Limiti esercizi

[ale.vh1]

Ciao ragazzi, volevo una mano riguardo ai seguenti esercizi sui limiti
$ lim_(x->pi/2)(sinx)^(1/cosx) $
Sono arrivato a tal punto, ma non riesco ad andare avanti :
$ lim_(x->0)e^(-1/(siny)*ln(-cosy)) $
Ho anche un secondo esercizio:
$ lim_(x->-oo)(ln(1+x^2)+e^x)/x^2 $
Il risultato dovrebbe essere 0 ma il mio è 1
Grazie anticipatamente

[anto_zoolander]

$x->x/2$....?

Il secondo invece:

$lim_(x->-infty)ln(1+x^2)^(1/x^2)+lim_(x->-infty)e^x/x^2$

Il secondo limite ovviamente viene $0$ e ricordando che il logaritmo perde contro qualsiasi cosa, allora $x^2$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $ln(1+x^2)$ dunque fa $0$.

[ale.vh1]

Grazie per avermi fatto notare l'errore di trascrizione del primo esercizio, correggo immediatamente

[anto_zoolander]

$lim_(x->pi/2)(sinx)^(1/cosx)=[1^infty]$

$lim_(x->pi/2)e^(ln(sinx)/cosx)$

Ora siamo nel tipo $[0/0]$ e questo tipo si risolve subito con de l'hôpital...

$lim_(x->pi/2)(1/sinx*cosx)/(-sinx)=0$

Dunque $e^0=1$

[francicko]

Forse si può anche risolvere solamente con gli asintotici
osservando che:
$lim_(x->(pi)/2)(sinx)^(1/cosx) $ $=lim_(x->0)(cosx)^(1/sinx)$ $=lim_(x->0)(sqrt(1-sin^2 (x)))^(1/sinx)$ $=lim_(x->0)(sqrt (1-x^2))^(1/x)$ $=lim_(x->0)(1-x^2/2)^(1/x) $ $=lim_(x->0)(1-x^2/2)^((-2x)/(-2x^2))$ $=lim_(x->0)((1-x^2/2)^(2/-x^2))^(-x^2/2)$ $=e^0=1$