Limiti (funzioni due variabili)
ho serie difficoltà a capire come si calcola un limite di funzioni di più variabili, ho guardato la teoria, ma trovo solo la definzione di funzione continua in un punto e la definizione di limite...che sono simili a quelle di una funzione di una variabile...e mi sono chiare...quello che non riesco a capire sono gli esercizi...sia quando si tratta di verificare un limite...sia quando è da calcolare...riporto qui due esercizi svolti che ho cercato di capire da un libro in biblioteca
utilizzando la definzione di limite, verificare che
$ lim_((x,y) -> (0,0))x^4/(x^2+y^2) =0 $
SVOLGIMENTO
per mezzo della disuguaglianza $ x^4=x^2*x^2<=x^2(x^2+y^2) $ otteniamo $ |x^4/(x^2+y^2)|=x^4/(x^2+y^2)<=(x^2(x^2+y^2))/(x^2+y^2)=x^2<=x^2+y^2 $
perciò per ogni ε>0; posto δ=ε^1/2, si ha $ sqrt(x^2+y^2) $ <δ che implica $ |x^4/(x^2+y^2)-0| $ <ε
il secondo esercizio chiede di verificare il seguente limite
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^4-y^4)/(x^2+y^2)=0 $
SVOLGIMENTO
essendo $ |(x^4-y^4)/(x^2+y^2)|<=x^4/(x^2+y^2)+y^4/(x^2+y^2) $ si può procedere come nell'esempio precedente
non trovo la relazione che c'è tra i due svolgimenti...se perfavore qualcuno ha la pazienza di spiegarmi i ragionamenti da fare per arrivare a tali conclusioni (anche in termini non matematici, l'importante è che riesca a capire il meccanismo)
utilizzando la definzione di limite, verificare che
$ lim_((x,y) -> (0,0))x^4/(x^2+y^2) =0 $
SVOLGIMENTO
per mezzo della disuguaglianza $ x^4=x^2*x^2<=x^2(x^2+y^2) $ otteniamo $ |x^4/(x^2+y^2)|=x^4/(x^2+y^2)<=(x^2(x^2+y^2))/(x^2+y^2)=x^2<=x^2+y^2 $
perciò per ogni ε>0; posto δ=ε^1/2, si ha $ sqrt(x^2+y^2) $ <δ che implica $ |x^4/(x^2+y^2)-0| $ <ε
il secondo esercizio chiede di verificare il seguente limite
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^4-y^4)/(x^2+y^2)=0 $
SVOLGIMENTO
essendo $ |(x^4-y^4)/(x^2+y^2)|<=x^4/(x^2+y^2)+y^4/(x^2+y^2) $ si può procedere come nell'esempio precedente
non trovo la relazione che c'è tra i due svolgimenti...se perfavore qualcuno ha la pazienza di spiegarmi i ragionamenti da fare per arrivare a tali conclusioni (anche in termini non matematici, l'importante è che riesca a capire il meccanismo)
Risposte
xy...e quindi nel mio caso l'asintotico è 7xy...giusto ?
ma allora l'approssimazione con il polinomio di Taylor non centra nulla ?
ma allora l'approssimazione con il polinomio di Taylor non centra nulla ?
come non c'entra nulla?è alla base di tutto il ragionamento che abbiamo fatto, come si scrive la serie di taylor per il seno?
io so che la formula del polinomio di Taylor per una funzione di due variabili è
$ f(P)=f(0)+xf(x)(0)+yf(y)(0)... $
quindi io ho fatto
$ f(P)=sin(7*0*0)+x*7ycos(7y)+y*7xcos(7x)... $
che viene 7xy+7xy=14xy
giusto ?!?
$ f(P)=f(0)+xf(x)(0)+yf(y)(0)... $
quindi io ho fatto
$ f(P)=sin(7*0*0)+x*7ycos(7y)+y*7xcos(7x)... $
che viene 7xy+7xy=14xy
giusto ?!?
anche se credo che dalla risposta che mi è stata data precedentemente debba venire 7xy...
ma i limiti notevoli li conosci? non serve neanche scomodare taylor, anche se si arriva al medesimo risultato (peraltro la cosa che hai scritto è sbagliata).
a parte questo, in generale per calcolare limiti di funzioni di più variabili, si procede prima di tutto guardando il valore del limite lungo qualche restrizione del dominio che passi per il punto di accumulazione.
nel tuo caso:
$lim sin(7xy) / (x^2 + y^2)$
vedo cosa succede, ad esempio, lungo la retta x = 0, o y = 0: effettivamente il limite fa 0, quindi se il limite esiste deve fare 0.
