Limiti in due variabili
Ho i seguenti limiti dei quali al momento non riesco a venire a capo:
$lim_((x,y)->(0,0)) (y^2log (x))/((x-1)^2+y^2)$
$lim_((x,y)->(0,0)) (xsin(y-1))/(1-cos[x(y-1)])$
$lim_((x,y)->(0,0)) sin(x-2y)/(x-y)$
Qualcuno mi da una mano? Grazie 1000 in anticipo!
$lim_((x,y)->(0,0)) (y^2log (x))/((x-1)^2+y^2)$
$lim_((x,y)->(0,0)) (xsin(y-1))/(1-cos[x(y-1)])$
$lim_((x,y)->(0,0)) sin(x-2y)/(x-y)$
Qualcuno mi da una mano? Grazie 1000 in anticipo!
Risposte
Ragazzi
come ho detto stamane resto fedele al motto 'Perder tempo a chi più sà più spiace' e pertanto evito di ripondere a 'inteventi' come gli ultimi tre, limitandomi solo sottolineare la frase seguente, degna secondo me a buon diritto entrare nel Guiness dei primati...
Ma $+oo$ e' 'di frontiera' per $NN$, quindi?...
Veniamo piuttosto ad uno dei quesiti di WiZaRd, quello che fà così...
... le curve lungo le quali il punto $(x,y)$ deve avvicinarsi al punto $(a,b)$ devono essere per forza delle curve rappresentate da una equazione che leghi la $y$ con la $x$ [direttamente attraverso una equazione del tipo $F(x,y)=0$ o indirettamente attraverso equazioni parametriche del tipo $x=x(t)$ e $y=y(t)$...] o possono essere anche curve che vengono fuori unendo successivi punti $(x,y)$ presi a caso e quindi curve tali per cui esse non sono rappresentate da alcuna equazioni che leghi la $x$ con la $y$?...
Diciamo che in pratica il 'percorso' per arrivare in $(a,b)$ può essere 'continuo', ossia una curva sul piano $(x,y)$ descritta in uno dei modi da te elencati, oppure 'discreto', ossia determinato da una sucessione $(x_n,y_n)$ con $x_n->a$ e $y_n->b$ in cui si cerca il limite della sucessione $f(x_n,y_n)$. Un metodo sicuro in tutti i casi in cui è $(a,b)=(0,0)$ [e con un opportuno cambio di variabili ci si può sempre ricondurre a questo caso...] consiste nel passaggio in coordinate polari...
$x=rho*cos theta$
$y=rho*sin theta$ (1)
... seguito dalla ricerca del $lim_(rho->0) f(rho, theta)$. Prendiamo pure come esempio la funzione 'contesa' ...
$f(x,y)= (y^2*ln x)/((1-x)^2+y^2)$ (2)
Applicando le (1) la funzione diviene...
$f(rho,theta)= (rho^2*ln rho*sin^2 theta)/(1+rho^2-2*rho*cos theta) + (rho^2*sin^2 theta *ln (cos theta))/(1+rho^2-2*rho*cos theta)$ (3)
La funzione è dunque composta da due termini che esaminiamo separatamente. In entrambi il denominatore tende a $1$ per $rho->0$ per cui lo possiamo 'trascurare'. Il numeratore del primo termine tende a $0$ per $rho->0$ e su questo siamo a posto. Diverso è il caso del numeratore del secondo termine...
$h(rho, theta)= rho^2*sin^2 theta *ln (cos theta)$ (4)
E' abbastanza agevole vedere che preso ad arbitrio un $epsilon>0$ per ogni possibile valore $rho=rho_0$ posso sempre scegliere un valore di $theta=theta_0$ per cui è $|h(rho_0,theta_0)|epsilon$. Pertanto il limite della (3) per $rho->0$ non esiste... c.v.d. ...
Sono convinto che è possibile dimostrare, 'definizioni' a parte, che lo stesso vale ogni volta che il punto $(a,b)$ è un punto di frontiera. Per questo e altri motivi sono del parere che 'esercizi' di questo genere non dovrebbero essere dati, poichè altamente 'fuorvianti' per gli studenti... certo questo è solo un mio modestissimo parere...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
come ho detto stamane resto fedele al motto 'Perder tempo a chi più sà più spiace' e pertanto evito di ripondere a 'inteventi' come gli ultimi tre, limitandomi solo sottolineare la frase seguente, degna secondo me a buon diritto entrare nel Guiness dei primati...
Ma $+oo$ e' 'di frontiera' per $NN$, quindi?...
Veniamo piuttosto ad uno dei quesiti di WiZaRd, quello che fà così...
