Limiti e Integrali
ragazzi vorrei sapere se a questi limiti e integrali mi trovo giusto...a voi:
$lim_{x->0}(sinx/x)^(1/x) =e$
$lim_{x->oo}{[1+2^(1/x)]/2} =oo$
$lim_{x->oo}(x^3-x)^(1/log(x+1)] =oo$
per gli integrali
$int xlog(x^2-2x+3)dx = xlog(x^2-2x+3)-log(x^2-2x+3)+[6/(radical2)]arctan[(x-1)/(radical2)] +c$
$int xarctan(2+x)dx =(x^2/2)arctan(2+x)+(x/2)-log(2x^2+8x+10)+[3/(2radical2)]arctan[(x+2)/(radical2)] +c$
$int (x+1)/[x^3(x^2+2x+2)]dx = -1/x -1/(2x) +(1/2)log(x^2+2x+2)-2arctan(x+1) +c$
spero che mi possiate aiutare, grazie per l'aiuto.
$lim_{x->0}(sinx/x)^(1/x) =e$
$lim_{x->oo}{[1+2^(1/x)]/2} =oo$
$lim_{x->oo}(x^3-x)^(1/log(x+1)] =oo$
per gli integrali
$int xlog(x^2-2x+3)dx = xlog(x^2-2x+3)-log(x^2-2x+3)+[6/(radical2)]arctan[(x-1)/(radical2)] +c$
$int xarctan(2+x)dx =(x^2/2)arctan(2+x)+(x/2)-log(2x^2+8x+10)+[3/(2radical2)]arctan[(x+2)/(radical2)] +c$
$int (x+1)/[x^3(x^2+2x+2)]dx = -1/x -1/(2x) +(1/2)log(x^2+2x+2)-2arctan(x+1) +c$
spero che mi possiate aiutare, grazie per l'aiuto.
Risposte
ti consiglio di usare derive(software) che è molto utile.
cmq il primo limite da 1 essendo che il seno di x per x-->0 si comporta come x.
Il secondo da sempre 1 essendo che 1/x con x-->inf tende a zero
il terzo idem essendo come sopra denominatore che fa tendendere l'esopntente a zero cioè il limite da 1
Per il primo integrale sfrutta la propietà dei logaritmi così semplifichi l'integrale sfruttando qualche sostituzione per renderlo immediato.
cmq il primo limite da 1 essendo che il seno di x per x-->0 si comporta come x.
Il secondo da sempre 1 essendo che 1/x con x-->inf tende a zero
il terzo idem essendo come sopra denominatore che fa tendendere l'esopntente a zero cioè il limite da 1
Per il primo integrale sfrutta la propietà dei logaritmi così semplifichi l'integrale sfruttando qualche sostituzione per renderlo immediato.
non capisco perchè il primo limite dia 1
ho applicato hopital e mi esce $e^1=e$
mi puoi far vedere come lo svolgeresti tu?
grazie mille
ho applicato hopital e mi esce $e^1=e$
mi puoi far vedere come lo svolgeresti tu?
grazie mille
non serve de l'hopital.
Svolgilo nel seguente modo,logaritmando ed elevando $e$:
$(sinx/x)^(1/x) = e^(ln(sinx/x)^(1/x)) = e^(ln(sinx/x)/x) = e^(1/x) + e^ln((senx)/x) = e^(1/x) + (senx)/x$ per le proprietà dei logaritmi e degli esponenti
svolgendo il limite
$lim_{x->0}(e^(1/x) + (senx)/x)$
a me sembra che vengano il limite destro->+infinito e il limite sinistro->1 ?
Forse ho sbagliato anch'io?
Svolgilo nel seguente modo,logaritmando ed elevando $e$:
$(sinx/x)^(1/x) = e^(ln(sinx/x)^(1/x)) = e^(ln(sinx/x)/x) = e^(1/x) + e^ln((senx)/x) = e^(1/x) + (senx)/x$ per le proprietà dei logaritmi e degli esponenti
svolgendo il limite
$lim_{x->0}(e^(1/x) + (senx)/x)$
a me sembra che vengano il limite destro->+infinito e il limite sinistro->1 ?
Forse ho sbagliato anch'io?