ora non sarà forse il caso di vedere cosa succede moltiplicando e dividendo per 7xy la funzione?
edit
in ogni caso, prima avevi preso una restrizione buona, e fatto vedere che il limite non esiste. però hai delle lacune, quindi un po' di esercizio non ti fa male
a parte questo, in generale per calcolare limiti di funzioni di più variabili, si procede prima di tutto guardando il valore del limite lungo qualche restrizione del dominio che passi per il punto di accumulazione.
nel tuo caso:
$lim sin(7xy) / (x^2 + y^2)$
vedo cosa succede, ad esempio, lungo la retta x = 0, o y = 0: effettivamente il limite fa 0, quindi se il limite esiste deve fare 0.
ora non sarà forse il caso di vedere cosa succede moltiplicando e dividendo per 7xy la funzione?
edit
in ogni caso, prima avevi preso una restrizione buona, e fatto vedere che il limite non esiste. però hai delle lacune, quindi un po' di esercizio non ti fa male
ma infatti ora il mio discorso non era incentrato sul calcolare il limite dato che ero riuscito a concludere che non esiste...era perchè mi è stato consigliato di usare l'asintotico...e volevo capire bene come usarlo...dato che non l'ho mai usato...ne tantomeno ne parla il mio profe nelle sue dispense...
ora è chiaro che invece che la mia restrizione potevo risolverlo con il limite notevole...
però per dire...se l'asintotico è davvero il polinomio di taylor...a me non sembra di aver sbagliato i calcoli...perchè mi viene 14xy...?
squall mi ha suggerito che l'asintotico del sen è sempre l'argomento del sen...ma non era sicuro...però nessuno ha più scritto nulla...e quindi non mi son schiarito le idee a riguardo...su internet spesso fanno riferimento all'asintotico per gli sviluppi in serie...
ora è chiaro che invece che la mia restrizione potevo risolverlo con il limite notevole...
però per dire...se l'asintotico è davvero il polinomio di taylor...a me non sembra di aver sbagliato i calcoli...perchè mi viene 14xy...?
squall mi ha suggerito che l'asintotico del sen è sempre l'argomento del sen...ma non era sicuro...però nessuno ha più scritto nulla...e quindi non mi son schiarito le idee a riguardo...su internet spesso fanno riferimento all'asintotico per gli sviluppi in serie...
hai fatto analisi 1? perchè queste cose si fanno lì.
comunque si pone 7xy = t e poi si sviluppa in una sola variabile, sfruttando il teorema di unicità del polinomio di taylor
comunque si pone 7xy = t e poi si sviluppa in una sola variabile, sfruttando il teorema di unicità del polinomio di taylor
si ho fatto analisi 1...altrimenti non sarei a studiare la 2...
quindi io non ho sbagliato a calcolare Taylor della funzione sin(7xy)...è che è l'asintotico che va calcolato con Taylor in una variabile...
ma bisogna sempre fermarsi al 1° grado...?
quindi io non ho sbagliato a calcolare Taylor della funzione sin(7xy)...è che è l'asintotico che va calcolato con Taylor in una variabile...
ma bisogna sempre fermarsi al 1° grado...?
mah, non capisco.. dici che ad analisi 1 non hai mai usato taylor e la cosa mi pare molto strana, comunque è evidente che devi studiarti per bene tutta la teoria prima di cimentarti, perchè non riesci a vedere cose che dovrebbero saltare subito all'occhio.
per rispondere in breve alla tua domanda: lo sviluppo di taylor troncato al primo ordine per funzioni di più variabili, si scrive così (x sta per (x,y)):
$ T(x) = f(x_0) + + o(|x-x_0|)$ per $x to x_0$
lì sopra non capisco cos'hai combinato, ma ti garantisco che è sbagliato:
$ = (7ycos(7xy), 7xcos(7xy)) \ |_(x,y = 0,0) = (0, 0)$
è evidente che lo sviluppo fino al primo ordine non è sufficiente, e difatti 7xy è un infinitesimo di ordine 2, per cui bisognerebbe introdurre il secondo ordine nel polinomio (matrice hessiana). motivo per cui si sfrutta lo sviluppo in una sola variabile, altrimenti perdi un sacco di tempo per niente.