... le curve lungo le quali il punto $(x,y)$ deve avvicinarsi al punto $(a,b)$ devono essere per forza delle curve rappresentate da una equazione che leghi la $y$ con la $x$ [direttamente attraverso una equazione del tipo $F(x,y)=0$ o indirettamente attraverso equazioni parametriche del tipo $x=x(t)$ e $y=y(t)$...] o possono essere anche curve che vengono fuori unendo successivi punti $(x,y)$ presi a caso e quindi curve tali per cui esse non sono rappresentate da alcuna equazioni che leghi la $x$ con la $y$?...
Diciamo che in pratica il 'percorso' per arrivare in $(a,b)$ può essere 'continuo', ossia una curva sul piano $(x,y)$ descritta in uno dei modi da te elencati, oppure 'discreto', ossia determinato da una sucessione $(x_n,y_n)$ con $x_n->a$ e $y_n->b$ in cui si cerca il limite della sucessione $f(x_n,y_n)$. Un metodo sicuro in tutti i casi in cui è $(a,b)=(0,0)$ [e con un opportuno cambio di variabili ci si può sempre ricondurre a questo caso...] consiste nel passaggio in coordinate polari...
$x=rho*cos theta$
$y=rho*sin theta$ (1)
... seguito dalla ricerca del $lim_(rho->0) f(rho, theta)$. Prendiamo pure come esempio la funzione 'contesa' ...
$f(x,y)= (y^2*ln x)/((1-x)^2+y^2)$ (2)
Applicando le (1) la funzione diviene...
$f(rho,theta)= (rho^2*ln rho*sin^2 theta)/(1+rho^2-2*rho*cos theta) + (rho^2*sin^2 theta *ln (cos theta))/(1+rho^2-2*rho*cos theta)$ (3)
La funzione è dunque composta da due termini che esaminiamo separatamente. In entrambi il denominatore tende a $1$ per $rho->0$ per cui lo possiamo 'trascurare'. Il numeratore del primo termine tende a $0$ per $rho->0$ e su questo siamo a posto. Diverso è il caso del numeratore del secondo termine...
$h(rho, theta)= rho^2*sin^2 theta *ln (cos theta)$ (4)
E' abbastanza agevole vedere che preso ad arbitrio un $epsilon>0$ per ogni possibile valore $rho=rho_0$ posso sempre scegliere un valore di $theta=theta_0$ per cui è $|h(rho_0,theta_0)|
Sono convinto che è possibile dimostrare, 'definizioni' a parte, che lo stesso vale ogni volta che il punto $(a,b)$ è un punto di frontiera. Per questo e altri motivi sono del parere che 'esercizi' di questo genere non dovrebbero essere dati, poichè altamente 'fuorvianti' per gli studenti... certo questo è solo un mio modestissimo parere...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
Ragazzi
come ho detto stamane resto fedele al motto 'Perder tempo a chi più sà più spiace' e pertanto evito di ripondere a 'inteventi' come gli ultimi tre, limitandomi solo sottolineare la frase seguente, degna secondo me deve a buon diritto entrare nel Guiness dei primati...
Ma $+oo$ e' 'di frontiera' per $NN$, quindi?...
Lupo grigio,
spero che tu ti renda conto della tua totale mancanza di umiltà. Invece che discutere tranquillamente di una cosa, ti limiti a banalizzare ciò che dice chiunque ti contraddica, e sentenzi a destra e a manca.
Oltretutto dalla tua frase "Perder tempo a chi più sa più spiace" ("sa", non "sà", e già questo basterebbe...) si deduce che pensi di sapere tanto. Questo a parer mio non è sintomo di apertura mentale.
Una cosa che forse non ti è chiarissima è che i concetti di limite e di continuità non sono tanto legati tra loro da ammettere una "definizione comune".
Ragazzi
spero tanto mi perdoniate una divagazione 'off topic' ma dopo l'ultimo intevento la tentazione è troppo forte...
Come ho detto la targa in marmo posta all'ingresso del Collegio Ghislieri recita...
Perder tempo a chi più sà più spiace
Una cosa che forse non tutti sanno è che tale 'trofeo' [nel senso letterale del termine...] venne sottratto tanti anni fà al 'nemico irriducibile' , vale a dire al Collegio Borromeo di Pavia. Il detto sopra è stato uno dei motti del Santo fondatore del detto Collegio, che portava in vita lo stesso nome di chi scrive: Carlo. Altro motto del Santo, forse più conosciuto, è quello scritto il rilievo sul portale del Collegio Borromeo...
Humilitas, victrix invicta
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
spero tanto mi perdoniate una divagazione 'off topic' ma dopo l'ultimo intevento la tentazione è troppo forte...
Come ho detto la targa in marmo posta all'ingresso del Collegio Ghislieri recita...
