Limiti di funzione

[Quasar3.14]

Ciao ragazzi,

mi sto esercitando con i limiti di funzione, e vorrei, se possibile, un vostro parere su questi esercizi. Sono svolti correttamente, secondo voi?

1) $\lim_{x \to \0} x(sen(2x))/(sen^2(3x))$

$x(sen(2x))/(sen^2(3x)) ~~ (x2x)/(3x)^2 = (2x^2)/(9x^2) = 2/9$

2) $\lim_{x \to \infty} x(ln(x+1)-lnx) = lim_{x \to \infty}x(ln(1+1/x)) = lim_{x \to \infty} xln(1) = 0$

3) $\lim_{x \to \infty} e^(sqrt(x^2+x)) - e^(sqrt(x^2-1)) = \lim_{x \to \infty} e^(sqrt(x^2(1+1/x))) - e^(sqrt(x^2(1-1/(x^2))) $

Poichè $sqrt(x^2(1+1/x)) = xsqrt(1+1/x) ~~ x(1+1/(2x)) = x + 1/2$ e
$sqrt(x^2(1-1/x^2)) = xsqrt(1-1/(x^2)) ~~ x(1-1/(2x^2)) = x-1/(2x) $

$ \lim_{x \to \infty} e^(sqrt(x^2(1+1/x))) - e^(sqrt(x^2(1-1/(x^2))) $ $= \lim_{x \to \infty} e^(x + 1/2) - e^(x-1/(2x))$ $ = \lim_{x \to \infty} e^x(e^(1/2) - e^(-1/2x)) = +infty$

Grazie a tutti per l'aiuto

[otta96]

La 1) si, gli altri 2 no, e a questo punto anche la 1) probabilmente per i motivi sbagliati.
Il punto è che non devi passare a delle approssimazioni asintotiche a pezzi.

[SwitchArio]

Attenzione nella 2) non hai esattamente $ln(1)$ ma $ln(1+t)$ con $t\to0$, la cosa è diversa, infatti svolgendo il limite \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\) ti si presenta la forma indeterminata $\infty \cdot 0$.
Idea: sfrutta l'equivalenza asintotica \(\displaystyle \ln(1+t) \sim t \) per $t\to0$

Nel 3) all'ultimo passaggio $-\frac{1}{2x}$ all'esponente lo hai fatto diventare $-\frac{1}{2}x$, tuttavia anche tenendo conto di \(\displaystyle e^{-\frac{1}{2x}}\sim 1-\frac{1}{2x} \) il risultato del limite rimane lo stesso ($+\infty$)

[pilloeffe]

Ciao Quasar3.14,

Devi per forza usare le stime asintotiche?
Perché i primi due limiti che hai proposto si risolvono tranquillamente coi limiti notevoli:

1) $ \lim_{x \to 0} x(sin(2x))/(sin^2(3x)) = \lim_{x \to 0} x(2sin(x)cos(x))/(sin^2(3x)) = 2 \cdot \lim_{x \to 0} x (sin(x)cos(x))/(3x)^2 \cdot (3x)^2/(sin^2(3x)) = $
$ = 2/9 \cdot \lim_{x \to 0} cos(x) \cdot sin(x)/x \cdot ((3x)/(sin(3x)))^2 = 2/9 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1^2 = 2/9 $

2) $ \lim_{x \to +\infty} x(ln(x+1)-lnx) = \lim_{x \to +\infty} x[ln(1+1/x)] = \lim_{x \to +\infty} (ln(1+1/x))/(1/x) = \lim_{t \to 0} (ln(1+t))/t = 1 $

In realtà anche l'ultimo, ma richiede un po' più di lavoro:

3) $\lim_{x \to +\infty} e^(\sqrt(x^2+x)) - e^(\sqrt(x^2-1)) = \lim_{x \to +\infty} e^(\sqrt(x^2(1+1/x))) - e^(\sqrt(x^2(1-1/(x^2)))) = \lim_{x \to +\infty} e^(x\sqrt(1+1/x))[1 - e^(x \sqrt(1-1/(x^2)) - x\sqrt(1+1/x))] = $
$ = \lim_{x \to +\infty} e^(x\sqrt(1+1/x))[1 - exp((\sqrt(1-1/x^2) - \sqrt(1+1/x))/(1/x))] = $

$ = \lim_{x \to +\infty} e^(x\sqrt(1+1/x))[1 - exp((\sqrt(1-1/x^2) - 1)/(1/x) - (\sqrt(1+1/x) - 1)/(1/x))] = $

$ = \lim_{x \to +\infty} e^(x\sqrt(1+1/x))[1 - exp((\sqrt(1-1/x^2) - 1)/(1/x^2) \cdot 1/x - (\sqrt(1+1/x) - 1)/(1/x))] = $

$ = e^{+\infty \cdot 1} [1 - exp(1/2 \cdot 0 - 1/2)] = +\infty \cdot [1 - e^{-1/2}] = +\infty \cdot [1 - 1/\sqrt(e)] = +\infty $

[Quasar3.14]

Vi ringrazio a tutti per i consigli e per le spiegazioni.
@pilloeffe, Non c'erano indicazioni particolari circa il metodo di risoluzione, avrei dovuto specificarlo nel primo post.