bisogna sempre fermarsi al primo grado? ad analisi 1 questo problema è stato affrontato, riguardati la parte relativi a limiti, sviluppi e simboli di landau
per rispondere in breve alla tua domanda: lo sviluppo di taylor troncato al primo ordine per funzioni di più variabili, si scrive così (x sta per (x,y)):
$ T(x) = f(x_0) +
lì sopra non capisco cos'hai combinato, ma ti garantisco che è sbagliato:
$
è evidente che lo sviluppo fino al primo ordine non è sufficiente, e difatti 7xy è un infinitesimo di ordine 2, per cui bisognerebbe introdurre il secondo ordine nel polinomio (matrice hessiana). motivo per cui si sfrutta lo sviluppo in una sola variabile, altrimenti perdi un sacco di tempo per niente.
bisogna sempre fermarsi al primo grado? ad analisi 1 questo problema è stato affrontato, riguardati la parte relativi a limiti, sviluppi e simboli di landau
sto cercando di far pratica con gli esercizi...e mi è sorto un dubbio...
ad es. ho il seguente esercizio
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^3-2xy+y^2)/(x^2+y^2) $
lungo la direzione degli assi non vale 0 in entrambi i casi, lascio perdere il calcolo con le coordinate polari (non mi sembra vantaggioso)
pongo y=mx e calcolo il limite lungo le rette passanti per (0,0)
ora in questo caso trovo che il limite non esiste perchè il mio risultato dipende da m...giusto ?
il mio dubbio è un altro, se non dipendeva da m...e valeva 0...non ero ancora in grado di dire che veramente valeva 0, perchè cmq avevo solo stabilito che tutte le rette tendevano a 0...ma ciò non escludeva che il risultato magari di una curva avvicinandosi all'origine fosse diverso...giusto ?
ad es. ho il seguente esercizio
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^3-2xy+y^2)/(x^2+y^2) $
lungo la direzione degli assi non vale 0 in entrambi i casi, lascio perdere il calcolo con le coordinate polari (non mi sembra vantaggioso)
pongo y=mx e calcolo il limite lungo le rette passanti per (0,0)
ora in questo caso trovo che il limite non esiste perchè il mio risultato dipende da m...giusto ?
il mio dubbio è un altro, se non dipendeva da m...e valeva 0...non ero ancora in grado di dire che veramente valeva 0, perchè cmq avevo solo stabilito che tutte le rette tendevano a 0...ma ciò non escludeva che il risultato magari di una curva avvicinandosi all'origine fosse diverso...giusto ?
giusto, per la verità ti puoi fermare appena vedi che lungo gli assi ha due valori diversi, e poi ti ricordo anche che y=mx rappresenta tutte le rette passanti per l'origine, tranne la retta x=0. se comunque hai il presentimento che un limite tenda a un certo valore, allora procedi con la verifica, ovvero applichi la definizione di limite
a beh...è vero...tu dici che potevo dedurre che non esisteva il limite anche semplicemente osservando che per (0,y) ottenevo l'espressione x...quindi il limite vale 0....mentre per (x,0) ottenevo che il limite vale 1...
non so come dimostrazione forse è più elegante ponendo y=mx, o cmq esporle tutte e due...poi questo dipende molto da professore a professore...
cmq grazie...incomincio a capirci qualcosa forse
non so come dimostrazione forse è più elegante ponendo y=mx, o cmq esporle tutte e due...poi questo dipende molto da professore a professore...
cmq grazie...incomincio a capirci qualcosa forse
non dipende dal professore, ma da un teorema il quale ti assicura che il limite vale l se e solo se vale l lungo tutte le restrizioni del dominio
questo è il testo
$ lim_((x,y) -> (0,0)) [sin(xy)]^2/(2x^2+3y^2) $
io l'ho riscritto in questa forma
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (sin^2(xy)^2)/(2x^2+3y^2)=(sin(xy)^2*sin(xy)^2)/(2x^2+3y^2)=(xy)^4/(2x^2+3y^2) $
in coordinate polari
$ lim_((rho) -> (0)) (rho^4cos^4theta*rho^4sen^4theta)/(2rho^2cos^2theta+3rho^2sen^2theta)=(rho^8cos^4thetasen^4theta)/(rho^2(2cos^2theta+3sen^2theta))=(rho^6cos^4thetasen^4theta)/(2cos^2theta+3sen^2theta)=0 $
non sono molto convinto del mio operato...che dite ?