Perder tempo a chi più sà più spiace
Una cosa che forse non tutti sanno è che tale 'trofeo' [nel senso letterale del termine...] venne sottratto tanti anni fà al 'nemico irriducibile' , vale a dire al Collegio Borromeo di Pavia. Il detto sopra è stato uno dei motti del Santo fondatore del detto Collegio, che portava in vita lo stesso nome di chi scrive: Carlo. Altro motto del Santo, forse più conosciuto, è quello scritto il rilievo sul portale del Collegio Borromeo...
Humilitas, victrix invicta
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
Ragazzi
come ho detto stamane resto fedele al motto 'Perder tempo a chi più sà più spiace' e pertanto evito di ripondere a 'inteventi' come gli ultimi tre........
veramente, siccome sei noto per 'Perder tempo ..' in topic che sono delle assolute boiate, io ho un'altra spiegazione per il fatto che non rispondi a certi 'inteventi', ma penso che tutti possano giudicare, soprattutto su questo tuo ultimo rocambolesco scivolone su una autentica buccia di banana e sul successivo stridio di specchi sui quali ancora più rocambolescamente ti sei arrampicato!
Sul collegio di Pavia avevo una buona opinione!
Ma: 'anche dio ha creato la mosca'.
ciao a tutti
Sono sinceramente stupito dalla violenza degli attacchi e controattacchi ( bidirezionale quindi ) .
Ma è il caso ?
Calma ragazzi
Ma è il caso ?
Calma ragazzi
Caro Camillo
se devo esser sincero, a differenza di Te, io non sono affatto stupito...
Lasciando perdere le polemiche [e chi sembra interessato a provocarle...] sarebbe interessante sapere da Ziko, il quale ha aperto il post, se il quesito nr.1 da lui proposto gli risultava dover essere 'risolvibile' [nel senso che la funzione data ammette limite per $(x,y)->(0,0)$ e si tratta di 'calcolarlo'...] oppure no...
Semplice curiosità...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
se devo esser sincero, a differenza di Te, io non sono affatto stupito...
Lasciando perdere le polemiche [e chi sembra interessato a provocarle...] sarebbe interessante sapere da Ziko, il quale ha aperto il post, se il quesito nr.1 da lui proposto gli risultava dover essere 'risolvibile' [nel senso che la funzione data ammette limite per $(x,y)->(0,0)$ e si tratta di 'calcolarlo'...] oppure no...
Semplice curiosità...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Vorrei solo sottolineare che se accettassimo la definizione di limite escludendo i punti di frontiera non esisterebbe l'Analisi Matematica: come calcolare la derivata che e' il limite del rapporto incrementale di una funzione?
Credo che il primo limite non esista in quanto fa 0 lungo la curva $y=0$, e fa meno infinito lungo la curva $y=x$.
Ciao ciao
Ciao ciao
Ehm........
dunque.........
Per quanto io so la definizione più generale di limite si basa sul fatto che per ogni intorno del limite esista un "intorno bucato" (cioè senza il punto stesso) del punto-limite mappato dalla funzione dentro l'intorno precedente.
Quindi uno potrebbe addirittura mettere i punti isolati, però succedono dei casini perché siccome il vuoto andrebbe sempre bene come intorno bucato del punto isolato allora il limite esisterebbe sempre e dunque ad esempio si perderebbe il teorema di unicità del limite per gli spazi Hausdorff.
Si potrebbe ovviare definendo a calci il limite come il valore delle funzione in quel punto ma ci sarebbero evidentissimi casini dal punto di vista dei teoremi di analisi e topologia generale.
Ma per i punti di frontiera di accumulazione non c'è problema alcuno, ovviamente.
Quindi la definizione recita:
Sia $f:X->Y$, sia $x$ di accumulazione per $X$, sia $y \in Y$, $f$ ha limite $y$ in $x$ se e solo se $\forall I_y$ intorno di $y$ $\exists I_x$ intorno di $x : f(I_x) subset I_y$
tutto nelle rispettive topologie
dove resta inteso che $x$ è di accumulazione per $X$ se e solo se $\forall I_x$ intorno di $x$, $X \cap I_x \!= \emptyset$
dunque.........
Per quanto io so la definizione più generale di limite si basa sul fatto che per ogni intorno del limite esista un "intorno bucato" (cioè senza il punto stesso) del punto-limite mappato dalla funzione dentro l'intorno precedente.
Quindi uno potrebbe addirittura mettere i punti isolati, però succedono dei casini perché siccome il vuoto andrebbe sempre bene come intorno bucato del punto isolato allora il limite esisterebbe sempre e dunque ad esempio si perderebbe il teorema di unicità del limite per gli spazi Hausdorff.
Si potrebbe ovviare definendo a calci il limite come il valore delle funzione in quel punto ma ci sarebbero evidentissimi casini dal punto di vista dei teoremi di analisi e topologia generale.
Ma per i punti di frontiera di accumulazione non c'è problema alcuno, ovviamente.
