite prova a passare in coordinate polari, anche se così, senza fare conti, non so cosa possa succedere...

Per il secondo, moltiplicando numeratore e denominatore per $1 + \cos[x(y-1)]$ si ottiene

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x \sin(y-1)}{\sin^2[x (y-1)]} (1 + \cos[x(y-1)]) = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x \sin(y-1)}{y-1} \cdot (y-1) \cdot \frac{[x(y-1)]^2}{\sin^2[x(y-1)]} \cdot (1 + \cos[x(y-1)]) \cdot \frac{1}{[x(y-1)]^2}$

e ora son conti...

Il terzo limite invece equivale a

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(x - 2y)}{x - 2y} \frac{x - 2y}{x-y}$

e mi pare proprio che questo limite non esista.

[Sk_Anonymous]

A colpo d'occhio si nota che nel primo quesito la funzione $f(x,y)$ di cui si chiede il limite per $(x,y)->(0,0)$ non è definita in alcun punto per cui è $x<=0$. Di conseguenza il punto $(0,0)$ è un punto di frontiera e per definzione il limite della funzione in tale punto non esiste...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lòose his teeth, but never his nature

[mircoFN1]

"lupo grigio": ......Di conseguenza il punto $(0,0)$ è un punto di frontiera e per definzione il limite della funzione in tale punto non esiste...

Questa è veramente strana! Quale definizione?

Con questo 'ragionamento' allora non c'è il limite per $x$ che tende a zero di:

$sinx/x$

[Sk_Anonymous]

Allora ragazzi
se [per esempio] andiamo su…

http://it.wikipedia.org/wiki/Limite_di_ ... _variabili

… troviamo la seguente definizione di limite per una funzione di due variabili…

Definita una $f(x,y)$ su una regione $A$ di $RR^2$, essa ha limite $l$ in un punto di accumulazione $(x_0,y_0)$ di $A$ se dato un $epsilon>0$ esiste un $delta>0$ tale che…

$|f(x,y)-l|

Detto ‘in soldoni’ $f(x,y)$ deve tendere allo stesso valore $l$ in qualunque modo $(x,y)->(x_0,y_0)$. La funzione ‘oggetto del contendere’ è la seguente…

$f(x,y)= (y^2*ln x)/((x-1)^2+y^2)$ (2)

E’ del tutto ovvio che tale funzione non è definita il alcun punto in cui è $x<0$ per cui il punto $(0,0)$ è un punto di frontiera. Ciò significa che in un intorno di $(0,0)$ di raggio $delta$ comunque piccolo vi saranno punti in cui la (2) è definita [$x>0$] e punti in cui non lo è [$x<=0$]. Pertanto la definizione di limite data sopra non può essere applicata alla (2) in $(0,0)$ e di conseguenza il limite in tale punto non esiste… e questo è tutto…

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Luca.Lussardi]

Non e' tutto Lupo grigio, vai a ripassarti la definizione di punto di accumulazione che e' meglio, e gia' che ci sei anche la definizione di limite.

[mircoFN1]

"Luca.Lussardi":Non e' tutto Lupo grigio, vai a ripassarti la definizione di punto di accumulazione che e' meglio, e gia' che ci sei anche la definizione di limite.

aggiungerei anche quella di dominio di definizione

[Sk_Anonymous]

Molto bene ragazzi...

... dal momento che Wikipedia è una 'libera enciclopedia' e nella circostanza sembra aver comesso un 'clamoroso errore' nella definizione del limite di funzione di due variabili attendo con ansia che gli autori degli ultimi due postati segnalino questo a quel sito usando la procedura accessibile a chiunque...

... come diceva una celebre vecchia canzone... voglio proprio vedere l'effetto che farà...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Luca.Lussardi]

La definizione di Wikipedia e' corretta, richiede, come e' usuale (ma si potrebbe anche richiedere di meno) che il punto $(x_0,y_0)$ sia di accumulazione per il dominio della funzione.

Nel nostro caso $(0,0)$ e' di accumulazione per il dominio della funzione data al primo esercizio.

