[LIMITI] dubbio esercizio

[Larios1]

Mi si chiede di trovare per quale valore di alfa la funzione sotto è continua su tutto l'insieme di definizione:

$(e^x - e^(-x))/x$ per x diverso da 0

alfa per x = 0

allora calcolo il limite della funzione sopra per x che tende a 0

Il mio dubbio è trasformando il numeratore in $(e^x -1) - (e^(-x)-1)$ si puo passare direttamente a x -(-x) oppure è necessario usare gli o piccoli(io credo sia da fare così) visto che l'asintotico non si usa a regola in caso di somma o differenza? e se si usa senza o piccoli è perchè siamo in presenza di limiti notevoli o cosa?

[ciampax]

Applicare de l'Hopital no, eh? Il limite viene 2!
Comunqeu, se vuoi usare gli sviluppi di Taylor devi andare almeno al secondo ordine: infatti

$e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+o(t^2)$

e quindi

$e^x-e^{-x}=1+x+\frac{x^2}{2}-(1-x+\frac{x^2}{2})+o(x^2)=2x$

da cui il limite uguale a 2 come ti dicevo.

[Luca.Lussardi]

Ma anche senza Hopital nè Taylor, era già tutto fatto: $(e^x-1)/x+(e^-x-1)/(-x) \to 1+1=2$.

[Larios1]

si, era da risolvere senza hopital ne taylor , avevo solo come dubbio se fosse possibile usare l'asintotico direttamente, ma col passaggio che ha messo luca effettivamente è chiaro

grazie