[Quasar3.14]

Ragazzi, scusatemi, approfitto di questo topic per chiedervi un parere su questi altri limiti.
Non ci sono vincoli circa il metodo di risoluzione



1) $\lim_{x \to \0} ln(4x+1)/x $ essendo una forma indeterminata $0/0$ provo con l’Hopital
$\lim_{x \to \0} ln(4x+1)/x = $$\lim_{x \to \0} (D ln(4x+1))/(D x) =$ $\lim_{x \to \0} (4/(4x+1))/1 = 4 $
I requisiti per applicare de l’Hopital mi sembrano rispettati in quando la forma indeterminata con cui si presenta il limite è $0/0$ ln(4x+1) e x sono continue, derivabili e non si annullano nell’intorno considerato.

2) $\lim_{x \to \0}(1-cosx)/(sen^2(x)) =
\lim_{x \to \0} (1-cosx)/(x^2((sen(x))/x)^2) =
\lim_{x \to \0} - (cos(x)-1)/x^2 = \lim_{x \to \0}2sin^2(x/2)/(x^2) =
2 \lim_{x \to \0} (sin(x/2)/(x/2))^2 / (4)$

$ 2 \lim_{x \to \0} 1/4 = 1/2 $

3) $\lim_{x \to \1^+} (logcosx)/x^2 $
In questo caso, è corretto il risultato $logcos(1)$? Essendo una funzione continua in $x=1$ non basta sostituire tale valore all'interno del limite?

4)$\lim_{x \to \0}[1/x(sen1/x)(senx)^2] = $
Con questo limite invece vi chiedo, se per favore, potreste darmi una mano per iniziare a risolverlo. Se provo a svolgere i limiti dei tre fattori, questa strada non mi porta da nessuna parte. Idee?

[pilloeffe]

1) Risultato corretto, ma più semplicemente coi limiti notevoli:

$\lim_{x \to 0} ln(4x+1)/x = 4 \cdot \lim_{x \to 0} ln(4x+1)/(4x) = 4 \cdot \lim_{t \to 0} ln(1 + t)/t = 4 \cdot 1 = 4 $

2) Risultato corretto, ma passaggi errati:

$ \lim_{x \to \0}(1-cosx)/(sin^2 x) = \lim_{x \to \0} (1-cosx)/x^2 \cdot 1/((sin x)/x)^2 = 1/2 \cdot 1/1^2 = 1/2 $

3) Corretto, ma secondo me in realtà il limite è per $ x \to 0 $ ed in tal caso si ha:

$ \lim_{x \to 0} (logcosx)/x^2 = - 1/2 $

4)

$\lim_{x \to 0}[1/x sin(1/x) (sinx)^2] = \lim_{x \to 0}[x sin(1/x)(sinx/x)^2] = \lim_{x \to 0}[ sin(1/x)/(1/x) \cdot (sinx/x)^2] = $
$ = 0 \cdot 1^2 = 0 $

[Quasar3.14]

2) La tua soluzione mi piace, è più bella, ma posso chiederti perchè la mia è sbagliata? Quale passaggio non è corretto?

3) Confermo, è corretto $1^+$, il dubbio era proprio per questa ragione. Domanda, ma per

$ \lim_{x \to 0} (logcosx)/x^2 $ il risultato non dovrebbe essere $0$

Grazie per l'aiuto!

[pilloeffe]

"Quasar3.14":La tua soluzione mi piace, è più bella, ma posso chiederti perchè la mia è sbagliata? Quale passaggio non è corretto?

E' errata perché sei passato al limite prima per un pezzo, poi per l'altro: quando si passa al limite ci si passa per tutto simultaneamente, non "a rate"... Ti riscrivo la tua soluzione (anche se ti piace meno della mia... ) coi passaggi corretti:

$ \lim_{x \to 0} (1-cosx)/(x^2((sin x)/x)^2) = \lim_{x \to 0} (2 sin^2(x/2))/x^2 \cdot 1/((sin x)/x)^2 = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0} (4 sin^2(x/2))/(x^2) \cdot 1/((sin x)/x)^2 = $
$ = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0} (sin^2(x/2))/(x/2)^2 \cdot 1/((sin x)/x)^2 = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0} [(sin(x/2))/(x/2)]^2 \cdot 1/((sin x)/x)^2 = 1/2 \cdot 1^2 \cdot 1/1^2 = 1/2 $

3)

"Quasar3.14":ma per

$\lim_{x \to 0} (logcosx)/x^2 $ il risultato non dovrebbe essere $0$

No, infatti si ha:

$\lim_{x \to 0} (logcosx)/x^2 = \lim_{x \to 0} (log\sqrt{1 - sin^2 x})/x^2 = \lim_{x \to 0} log(1 - sin^2 x)^{1/2}/x^2 = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0} log(1 - sin^2 x)/x^2 = $
$ = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0} log(1 - sin^2 x)/(- sin^2 x) \cdot (- sin^2x)/x^2 = - 1/2 \cdot \lim_{t \to 0} log(1 + t)/t \cdot \lim_{x \to 0} ((sin x)/x)^2 = $
$ = - 1/2 \cdot 1 \cdot 1^2 = - 1/2 $

[Quasar3.14]

Ti ringrazio come sempre pilloeffe, ma non mi è chiara una cosa, che intendi con "sei passato al limite prima per un pezzo, poi per l'altro"?
Mi sorge un dubbio, anche questo limite ha lo stesso errore?

Nel caso mi potresti dire quale passaggio è erratto, quello che porta ad un passaggio a limite "a rate"?

$\lim_{x \to 0} (tg^2(x))/(1-cos(x)) =
\lim_{x \to 0} (sin^2x)/((1-cos(x))cos^2(x)) =
- \lim_{x \to 0} (sin^2x)/((cos(x)-1)cos^2(x)) =
- \lim_{x \to 0} 1/(cos^2(x)) (sin^2(x))/(cos(x)-1) =
\lim_{x \to 0} (sin^2(x))/(cos(x)-1) =
- \lim_{x \to 0} (x^2 (sin^2(x)/x)^2)/(cos(x)-1) =
- \lim_{x \to 0} (x^2)/(cosx-1) =
- \lim_{x \to 0} - (x^2) / (2sin^2(x/2)) =
1/2 \lim_{x \to 0} 4/ ((sin(x/2))/(x/2))^2 =
1/2 * 4 = 2

$

[pilloeffe]

"Quasar3.14":Nel caso mi potresti dire quale passaggio è erratto, quello che porta ad un passaggio a limite "a rate"?

Sì, questo:

$... = - \lim_{x \to 0} 1/(cos^2(x)) (sin^2(x))/(cos(x)-1) = \lim_{x \to 0} (sin^2(x))/(cos(x)-1) = ... $

A parte che ti sei scordato il segno $-$ (che peraltro non serve raccogliere... ), sei passato al limite per il primo "pezzo" $1/cos^2(x) $ e poi per il resto. Lo svolgimento corretto, anche più breve, è il seguente:

$\lim_{x \to 0} (tan^2(x))/(1- cos(x)) = \lim_{x \to 0} (tan^2x)/x^2 \cdot 1/((1-cos(x))/x^2) = \lim_{x \to 0} ((tan x)/x)^2 \cdot 1/((1 - cos(x))/x^2) = 1^2 \cdot 1/(1/2) = 2 $

[Noodles1]

"Quasar3.14":
... mi potresti dire quale passaggio è errato ...

Trattandosi di un prodotto:

$1/cos^2x*sin^2x/(cosx-1)$

poichè:

$lim_(x rarr 0)1/cos^2x=1$

tutti i passaggi sono corretti:

$lim_(x rarr 0)1/cos^2x*sin^2x/(cosx-1)=lim_(x rarr 0)1/cos^2x*lim_(x rarr 0)sin^2x/(cosx-1)=lim_(x rarr 0)sin^2x/(cosx-1)$

[Quasar3.14]

Grazie!

L'errore mi è chiaro. Curiosità, è un errore di "forma" oppure è un errore che mi porterebbe, inevitabilmente, ad avere risultati errati? Quindi nel caso degli esercizi postati è un "caso" che mi ritrovi poi con lo stesso risultato?

Ti sono molto grato per le risposte nei topic che apro.

Ho un ultimo esercizio, e poi per oggi, prometto, non posto più limiti.

$\lim_{x \to 1^+} (ln(1+sqrt(x-1))/(sqrt(x^2-1)) $

Per questo limite, è corretto che al numeratore la funzione logaritmo è continua e derivabile in tutto il suo dominio, in questo caso $>=1$ mentre al denominatore con $x to 1^+$ otteniamo $0$ e di conseguenza, in base all'algebra degli infinti e degli inifinitesi, il risultato del limite è $+infty$ ?

[pilloeffe]

Hai la tendenza a complicarti un po' la vita:

$\lim_{x \to 1^+} ln(1+\sqrt(x-1))/(\sqrt(x^2-1)) = \lim_{x \to 1^+} ln(1+\sqrt(x-1))/(\sqrt(x-1)\sqrt(x + 1)) = \lim_{x \to 1^+} ln(1+\sqrt(x-1))/\sqrt(x-1) \cdot \lim_{x \to 1^+}1/\sqrt(x + 1) = $
$ = 1 \cdot 1/\sqrt2 = 1/\sqrt2 $

Ti consiglierei di prendere confidenza coi limiti notevoli (vanno benissimo quelli che puoi trovare su Wikipedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Limite_notevole) e poi con gli sviluppi in serie (i limiti notevoli non sono altro che sviluppi in serie al primo ordine) coi quali si risolvono la maggior parte dei limiti "ragionevoli" (ed anche qualcuno non proprio ragionevolissimo tipo questo) e solo successivamente con gli ordini di infinitesimo ed infinito coi quali in effetti si possono risolvere limiti complicatissimi (ne ho visto qualcuno in Analisi matematica I che era talmente lungo che ho dovuto ruotare il foglio A4 per farcelo stare...), ma che potresti anche non incontrare mai nel tuo percorso di studi...

[Quasar3.14]

Ti ringrazio come sempre per l'aiuto e per i consigli.

[Quasar3.14]

Scusate se riporto a galla il topic ma sto sbattendo la testa su questo limite.

$\lim_(x->0) (tg(x)+x)/(sin(x)+2x)=$ $lim_(x->0) ((sin(x))/(cos(x))+x)/(sin(x)+2x)=$

$lim_(x->0) (sin(x)+xcos(x))/(cos(x)sin(x)+2xcos(x))=$

Il mio problema è nello svolgere i limiti a "pezzi" come mi è stato fatto notare qui sul forum.
Per esempio ho provato a dividere numeratore e denominatore per $x$ in modo da ottenere

$lim_(x->0) (sen(x))/x =1$

Ma poi, mettendo un attimo da parte il discorso dei limiti a pezzi, comunque non saprei come continuare. Ed inoltre, come detto, non credo che a prescindere sia corretta come idea.

Suggerimenti?

Ho anche un'altra domanda, per questo limite, è corretto procedere direttamente per sostituzione?
Il limite tende a due ma essendo al numeratore un logaritmo in base due e al denominatore degli esponenziali, la funzione è continua nell'intervallo considerato.

$lim_(x->2) log_2(x)/(2^(2x)-2^x-2) = 1/10$

[pilloeffe]

Ciao Quasar3.14,

"Quasar3.14":Scusate se riporto a galla il topic ma sto sbattendo la testa su questo limite.

Scusa, ma invece di "riportare a galla" topic, non potresti aprirne uno nuovo? Sarebbe anche meglio per la leggibilità del thread...

Comunque il primo è praticamente immediato:

$\lim_{x \to 0}(tan(x)+x)/(sin(x)+2x) = \lim_{x \to 0}(tan(x)/x+1)/(sin(x)/x+2) = (1 + 1)/(1 + 2) = 2/3 $

"Quasar3.14":Ho anche un'altra domanda, per questo limite, è corretto procedere direttamente per sostituzione?

$\lim_{x \to 2} log_2(x)/(2^(2x)-2^x-2) = 1/10 $

Sì. Sicuro però che sia $x \to 2 $ e non $x \to 1 $? Perché in questo secondo caso avresti la forma indeterminata $0/0 $ ed in tal caso si ha:

$\lim_{x \to 1} log_2(x)/(2^(2x)-2^x-2) = 1/(6 ln^2 2) $

[Quasar3.14]

Ti ringrazio Pilloeffe, non sai quanto mi stiano aiutando le tue spiegazioni.
Purtroppo continuo ad avere difficoltà a "vedere" i limiti notevoli.

Grazie!!

[ncant04]

"pilloeffe":
2) $ \lim_{x \to +\infty} x(ln(x+1)-lnx) = \lim_{x \to +\infty} x[ln(1+1/x)] = \lim_{x \to +\infty} (ln(1+1/x))/(1/x) = \lim_{t \to 0} (ln(1+t))/t = 1 $

Ancora più semplice: per le proprietà dei logaritmi si ha
\[
x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) = \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \to \ln e = 1
\]
per $x \to \pm infty$, e ce l'hai direttamente nel sacco!