Limiti (funzioni due variabili)

[Crisso1]

ho serie difficoltà a capire come si calcola un limite di funzioni di più variabili, ho guardato la teoria, ma trovo solo la definzione di funzione continua in un punto e la definizione di limite...che sono simili a quelle di una funzione di una variabile...e mi sono chiare...quello che non riesco a capire sono gli esercizi...sia quando si tratta di verificare un limite...sia quando è da calcolare...riporto qui due esercizi svolti che ho cercato di capire da un libro in biblioteca

utilizzando la definzione di limite, verificare che
$ lim_((x,y) -> (0,0))x^4/(x^2+y^2) =0 $
SVOLGIMENTO
per mezzo della disuguaglianza $ x^4=x^2*x^2<=x^2(x^2+y^2) $ otteniamo $ |x^4/(x^2+y^2)|=x^4/(x^2+y^2)<=(x^2(x^2+y^2))/(x^2+y^2)=x^2<=x^2+y^2 $
perciò per ogni ε>0; posto δ=ε^1/2, si ha $ sqrt(x^2+y^2) $ <δ che implica $ |x^4/(x^2+y^2)-0| $ <ε

il secondo esercizio chiede di verificare il seguente limite
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^4-y^4)/(x^2+y^2)=0 $
SVOLGIMENTO
essendo $ |(x^4-y^4)/(x^2+y^2)|<=x^4/(x^2+y^2)+y^4/(x^2+y^2) $ si può procedere come nell'esempio precedente

non trovo la relazione che c'è tra i due svolgimenti...se perfavore qualcuno ha la pazienza di spiegarmi i ragionamenti da fare per arrivare a tali conclusioni (anche in termini non matematici, l'importante è che riesca a capire il meccanismo)

[mdevincenzis]

"gugo82":Esempio...

\(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1-\cos(xy)}{x^2y^2}\)
Con la sostituzione $t=xy$. Ma in generale è sempre vero che quando posso ricondurmi ad un limite di una variabile il limite è quello?

[gugo82]

Qui applichi il ben noto teorema sulla funzione composta, quindi non vedo problemi.

Infatti la funzione:
\[
f(x,y) := \frac{1-\cos xy}{x^2y^2}
\]
è composta dalla funzione:
\[
\phi (t) := \frac{1-\cos t}{t^2}
\]
definita in \(\operatorname{Dom} \phi := \mathbb{R}\setminus \{0\}\) e da:
\[
t(x,y) := xy\; ,
\]
definita in \(\operatorname{Dom} t =\mathbb{R}^2\); conseguentemente, la funzione composta \(f(x,y) = \phi (t(x,y))\) è definita in \(\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}^2\setminus \{\text{assi coordinati}\}\).
Dato che \(\lim_{(x,y)\to (0,0)}t(x,y) =0 \), che \(\lim_{t\to 0} \phi (t) =1/2\) e che \(t(x,y)\) non assume mai il valore \(0\) quando viene ristretta a \(\operatorname{Dom} f\), il teorema sul limite della funzione composta si applica e importa:
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) \stackrel{t=xy}{=} \lim_{t\to 0} \phi (t) = \frac{1}{2}\; .
\]