Limiti di successioni

[dem1509]

Ciao! Ho provato a risolvere questo limite, il risultato è corretto ma non so se lo è anche il ragionamento. Potreste dare un'occhiata per favore?

$lim_(n->infty) ((ln(2+e^n))/n)^n = lim_(n->infty) (ln(e^n(2/e^n+1))/n)^n = lim_(n->infty) ((ln e^n+ln(2/e^n+1))/n)^n =
lim_(n->infty) ((n+ln(2/e^n+1))/n)^n = lim_(n->infty) (1+(ln(2/e^n+1))/n)^n $

Siccome $2/e^n$ tende a 0 per n tendente ad infinito, $ln (2/e^n +1)$ tende a zero e anche $(ln (2/e^n +1))/n$ tende a 0. Si ha così $1^n$ che tende a 1.

Mi confermate?

[ciampax]

Il risultato è corretto... ma l'ultima cosa che dici è una cavolata megagalattica, visto che $1^\infty$ è una forma indeterminata. Per procedere correttamente devi usare il seguente fatto
$$\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$$
Allora hai che
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\frac{1}{2/e^n}\cdot\ln(2/e^n+1)\cdot \frac{2}{e^n}}{n}\right)^n=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{2}{ne^n}\right)^n=$$
usando il limite notevole $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{a_n})^{a_n}=e$ quando $a_n\to+\infty$
$$=\lim_{n\to+\infty}\left[\underbrace{\left(1+\frac{1}{ne^n/2}\right)^{ne^n/2}}_{\to e}\right]^{2/e^n}=e^0=1$$
in quanto $2/e^n\to 0$.