$ lim_((x,y) -> (0,0)) [sin(xy)]^2/(2x^2+3y^2) $
io l'ho riscritto in questa forma
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (sin^2(xy)^2)/(2x^2+3y^2)=(sin(xy)^2*sin(xy)^2)/(2x^2+3y^2)=(xy)^4/(2x^2+3y^2) $
in coordinate polari
$ lim_((rho) -> (0)) (rho^4cos^4theta*rho^4sen^4theta)/(2rho^2cos^2theta+3rho^2sen^2theta)=(rho^8cos^4thetasen^4theta)/(rho^2(2cos^2theta+3sen^2theta))=(rho^6cos^4thetasen^4theta)/(2cos^2theta+3sen^2theta)=0 $
non sono molto convinto del mio operato...che dite ?
???!?!!?!?
Scusate,ho letto tutti i post precednti,ma non mi è chiaro come si possa calcolare il limite tramite le restrizioni,perchè io le utilizzo solo per vedere se il limite esite....
"gugo82":
La questione non è troppo complicata, ma se non te l'hanno spiegata per bene ad Analisi I è un po' difficile da recuperare così su due piedi. Allora...
Devi verificare che:
[tex]$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^4}{x^2+y^2} =0$[/tex],
cioè che il numero [tex]$l=0$[/tex] gode della seguente proprietà:
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2\setminus \{ (0,0)\},\ \sqrt{x^2+y^2}<\delta \ \Rightarrow\ \left| \frac{x^4}{x^2+y^2} \right| <\varepsilon$[/tex].
Per procedere con la verifica, l'idea generale è questa.
Appena vedi una coppia di quantificatori [tex]$\forall\ldots \exists \ldots :$[/tex], ritieni che la variabile quantificata da [tex]$\forall$[/tex] sia un parametro fissato in base al quale determinare quella quantificata da [tex]$\exists$[/tex] (che è l'unica vera incognita del problema); poi, dopo i [tex]$:$[/tex], quando incontri una struttura del tipo [tex]$\forall \ldots ,\ \ldots \Rightarrow \ldots$[/tex], devi ritenere che la roba quantificata da [tex]$\forall$[/tex] sia un gruppo di varibili fittizie (o ausiliarie, che dir ti piaccia di più) da usare per determinare la vera incognita (quella quantificata da [tex]$\exists$[/tex]) e che la determinazione di tale incognita si fa usando in qualche modo le relazioni a destra e sinistra di [tex]$\Rightarrow$[/tex].
In questo caso, è [tex]$\delta$[/tex] la vera incognita da doversi determinare in funzione di [tex]$\varepsilon$[/tex] e le [tex]$(x,y)$[/tex] sono le variabili ausiliarie; il tuo compito è riuscire a tirare fuori una relazione del tipo [tex]$\sqrt{x^2+y^2}<\text{qualcosa}$[/tex] chiedendoti "Ma quando è davvero possibile dire che [tex]\left| \frac{x^4}{x^2+y^2} \right| <\varepsilon[/tex]?".
Allora chiediamoci: quando è davvero possibile dire che [tex]\left| \frac{x^4}{x^2+y^2} \right| <\varepsilon[/tex]?
Beh, è possibile avere una relazione del genere se riusciamo a maggiorare il primo membro con qualcosa del tipo [tex]$A(\sqrt{x^2+y^2})$[/tex] (ove [tex]$A(t)$[/tex] è una funzione "abbastanza semplice") che può a sua volta essere maggiorato con [tex]$\varepsilon$[/tex] intorno a [tex]$(0,0)$[/tex]: infatti se [tex]\left| \frac{x^4}{x^2+y^2} \right| \leq A(\sqrt{x^2+y^2})[/tex] e se [tex]A(\sqrt{x^2+y^2})<\varepsilon[/tex] intorno a [tex]$(0,0)$[/tex] è chiaro che la nostra disuguaglianza sarà verificata intorno a [tex]$(0,0)$[/tex].
La questione quindi si sposta sulla determinazione del maggiorante [tex]$A(\sqrt{x^2+y^2})$[/tex] intorno a [tex]$(0,0)$[/tex].
Ciò si può fare in molti modi (non c'è un'unica tecnica e molto è lasciato all'intuito ed alle conoscenze dello studente), uno di questi è quello suggerito dal tuo libro, ossia sfruttare la maggiorazione [tex]$x^4=x^2\ x^2\leq x^2(x^2+y^2)$[/tex]: invero si ha:
[tex]\left| \frac{x^4}{x^2+y^2} \right| \leq \frac{x^2(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=x^2[/tex]
dappertutto; però ancora non siamo contenti, perchè il maggiorante non è del tipo che ci fa più comodo... Allora, ricordato che [tex]$x^2\leq \big( \sqrt{x^2+y^2}\big)^2$[/tex], possiamo scrivere:
[tex]\left| \frac{x^4}{x^2+y^2} \right| \leq x^2\leq \left( \sqrt{x^2+y^2}\right)^2[/tex]
la disuguaglianza valendo sempre dappertutto; a questo punto, l'ultimo maggiorante è del tipo [tex]$A(\sqrt{x^2+y^2})$[/tex] con [tex]$A(t)=t^2$[/tex].