"-Veon-":
$e^(ln(sinx/x)/x) = e^(1/x) + e^ln((senx)/x)
Questo passaggio è sbagliato, casomai $e^{\frac{\ln(\frac{\sin(x)}{x})}{x}} = (e^{\ln(\frac{\sin(x)}{x})})^{\frac{1}{x}}$.
In ogni caso, basta calcolare il $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(\frac{\sin(x)}{x})}{x}$, che se non erro fa zero, quindi tutto il limite fa uno.
scusate ho fatto un passaggio veramente fuoti di testa...si vede che dopo una giornata di studio la testa è un po' fusa!!!
"Tipper":
[quote="-Veon-"]$e^(ln(sinx/x)/x) = e^(1/x) + e^ln((senx)/x)
Questo passaggio è sbagliato, casomai $e^{\frac{\ln(\frac{\sin(x)}{x})}{x}} = (e^{\ln(\frac{\sin(x)}{x})})^{\frac{1}{x}}$.
In ogni caso, basta calcolare il $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(\frac{\sin(x)}{x})}{x}$, che se non erro fa zero, quindi tutto il limite fa uno.[/quote]
non capisco...forse sbaglio a calcolare il limite...
$lim_{x->0}log[(senx)/x]/x = (log1)/0 = 0/0 ?$
"Tipper":
[quote="-Veon-"]$e^(ln(sinx/x)/x) = e^(1/x) + e^ln((senx)/x)
Questo passaggio è sbagliato, casomai $e^{\frac{\ln(\frac{\sin(x)}{x})}{x}} = (e^{\ln(\frac{\sin(x)}{x})})^{\frac{1}{x}}$.
In ogni caso, basta calcolare il $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(\frac{\sin(x)}{x})}{x}$, che se non erro fa zero, quindi tutto il limite fa uno.[/quote]
non capisco...forse sbaglio a calcolare il limite...
$lim_{x->0}log[(senx)/x]/x = (log1)/0 = 0/0 ?$
Non l'ho detto, ma ho applicato un paio di volte De l'Hopital.
"Tipper":
Non l'ho detto, ma ho applicato un paio di volte De l'Hopital.
potresti scrivere il procedimento di come hai fatto? perchè io applicando De l'Hopital mi sono trovato $e^1=e$
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(\frac{\sin(x)}{x})}{x}$
Derivo sopra e sotto ottenendo:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin(x)} \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2}$
Consideriamo a parte, per un attimo, il secondo termine, per vedere come va a zero applichiamo De l'Hopital sul secondo termine:
$\frac{\cos(x) -x \sin(x) - \cos(x)}{2x}$ e questo va a zero per $x \rightarrow 0$.
Quindi $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin(x)} \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} = 1 \cdot 0 = 0$
Risultato: $e^0 = 1$.
Derivo sopra e sotto ottenendo:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin(x)} \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2}$
Consideriamo a parte, per un attimo, il secondo termine, per vedere come va a zero applichiamo De l'Hopital sul secondo termine:
$\frac{\cos(x) -x \sin(x) - \cos(x)}{2x}$ e questo va a zero per $x \rightarrow 0$.
Quindi $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin(x)} \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} = 1 \cdot 0 = 0$
Risultato: $e^0 = 1$.
"steve vai":
$int xlog(x^2-2x+3)dx = xlog(x^2-2x+3)-log(x^2-2x+3)+[6/(radical2)]arctan[(x-1)/(radical2)] +c$
$int xlog(x^2-2x+3)dx$
Prendendo come fattore differenziale $x$ e come fattore finito $log(x^2-2x+3)$
$=x^2/2*log(x^2-2x+3)-1/2int(x^2*(2x-2))/(x^2-2x+3)dx=$
$=x^2/2*log(x^2-2x+3)-1/2int(2x^3-2x^2)/(x^2-2x+3)dx=$
divido il numeratore per il denominatore ed ottengo che $(2x^3-2x^2)/(x^2-2x+3)=2x+2-(2x+6)/(x^2-2x+3)$
$=x^2/2*log(x^2-2x+3)-1/2int(2x+2-(2x+6)/(x^2-2x+3))dx=$
$=x^2/2*log(x^2-2x+3)-intxdx+intdx-1/2int(2x+6)/(x^2-2x+3)dx=$
$=x^2/2*log(x^2-2x+3)-x^2/2+x-1/2int(2x-2+2+6)/(x^2-2x+3)dx=$
$=x^2/2*log(x^2-2x+3)-x^2/2+x-1/2int(2x-2)/(x^2-2x+3)dx-4int(dx)/(x^2-2x+3)=$
$=x^2/2*log(x^2-2x+3)-x^2/2+x-1/2log(x^2-2x+3)dx-4int(dx)/((x-2)^2-1)=$
$=x^2/2*log(x^2-2x+3)-x^2/2+x-1/2log(x^2-2x+3)dx+4int(dx)/(1-(x-2)^2)=$
$=x^2/2*log(x^2-2x+3)-x^2/2+x-1/2log(x^2-2x+3)dx+4sett tgh(x-2)$
Spero non ci siano errori
"steve vai":
$int xarctan(2+x)dx.