[Sk_Anonymous]

Ragazzi
apprendiamo con autentico sollievo che Wikipedia ha fornito una definizione corretta e pertanto la riportiamo nuovamente a scanso di equivoci…


Definita una $f(x,y)$ su una regione $A$ di $RR^2$, essa ha limite $l$ in un punto di accumulazione $(x_0,y_0)$ di $A$ se dato un $epsilon>0$ esiste un $delta>0$ tale che…

$|f(x,y)-l| (1)

Ciò premesso osserviamo con attenzione la funzione oggetto della ‘contesa’…

$f(x,y)= (y^2*ln x)/((x-1)^2+y^2)$ (2)

… e vediamo un poco per quali punti del piano $(x,y)$ è definita…



Non occorre certo essere cattedratici universitari per comprendere che il punto $(1,0)$ è una ‘singolarità potenziale’ della funzione ma siccome è richiesto il limite per $(x,y)-> (0,0)$ dedichiamo [per ora] la nostra attenzione a tale punto. Nella figura di sopra è riportato un intorno [circolare] del punto $(0,0)$ con raggio $delta$. In base alla definizione sopra riportata si richiede che per ogni punto interno al detto cerchio sia $|f(x,y)-l|
… è del tutto evidente che a questo punto ulteriori commenti da parte mia suonerebbero certo offensivi all’intelligenza dei lettori…

Una ipotesi interessante tuttavia è che l’esercizio sia stato mal riportato e che in realtà il limite richiesto della (2) sia per $(x,y)->(1,0)$… chi sa farlo?…

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Fioravante Patrone1]

"lupo grigio":
... Non occorre certo essere cattedratici universitari per comprendere ...

infatti, basta essere un normale studente di mate per capire quello che tu non riesci a capire

[Martino]

"lupo grigio":Ragazzi
apprendiamo con autentico sollievo che Wikipedia ha fornito una definizione corretta e pertanto la riportiamo nuovamente a scanso di equivoci…


Definita una $f(x,y)$ su una regione $A$ di $RR^2$, essa ha limite $l$ in un punto di accumulazione $(x_0,y_0)$ di $A$ se dato un $epsilon>0$ esiste un $delta>0$ tale che…

$|f(x,y)-l| (1)

Credo che la definizione di Wikipedia sia imprecisa. La definizione giusta è:

Definita una $f(x,y)$ su una regione $A$ di $RR^2$, essa ha limite $l$ in un punto di accumulazione $(x_0,y_0)$ di $A$ se dato un $epsilon>0$ esiste un $delta>0$ tale che…

$|f(x,y)-l| (1)

[Fioravante Patrone1]

"Martino":
Credo che la definizione di Wikipedia sia imprecisa.

Hai ragione. Ho corretto. Guada un po' se è ok.
Comunque è una voce un po' strampalata.
A prima vista forse è un po' meglio questa:
http://it.wikipedia.org/wiki/Limite_di_una_funzione

Comunque, wiki non ha ancora raggiunto gli standard che sarebbe auspicabile.
Ad esempio, la def in questa voce era sbagliata a dicembre del 2006

http://it.wikipedia.org/wiki/Discussion ... a_funzione

[Sk_Anonymous]

L’osservazione fatta da Martino in effetti è ragionevole e porta alla conclusione che sul concetto di limite di funzioni di due variabili esistono in realtà definizioni differenti e incompatibili tra loro… a tutto vantaggio della chiarezza naturalmente…

Per quello che è dato vedere tutte le pubblicazioni ‘straniere’ riprotano la definizione di Wikipedia. A pag. 326 del numero 36, 4 settembre 2005 del The College Mathematics Journal edito dalla Mathematical Association of America possiamo leggere…

http://hilltop.bradley.edu/~onanyes/nanyes.pdf


One reminds students that…

$lim_((x,y)->(a,b)) f(x,y)$

… exist only when the limit of $f$ exists as $(x,y)$ approaches $(a,b)$ over all curves that run to $(a,b)$. There is often some vagueness as to what it meant by all curves [e.g. all contionuous curves, all differenziable curves…] and we will see that such vagueness can lead to trouble…

Come si può ben vedere le possibilità di ‘confusione’ causate dai ‘differenti modi di intendere il problema’ sono sovente [e lo saranno certo anche in futuro…] causa di … a little trouble…

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

P.S. Constato con soddisfazione che il 'clamoroso errore' esistente su Wikipedia è stato debitamente emendato... per coerenza mi aspetto che si comunichi anche alla prestigiosa Mathematical Association of America che di Matematica proprio non capiscono nulla e che l'agricoltura sarebbe l'occupazione più adatta per loro...