Determinato il maggiorante più comodo, per finire, basta mostrare che una disuguaglianza del tipo [tex]$A(\sqrt{x^2+y^2}) < \varepsilon$[/tex] è vera se è vera una disuguaglianza del tipo [tex]$\sqrt{x^2+y^2} < a(\varepsilon)$[/tex] (con [tex]$a(t)$[/tex] funzione definita almeno in un intorno destro di [tex]$0$[/tex]) e porre [tex]$\delta = a (\varepsilon)$[/tex].
Nel caso in esame, abbiamo [tex](\sqrt{x^2+y^2})^2 < \varepsilon[/tex] se e solo se [tex]$\sqrt{x^2+y^2} < \sqrt{\varepsilon}$[/tex]; visto che il secondo membro dell'ultima disuguaglianza è del tipo [tex]$a(\varepsilon)$[/tex] possiamo dire di aver determinato la nostra vera incognita quando poniamo [tex]$\delta =\sqrt{\varepsilon}$[/tex].
Scusate se riesumo la discussione (google mi è stato amico), ma ho un dubbio sulla determinazione del delta. E' necessario determinarlo esplicitamente per dimostrare che il limite esiste? Intuitivamente una volta trovato il maggiorante sappiamo che gli epsilon e i delta esistono per il maggiorante, e quindi possiamo usare gli stessi anche per la funzione maggiorata. E' un ragionamento che è fallace da qualche parte o i libri in genere hanno una gran voglia di far disuguaglianze?
"gmD":
Scusate se riesumo la discussione (google mi è stato amico), ma ho un dubbio sulla determinazione del delta. E' necessario determinarlo esplicitamente per dimostrare che il limite esiste? Intuitivamente una volta trovato il maggiorante sappiamo che gli epsilon e i delta esistono per il maggiorante e quindi possiamo usare gli stessi anche per la funzione maggiorata. E' un ragionamento che è fallace da qualche parte [...]?
E nel caso in cui per la funzione maggiorante non sia possibile determinare un \(\delta\) opportuno?
Capita parecchie volte di trovare maggiorazioni "inutili", che non ti consentono di concludere.
"gmD":
i libri in genere hanno una gran voglia di far disuguaglianze
Ti rispondo citando qualcuno più importante di me:
All analysts spend half their time hunting through the literature for inequalities which they want to use but cannot prove.
(H. Bohr)
(H. Bohr)
"gugo82":
[quote="gmD"]Scusate se riesumo la discussione (google mi è stato amico), ma ho un dubbio sulla determinazione del delta. E' necessario determinarlo esplicitamente per dimostrare che il limite esiste? Intuitivamente una volta trovato il maggiorante sappiamo che gli epsilon e i delta esistono per il maggiorante e quindi possiamo usare gli stessi anche per la funzione maggiorata. E' un ragionamento che è fallace da qualche parte [...]?
E nel caso in cui per la funzione maggiorante non sia possibile determinare un \(\delta\) opportuno?
Capita parecchie volte di trovare maggiorazioni "inutili", che non ti consentono di concludere.
"gmD":
i libri in genere hanno una gran voglia di far disuguaglianze
Ti rispondo citando qualcuno più importante di me:
All analysts spend half their time hunting through the literature for inequalities which they want to use but cannot prove.
(H. Bohr)
[/quote](H. Bohr)
Grazie Gugo per la risposta.
Scusate ragazzi se vi assillo, ma avrei un altro dubbio: quando riusciamo a ricondurci ad un limite in una variabile il valore del limite è sempre quello di una variabile o può anche non esistere? Mi è chiaro che se il limite esiste dev'essere quello di una variabile, ma a parte alcuni casi semplici (in cui compare fortunosamente una sostituzione del tipo \(\displaystyle x^2+y^2 \) et similia, ovvero quando posso dimostrare esplicitamente che l'uno implica l'altro) non mi è immediatamente chiaro che sia così in tutti i casi. Sto perdendo qualcosa per strada?
Esempio...
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