$int xarctan(2+x)dx=$
Prendendo come fattore differenziale $x$ e come fattore finito $arctg(2+x)$
$=x^2/2arctg(2+x)-1/2intx^2/(x^2+4x+5)dx=x^2/2arctg(2+x)-1/2int(x^2+4x+5-4x-5)/(x^2+4x+5)dx=$
$=x^2/2arctg(2+x)-1/2intdx+1/2int (4x+5)/(x^2+4x+5)dx=$
$=x^2/2arctg(2+x)-1/2x+1/2int (2x+2x+4+1)/(x^2+4x+5)dx=$
$=x^2/2arctg(2+x)-1/2x+1/2int (2x+4)/(x^2+4x+5)dx+1/2int(2x+1)/(x^2+4x+5)dx=$
$=x^2/2arctg(2+x)-1/2x+1/2 log(x^2+4x+5)+1/2int(2x+4-3)/(x^2+4x+5)dx=$
$=x^2/2arctg(2+x)-1/2x+log(x^2+4x+5)-3/2intdx/((x+2)^2+1)=$
$=x^2/2arctg(2+x)-1/2x+log(x^2+4x+5)-3/2arctg(x+2)$
grazie a tutti per le dritte!
in questo momento stavo studiando una funzione...e come esercizio ho pescato:
$ x e^(-x^2) $
ora io ho pensato che il campo di esistenza sia.
$ x != o$
ho pensato giusto?:P
in questo momento stavo studiando una funzione...e come esercizio ho pescato:
$ x e^(-x^2) $
ora io ho pensato che il campo di esistenza sia.
$ x != o$
ho pensato giusto?:P
"steve vai":
in questo momento stavo studiando una funzione...e come esercizio ho pescato: $ x e^(-x^2) $
ora io ho pensato che il campo di esistenza sia $ x \ne 0$ ho pensato giusto?
Decisamente no.
Magari $x^{-x^2}$ potrebbe avere quel campo di esistenza...
"Tipper":
Magari $x^{-x^2}$ potrebbe avere quel campo di esistenza...
No, Tipper, casomai quest'ultima avrebbe il suo dominio in $]0, +\infty[$.
Giusto giusto, $x>0$, sorry 
A forza di questi esempi mi è venuto un dubbio banale:
se io scrivo $f(x)=(x^2)^x$, il suo dominio è $x \ne 0$, poiché la base deve sempre essere positiva;
ma se io scrivo $f(x)=x^{2x}$, dato che la base deve essere positiva il dominio risulterebbe $x>0$, cioè diverso dal precedente,
chi mi svela l'arcano?
se io scrivo $f(x)=(x^2)^x$, il suo dominio è $x \ne 0$, poiché la base deve sempre essere positiva;
ma se io scrivo $f(x)=x^{2x}$, dato che la base deve essere positiva il dominio risulterebbe $x>0$, cioè diverso dal precedente,
chi mi svela l'arcano?
L'errore è nel fatto che stai tentando di esportare con troppa leggerezza sugli esponenziali le proprietà ordinarie delle potenze: in generale, le mappe $x \to (x^2)^x$ ed $x \to x^{2x}$ non rappresentano, tramite le rispettive formule, la medesima funzione reale di variabile reale, e pertanto non si possono uguagliare. A meno di non ammettere $x > 0$. Il tuo errore sta, per l'appunto, nell'aver scambiato un'eguaglianza simbolica per una sostanziale.
quindi anche per la funzione $f(x)= x e^(-x^2)$
il campo di esistenza è $]0;+oo[
?
il campo di esistenza è $]0;+oo[
?
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