[Fioravante Patrone1]

"lupo grigio":L’osservazione fatta da Martino in effetti è ragionevole e porta alla conclusione che sul concetto di limite di funzioni di due variabili esistono in realtà definizioni differenti e incompatibili tra loro… a tutto vantaggio della chiarezza naturalmente…

non è vero, come sanno tutti quelli che capiscono di mate
nessuno ha dubbi sulla def di limite che, da un bel po' di tempo, diciamo da un secolo, è sempre quella

"lupo grigio":
Per quello che è dato vedere tutte le pubblicazioni ‘straniere’ riprotano la definizione di Wikipedia. A pag. 326 del numero 36, 4 settembre 2005 del The College Mathematics Journal edito dalla Mathematical Association of America possiamo leggere…

http://hilltop.bradley.edu/~onanyes/nanyes.pdf


One reminds students that…

$lim_((x,y)->(a,b)) f(x,y)$

… exist only when the limit of $f$ exists as $(x,y)$ approaches $(a,b)$ over all curves that run to $(a,b)$. There is often some vagueness as to what it meant by all curves [e.g. all contionuous curves, all differenziable curves…] and we will see that such vagueness can lead to trouble…

Come si può ben vedere le possibilità di ‘confusione’ causate dai ‘differenti modi di intendere il problema’ sono sovente [e lo saranno certo anche in futuro…] causa di … a little trouble…

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

P.S. Constato con soddisfazione che il 'clamoroso errore' esistente su Wikipedia è stato debitamente emendato... per coerenza mi aspetto che si comunichi anche alla prestigiosa Mathematical Association of America che di Matematica proprio non capiscono nulla e che l'agricoltura sarebbe l'occupazione più adatta per loro...

per favore, se non sai leggere, evita di scrivere

[G.D.5]

in riferimento a quanto citato da lupo grigio

One reminds students that…

$lim_((x,y)->(a,b)) f(x,y)$

… exist only when the limit of $f$ exists as $(x,y)$ approaches $(a,b)$ over all curves that run to $(a,b)$. There is often some vagueness as to what it meant by all curves [e.g. all contionuous curves, all differenziable curves…] and we will see that such vagueness can lead to trouble…

da ignorante curioso quale sono mi permetto di porre due domande

1) le curve lungo le quali il punto $(x,y)$ deve avvicinarsi al punto $(a,b)$ devono essere per forza delle curve rappresentate da una equazione che leghi la $y$ con la $x$ (direttamente attraverso una equazione del tipo $F(x,y)=0$ o indirettamente attraverso equazioni parametriche del tipo $x=x(t)$ e $y=y(t)$) o possono essere anche curve che vengono fuori unendo successivi punti $(x,y)$ presi a caso e quindi curve tali per cui esse non sono rappresentate da alcuna equazioni che leghi la $x$ con la $y$?

2) ci si deve avvicinare al punto $(a,b)$ per forza lungo delle curve o ci si può avvicinare anche prendendo dei punti $(x,y)$ a caso?

3) nell'avvicinarsi al punto $(a,b)$ la $x$ e la $y$ devo per forza essere legate tra loro o il punto $(x,y)$ può tendere al punto $(a,b)$ con l'ascissa e l'ordinata che tendono rispettivamente ad $a$ e a $b$ indipendentemente l'una dall'altra?

[Luca.Lussardi]

Non c'e' nessuna regola, anche perche' non e' un procedimento operativo; forse si puo' dimostrare che bastano le curve continue.

[Sk_Anonymous]

Ragazzi
inutile dica quanto intelligenti sono i quesiti avanzati da WiZaRd. Memore del motto ‘Perder tempo a chi più sa più spiace’ inciso sulla tavola di marmo posta all’ingresso del mio Collegio [il Collegio Ghislieri di Pavia per chi non lo sapesse…] risponderò quanto prima sai quesiti di WiZaRd lasciando perdere precedenti interventi assai ‘poco costruttivi’. Prima però, a scopo puramente informativo, mi è parso utile andare a curiosare su Wikipedia in ‘versione anglosassone’ per vedere che cosa si dice del limite di funzioni di variabili reali…

http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function

La definizione di continuità [e quindi anche di limite…] che si legge è la seguente…

Again consider a function $f$ that maps a set of real numbers to another set of real numbers, and suppose $c$ is an element of the domain of $f$. The function $f$ is said to be continuous at the point $c$ if [and only if] the following holds: for any number $epsilon>0$ however small there exists some number $delta>0$ such that for all $x$ in the domain with $c − delta < x < c + delta$ the value of $f(x)$ satisfies $ f(c)− epsilon < f(x) < f(c) + epsilon$

Immediatamente dopo vi è una ‘definizione alternativa’ che mi pare contrasti con quella appena fornita e sulla quale magari torneremo. Più oltre vi è una ‘definizione intuitiva’ che dovrebbe introdurre chiarezza… anche non sempre però certi ‘buoni propositi’ vanno a buon fine…

This ‘epsilon-delta definition’ of continuity was first given by Cauchy. More intuitively, we can say that if we want to get all the $f(x)$ values to stay in some small neighborhood around $ f(c)$ , we simply need to choose a small enough neighborhood for the $x$ values around $c$, and we can do that no matter how small the$ f(x)$ neighborhood is. $ f(x)$ is then continuous at $c$

Certo tutto sarebbe chiaro a questo punto se fosse chiara la definizione di neighborhood. Questa si può vedere sempre su Wikipedia in ‘versione anglosassone’ andando alla voce…

http://en.wikipedia.org/wiki/Neighbourh ... ematics%29

If $X$ is a topological space and $p$ is a point in $X$, a neighbourhood of $p$ is a set $V$, which contains an open set $U$ containing $p$

Tutto chiaro ora?… mah!... nella eventualità che ‚tutto chiaro’ ancora non sia Wikipedia fornisce le seguenti due ‘immagini esplicative’…



Sembra dunque, salvo improbabili abbagli’ che secondo la ‘versione anglosassone’ di Wikipedia una funzione [di una, due o più variabili non importa…] non ammette limite in $c$ se $c$ è un ‘punto limite’ o ‘punto di frontiera’. Tornado alla nostra funzione…

$f(x,y)=(y^2*ln x)/((1-x^2)+y^2)$ (1)

… essendo il punto $c=(0,0)$ un ‘punto limite’ in tal punto il limite della (2), sempre secondo ‘Wikipedia anglosassone’, non può esistere…

Fino a ieri anche la ‘versione italica’ di Wikipedia concordava su questo punto… oggi non è più così… Domanda ovvia: chi delle due Wikipedie dice il vero?… Se devo essere sincero mi pare una domanda oziosa e priva di alcuna pratica utilità. Trattandosi infatti di definizioni è del tutto ovvio che differenti definizioni porteranno a differenti risultati allo stesso problema. Si pensi ad esempio al seguente integrale…

$int_(-oo)^(+oo) (sin x)/x*dx$ (2)

Secondo una certa definizione di integrale [Riemann] esso esiste. Secondo un’altra definizione di integrale [Lebesgue] esso non esiste. Ha senso chiedersi chi dei due ha ragione?… Evidentemente no e il solo criterio valido di scelta è eminentemente pratico. Nel caso specifico dal momento che una definizione porta alla soluzione di determinati problemi e l’altra li lascia irrisolti personalmente non ho dubbi per quale delle due optare. La stessa cosa vale per determinare a quale ‘nazionalità’ di Wikipedia dare la preferenza: italiana oppure inglese. Seguendo l’esempio della scelta adottata da Valentino Rossi io non avrei dubbi…

voi non so…

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[mircoFN1]

OK .... allora il seguente limite

$lim_(x->0) x/\sqrtx$

non esiste!



Se è vero c'è un bel po' di lavoro di revisione di testi e di eserciziari di Analisi Matematica!

[Martino]

"lupo grigio":La definizione di continuità [e quindi anche di limite…]

Argh!



Direi che la definizione di continuità e la definizione di limite sono abbastanza scorrelate. Nel caso del limite basta che il punto a cui "ci si avvicina" sia di accumulazione, mentre nel caso della continuità in un punto, bisogna che in tale punto la funzione sia definita.

Sembra dunque, salvo improbabili abbagli’ che secondo la ‘versione anglosassone’ di Wikipedia una funzione [di una, due o più variabili non importa…] non ammette limite in $c$ se $c$ è un ‘punto limite’ o ‘punto di frontiera’.

Al massimo non si può verificare la continuità se il punto limite non appartiene al dominio di definizione, come ho scritto prima...

[Luca.Lussardi]

Allora chiedo a Lupo grigio: come definisci il limite di una successione? E' una definizione di importanza capitale in Matematica, forse la definizione piu' importante di tutta l'Analisi. Ma $+\infty$ e' di "frontiera" per $\NN$, quindi? ogni successione non ammette limite????