Quindi la definizione recita:
Sia $f:X->Y$, sia $x$ di accumulazione per $X$, sia $y \in Y$, $f$ ha limite $y$ in $x$ se e solo se $\forall I_y$ intorno di $y$ $\exists I_x$ intorno di $x : f(I_x) subset I_y$
tutto nelle rispettive topologie
dove resta inteso che $x$ è di accumulazione per $X$ se e solo se $\forall I_x$ intorno di $x$, $X \cap I_x \!= \emptyset$
"lupo grigio":
Ragazzi
inutile dica quanto intelligenti sono i quesiti avanzati da WiZaRd. Memore del motto ‘Perder tempo a chi più sa più spiace’ inciso sulla tavola di marmo posta all’ingresso del mio Collegio [il Collegio Ghislieri di Pavia per chi non lo sapesse…] risponderò quanto prima sai quesiti di WiZaRd lasciando perdere precedenti interventi assai ‘poco costruttivi’. Prima però, a scopo puramente informativo, mi è parso utile andare a curiosare su Wikipedia in ‘versione anglosassone’ per vedere che cosa si dice del limite di funzioni di variabili reali…
http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function
La definizione di continuità [e quindi anche di limite…] che si legge è la seguente…
Again consider a function $f$ that maps a set of real numbers to another set of real numbers, and suppose $c$ is an element of the domain of $f$. The function $f$ is said to be continuous at the point $c$ if [and only if] the following holds: for any number $epsilon>0$ however small there exists some number $delta>0$ such that for all $x$ in the domain with $c − delta < x < c + delta$ the value of $f(x)$ satisfies $ f(c)− epsilon < f(x) < f(c) + epsilon$
Immediatamente dopo vi è una ‘definizione alternativa’ che mi pare contrasti con quella appena fornita e sulla quale magari torneremo. Più oltre vi è una ‘definizione intuitiva’ che dovrebbe introdurre chiarezza… anche non sempre però certi ‘buoni propositi’ vanno a buon fine…
This ‘epsilon-delta definition’ of continuity was first given by Cauchy. More intuitively, we can say that if we want to get all the $f(x)$ values to stay in some small neighborhood around $ f(c)$ , we simply need to choose a small enough neighborhood for the $x$ values around $c$, and we can do that no matter how small the$ f(x)$ neighborhood is. $ f(x)$ is then continuous at $c$
Certo tutto sarebbe chiaro a questo punto se fosse chiara la definizione di neighborhood. Questa si può vedere sempre su Wikipedia in ‘versione anglosassone’ andando alla voce…
http://en.wikipedia.org/wiki/Neighbourh ... ematics%29
If $X$ is a topological space and $p$ is a point in $X$, a neighbourhood of $p$ is a set $V$, which contains an open set $U$ containing $p$
Tutto chiaro ora?… mah!... nella eventualità che ‚tutto chiaro’ ancora non sia Wikipedia fornisce le seguenti due ‘immagini esplicative’…
Sembra dunque, salvo improbabili abbagli’ che secondo la ‘versione anglosassone’ di Wikipedia una funzione [di una, due o più variabili non importa…] non ammette limite in $c$ se $c$ è un ‘punto limite’ o ‘punto di frontiera’. Tornado alla nostra funzione…
$f(x,y)=(y^2*ln x)/((1-x^2)+y^2)$ (1)
… essendo il punto $c=(0,0)$ un ‘punto limite’ in tal punto il limite della (2), sempre secondo ‘Wikipedia anglosassone’, non può esistere…
Fino a ieri anche la ‘versione italica’ di Wikipedia concordava su questo punto… oggi non è più così… Domanda ovvia: chi delle due Wikipedie dice il vero?… Se devo essere sincero mi pare una domanda oziosa e priva di alcuna pratica utilità. Trattandosi infatti di definizioni è del tutto ovvio che differenti definizioni porteranno a differenti risultati allo stesso problema. Si pensi ad esempio al seguente integrale…
$int_(-oo)^(+oo) (sin x)/x*dx$ (2)
Secondo una certa definizione di integrale [Riemann] esso esiste. Secondo un’altra definizione di integrale [Lebesgue] esso non esiste. Ha senso chiedersi chi dei due ha ragione?… Evidentemente no e il solo criterio valido di scelta è eminentemente pratico. Nel caso specifico dal momento che una definizione porta alla soluzione di determinati problemi e l’altra li lascia irrisolti personalmente non ho dubbi per quale delle due optare. La stessa cosa vale per determinare a quale ‘nazionalità’ di Wikipedia dare la preferenza: italiana oppure inglese. Seguendo l’esempio della scelta adottata da Valentino Rossi io non avrei dubbi…
voi non so…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Scusate, ma questi veramente sono numeri! Non capisco come si possano prendere cantonate simili, a proposito di un concetto tanto elementare qual e' quello di limite di una funzione!
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo