Limiti con valore assoluto
Salve ragazzi... volevo chiedervi aiuto su come potrei risolvere questi limiti e in generale i limiti con valore assoluto
$ lim_(x -> 1^-) (|x-1|)/(x^2-x) $
io avevo pensato di scomporre il denominatore e poi semplificare ma non credo si possa fare quando c'è di mezzo il valore assoluto e mi sono fermato qui...
invece in un altro esercizio in cui mi chiede di dire se la funzione
$ f(x)=x|x+1| $
è continua in x=-1 ho calcolato prima la funzione nel punto -1 e quindi viene 0.
ora dovrei verificare che il
$ lim_(x -> -1) x|x+1| $
sia anch'esso 0... come potrei procedere visto che c'è il valore assoluto...
grazie a tutti in anticipo;)
$ lim_(x -> 1^-) (|x-1|)/(x^2-x) $
io avevo pensato di scomporre il denominatore e poi semplificare ma non credo si possa fare quando c'è di mezzo il valore assoluto e mi sono fermato qui...
invece in un altro esercizio in cui mi chiede di dire se la funzione
$ f(x)=x|x+1| $
è continua in x=-1 ho calcolato prima la funzione nel punto -1 e quindi viene 0.
ora dovrei verificare che il
$ lim_(x -> -1) x|x+1| $
sia anch'esso 0... come potrei procedere visto che c'è il valore assoluto...
grazie a tutti in anticipo;)
Risposte
Nel primo caso, avendo $x\to 1^-$, vuol dire che ti avvicini a $1$ per $x<1$, quindi $x-1<0$ e questo vuol dire che $|x-1|=-(x-1)$. Ne segue che
[tex]$\lim_{x\to 1^-}\frac{|x-1|}{x^2-x}=\lim_{x\to 1^-}\frac{-(x-1)}{x(x-1)}=\lim_{x\to 1^-}\ -\frac{1}{x}=-1$[/tex]
All'interno di un limite puoi "semplificare" termini uguali che vanno a zero, in quanto il concetto stesso di limite fa riferimento al "valore in un intorno del punto" (dove, in generale, i termini che vanno a zero non sono identicamente nulli).
Nel secondo caso, a meno che la funzione non sia scritta come frazione, non hai problemi: osserva che essa si può riscrivere come
[tex]$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
x(x+1) & & x\geq 0\\ & & \\ -x(x+1) & & x<0
\end{array}\right.$[/tex]
ed entrambi i "pezzi" di tale funzione hanno come limite zero per $x\to -1$.
EDIT: corretto.
[tex]$\lim_{x\to 1^-}\frac{|x-1|}{x^2-x}=\lim_{x\to 1^-}\frac{-(x-1)}{x(x-1)}=\lim_{x\to 1^-}\ -\frac{1}{x}=-1$[/tex]
All'interno di un limite puoi "semplificare" termini uguali che vanno a zero, in quanto il concetto stesso di limite fa riferimento al "valore in un intorno del punto" (dove, in generale, i termini che vanno a zero non sono identicamente nulli).
Nel secondo caso, a meno che la funzione non sia scritta come frazione, non hai problemi: osserva che essa si può riscrivere come
[tex]$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
x(x+1) & & x\geq 0\\ & & \\ -x(x+1) & & x<0
\end{array}\right.$[/tex]
ed entrambi i "pezzi" di tale funzione hanno come limite zero per $x\to -1$.
EDIT: corretto.
Ciao, nel primo esercizio si specifica chiaramente che $x$ tende a $1$ da sinistra, quindi si mantiene, diciamo, inferiore a $1$.
Pertanto la quantità [tex]$x-1$[/tex] è inferiore a zero, un $0^-$, per capirci.
Se quella quantità è negativa, allora il valore assoluto puoi scioglierlo cambiando il segno e basta: [tex]$|x-1|=1-x$[/tex]
Per il secondo, se il valore assoluto ti impensierisce prova a considerare i due casi distinti con $x$ che tende a $1$ da destra e da sinistra.
Vedrai che questo non è influente.
La funzione $f(x)=|x|$ infatti è continua (la peculiarità che la rende nota è semmai la non derivabilità in zero), quindi lo è anche
$f(x)=|x+1|$ ( una traslazione banale) cioè con $x\to-1$ la funzione tende al valore in quel punto, cioè $0$.
Nel tuo caso hai anche un $x$ a moltiplicare, che però tende a $-1$ e non ti dà problemi.
Ciao, spero sia chiaro.
edit: in contemporanea con ciampax, non lo avrei pensato all'una di notte passata.
Non mi torna la questione del primo modulo, vedi un attimo meglio.
Pertanto la quantità [tex]$x-1$[/tex] è inferiore a zero, un $0^-$, per capirci.
Se quella quantità è negativa, allora il valore assoluto puoi scioglierlo cambiando il segno e basta: [tex]$|x-1|=1-x$[/tex]
Per il secondo, se il valore assoluto ti impensierisce prova a considerare i due casi distinti con $x$ che tende a $1$ da destra e da sinistra.
Vedrai che questo non è influente.
La funzione $f(x)=|x|$ infatti è continua (la peculiarità che la rende nota è semmai la non derivabilità in zero), quindi lo è anche
$f(x)=|x+1|$ ( una traslazione banale) cioè con $x\to-1$ la funzione tende al valore in quel punto, cioè $0$.
Nel tuo caso hai anche un $x$ a moltiplicare, che però tende a $-1$ e non ti dà problemi.
Ciao, spero sia chiaro.
edit: in contemporanea con ciampax, non lo avrei pensato all'una di notte passata.
Non mi torna la questione del primo modulo, vedi un attimo meglio.
Steven dici a me o a lui?
A te, quando dici
Se $x->1^-$, allora ci si avvicina per $x<1$
"ciampax":
Nel primo caso, avendo $x\to 1^-$, vuol dire che ti avvicini a $1$ per $x>1$, quindi $x-1>0$ e questo vuol dire che $|x-1|=x-1$. Ne segue che
[tex]$\lim_{x\to 1^-}\frac{|x-1|}{x^2-x}=\lim_{x\to 1^-}\frac{x-1}{x(x-1)}=\lim_{x\to 1^-}\frac{1}{x}=1$[/tex]
Se $x->1^-$, allora ci si avvicina per $x<1$
Opppsss... guarda quanto stavo rinco ieri ieri sera, ho letto $-$ e ho pensato $+$!!!! Correggo! 
Grazie a tutti per le risposte veloci... allora per quanto riguarda il primo posso riscrivere il limite (considerando che nel modulo si ha uno 0-) in questo modo: $ lim_(x -> 1^-) (1-x)/(x(x-1)) $
giusto?
poi per il secondo esercizio non l'ho capito molto sinceramente....scusate l'ignoranza...
giusto?
poi per il secondo esercizio non l'ho capito molto sinceramente....scusate l'ignoranza...
Sì, il limite è quello (che è identico a quello che ho scritto io correggendo). Cosa non hai capito del secondo caso?
e come mi comporto con quel limite? sono andato nel pallone...
del secondo non riesco a capire bene come mi devo comportare e mi trovo di fronte a quel limite.... devo dividerlo in 2 parti e calcolare semplicemente il limite per entrambe le parti e vedere se è uguale??
del secondo non riesco a capire bene come mi devo comportare e mi trovo di fronte a quel limite.... devo dividerlo in 2 parti e calcolare semplicemente il limite per entrambe le parti e vedere se è uguale??
Ma scusa, i conti che ho fatto io per quel limite gli hai letti?
Per il secondo, quello che devi fare è esattamente quello che hai appena scritto!
Per il secondo, quello che devi fare è esattamente quello che hai appena scritto!
"ciampax":
Ma scusa, i conti che ho fatto io per quel limite gli hai letti?
Per il secondo, quello che devi fare è esattamente quello che hai appena scritto!
che idiota che sono... x non aver fatto caso che avevi corretto e xkè non ho pensato subito a fare una cosa del genere...sto messo proprio male : Dscusami... e grazie mille a tutti... ora sto vededendo anche un limite con due ln... se non riesco, se non mi picchiate prima, provo a chiedervi un aiutino...
grazie e buona domenica : )
scusate ragazzi.... sono rimasto bloccato con questi limit:
calcolare il seguente limite:
$ lim_(x -> oo ) n[ln(n+1)+ln(1/n)] $
calcolare e verificare utilizzando la definizione di limite:
$ lim_(x -> 1^+ ) ln|1-x| $
calcolare il seguente limite:
$ lim_(x -> 1 ) (sin(1-x^2))/(1-x) $
per il secondo avevo pensato di togliere il valore assoluto considerando che è uno 0- e verrebbe ln(-1+x)...
per il terzo invece avevo pensato di mettere (1-x) al denominatore al quadrato e moltiplicare la funzione per 1-x cosi il limite della prima parte verrebbe 1 moltiplicato poi per il lim di 1-x che viene 0 e quindi 0... però non sono convinto...
scusate e grazie in anticipo
calcolare il seguente limite:
$ lim_(x -> oo ) n[ln(n+1)+ln(1/n)] $
calcolare e verificare utilizzando la definizione di limite:
$ lim_(x -> 1^+ ) ln|1-x| $
calcolare il seguente limite:
$ lim_(x -> 1 ) (sin(1-x^2))/(1-x) $
per il secondo avevo pensato di togliere il valore assoluto considerando che è uno 0- e verrebbe ln(-1+x)...
per il terzo invece avevo pensato di mettere (1-x) al denominatore al quadrato e moltiplicare la funzione per 1-x cosi il limite della prima parte verrebbe 1 moltiplicato poi per il lim di 1-x che viene 0 e quindi 0... però non sono convinto...
scusate e grazie in anticipo
Nel primo usa le proprietà dei logaritmi: $\log(a/b)=\log a-\log b,\ \log a^b=b\cdot\log a$.
Nel secondo, avendo $x\to 1^+$, allora $x>1$ quindi il valore assoluto diventa... e quindi calcolando hai...
Nel terzo moltiplica denominatore e numeratore per $1+x$ e usa il limite notevole $\sin t/t$ per $t\to 0$.
Nel secondo, avendo $x\to 1^+$, allora $x>1$ quindi il valore assoluto diventa... e quindi calcolando hai...
Nel terzo moltiplica denominatore e numeratore per $1+x$ e usa il limite notevole $\sin t/t$ per $t\to 0$.
allora per il primo ho fatto così:
$ n[ln(n+1)+ln(1)-ln(n)] $
che diventa
$ n[ln(n+1)-ln(n)] $
e poi
$ n[(ln(n+1))/(n)] $
corretto??
per il terzo l'ho impostato così:
$ (sin(1-x^2))/(1-x^2)(1+x) $
per cui viene il limite notevole che è uguale a 1 e poi moltiplicato per (1+1) viene 2
$ n[ln(n+1)+ln(1)-ln(n)] $
che diventa
$ n[ln(n+1)-ln(n)] $
e poi
$ n[(ln(n+1))/(n)] $
corretto??
per il terzo l'ho impostato così:
$ (sin(1-x^2))/(1-x^2)(1+x) $
per cui viene il limite notevole che è uguale a 1 e poi moltiplicato per (1+1) viene 2
Il primo è sbagliato: la successione diventa
[tex]$n\left[\log(n+1)+\log\left(\frac{1}{n}\right)\right]=n\log\left(\frac{n+1}{n}\right)=\log\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$[/tex]
per cui usando un noto limite notevole ottieni...?
L'ultimo è giusto.
[tex]$n\left[\log(n+1)+\log\left(\frac{1}{n}\right)\right]=n\log\left(\frac{n+1}{n}\right)=\log\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$[/tex]
per cui usando un noto limite notevole ottieni...?
L'ultimo è giusto.
"ciampax":
Il primo è sbagliato: la successione diventa
[tex]$n\left[\log(n+1)+\log\left(\frac{1}{n}\right)\right]=n\log\left(\frac{n+1}{n}\right)=\log\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$[/tex]
per cui usando un noto limite notevole ottieni...?
L'ultimo è giusto.
scusa ma il limite notevole è:
$ (1+1/n)^n $
che da e?? no vero??
per il secondo esercizio ancora invece non riesco a capire... se tende ad 1+ vuol dire che l'argomento del log è un numero negativo ma essendoci il modulo è positivo...e quindi il limite per x che tende ad un x0 di un log tende sempre a -inf se l'argomento è maggiore di 1 mentra se l'argomento è compreso tra 0 e 1 tende a +inf?? ho detto una cavolata vero?
Se $x>1$ allora $1-x<0$ e quindi $|1-x|=-(1-x)=x-1$
"ciampax":
Se $x>1$ allora $1-x<0$ e quindi $|1-x|=-(1-x)=x-1$
grazxie... ma in questo caso poi mi basta sostituire uno e viene ln0 che è impossibile?o devo considerare una quantità positiva?
grazie e scusa ancora il disturbo...
mentre il limite notevole è quello che ho scritto nel post precedente?? e verrebbe ln di e che sarebbe 1??
grazie
[tex]$\lim_{t\to 0^+}\log t=-\infty$[/tex]
grazie mille... e se t tendesse ad uno 0+ sarebbe +inf giusto??
mentre il limite notevole dell'altro esercizio è giusto??
grazie
mentre il limite notevole dell'altro esercizio è giusto??
grazie
E che cav.... scusa, avevo sbagliato il segno! $t$ tende a $0^+$. L'altro limite non puoi averlo: il logaritmo è definito per $t>0$, quindi non è possibile trovare il suo comportamento in intorni "sinistri" di $0$, cioè quelli della forma $(-a,0)$ con $a>0$.
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