Limiti e Integrali

[steve vai]

ragazzi vorrei sapere se a questi limiti e integrali mi trovo giusto...a voi:



$lim_{x->0}(sinx/x)^(1/x) =e$

$lim_{x->oo}{[1+2^(1/x)]/2} =oo$

$lim_{x->oo}(x^3-x)^(1/log(x+1)] =oo$


per gli integrali

$int xlog(x^2-2x+3)dx = xlog(x^2-2x+3)-log(x^2-2x+3)+[6/(radical2)]arctan[(x-1)/(radical2)] +c$

$int xarctan(2+x)dx =(x^2/2)arctan(2+x)+(x/2)-log(2x^2+8x+10)+[3/(2radical2)]arctan[(x+2)/(radical2)] +c$

$int (x+1)/[x^3(x^2+2x+2)]dx = -1/x -1/(2x) +(1/2)log(x^2+2x+2)-2arctan(x+1) +c$


spero che mi possiate aiutare, grazie per l'aiuto.

[Sk_Anonymous]

In altre parole, non puoi aspettarti di estendere le proprietà delle potenze, così come sono date sugli interi, agli esponenziali reali, senza imporre le condizioni indispensabili perché il processo sia correttamente definito, e poi meravigliarti se qualcosa non funziona...

[Sk_Anonymous]

"steve vai":quindi anche per la funzione $f(x)= x e^(-x^2)$ il campo di esistenza è $]0;+oo[ ?

No, in questo caso il dominio massimale di $f$, in quanto funzione reale di variabile reale, è tutto $RR$: la base dell'esponenziale, in questo caso, è una costante positiva, dunque le uniche condizioni si impongono sull'esponente e sul fattore moltiplicativo dell'esponenziale. Senonché entrambi sono dei polinomi, per cui...

[_Tipper]

"DavidHilbert":L'errore è nel fatto che stai tentando di esportare con troppa leggerezza sugli esponenziali le proprietà ordinarie delle potenze: in generale, le mappe $x \to (x^2)^x$ ed $x \to x^{2x}$ non rappresentano, tramite le rispettive formule, la medesima funzione reale di variabile reale, e pertanto non si possono uguagliare. A meno di non ammettere $x > 0$. Il tuo errore sta, per l'appunto, nell'aver scambiato un'eguaglianza simbolica per una sostanziale.

Ah ho capito, è un po' come accade per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ e $\sqrt{\frac{x}{x}}$, che sono la stessa cosa solo per $x>0$.