Limiti con parte intera
Ciao a tutti, ho qualche dubbio nel risolvere i limiti con la parte intera: per esempio discutere l'esistenza dei seguenti limiti:
1) $lim_(xrightarrow2)[x^4-2x^3-x+2]$ 2) $ lim_(xrightarrow0)[x+(x-[x])^2] $ 3) $ lim_(xrightarrow+infty)(x/([x]))$
dove [] indica la parte intera.
1) il primo non dovrebbe esistere in quanto $lim_(xrightarrow2+)[x^4-2x^3-x+2]=[0+]=0$ mentre $lim_(xrightarrow2-)[x^4-2x^3-x+2]=[0-]=-1$ giusto?
2)$lim_(xrightarrow0+)[x+(x-[x])^2]=[0+]=0$ e $lim_(xrightarrow0+)[x+(x-[x])^2]=[1-]=0$ quindi il limite è uguale a 0?
3)E' evidente che la funzione $0<=$ $x/([x])$ $<2$ e provando a sostituire dei valori si nota anche $x/([x])rightarrow1$ per $xrightarrow+infty$, ma qualcuno può mostrarmi quali sono i passaggi per arrivare al risultato?
EDIT
Forse ho risolto: dato che $x-1<=[x]<=x$, si ottiene, facendo i reciproci e moltiplicando per x: $1<=x/([x])<=x/(x-1)$ quindi per il teorema del confronto il limite tende a 1. Qualcuno può confermare o smentire?
1) $lim_(xrightarrow2)[x^4-2x^3-x+2]$ 2) $ lim_(xrightarrow0)[x+(x-[x])^2] $ 3) $ lim_(xrightarrow+infty)(x/([x]))$
dove [] indica la parte intera.
1) il primo non dovrebbe esistere in quanto $lim_(xrightarrow2+)[x^4-2x^3-x+2]=[0+]=0$ mentre $lim_(xrightarrow2-)[x^4-2x^3-x+2]=[0-]=-1$ giusto?
2)$lim_(xrightarrow0+)[x+(x-[x])^2]=[0+]=0$ e $lim_(xrightarrow0+)[x+(x-[x])^2]=[1-]=0$ quindi il limite è uguale a 0?
3)E' evidente che la funzione $0<=$ $x/([x])$ $<2$ e provando a sostituire dei valori si nota anche $x/([x])rightarrow1$ per $xrightarrow+infty$, ma qualcuno può mostrarmi quali sono i passaggi per arrivare al risultato?
EDIT
Forse ho risolto: dato che $x-1<=[x]<=x$, si ottiene, facendo i reciproci e moltiplicando per x: $1<=x/([x])<=x/(x-1)$ quindi per il teorema del confronto il limite tende a 1. Qualcuno può confermare o smentire?
Risposte
Per il primo dipende se intendi il pavimento o il troncamento verso lo zero
Non ho capito cosa intendi. [] indica la parte intera così definita: $[x]=max{n in ZZ | n<=x}$ quindi per l'esercizio 1) ho ragionato in questo modo: dato che il limite da destra ha come risultato un numero "poco più grande" di 0, la sua parte intera è zero, mentre il limite da sinistra ha come risultato un numero "poco più piccolo" di 0, quindi la sua parte intera è -1.
Nel primo hai scambiato \(0^+\) e \(0^-\) ma il risultato non cambia, il limite non esiste. Quello che fai nell'EDIT è corretto. E anche il secondo limite è corretto. Belli questi esercizi.
Grazie mille! Allora forse hai voglia di controllarmi anche questo 
:
Determinare $lim_(xrightarrowk(pi/2))([cosx])$ al variare di $k in ZZ$.
se $k=1+4n, n in ZZ$
$lim_(xrightarrowk(pi/2)+)([cosx])=[0^-]=-1$ e $lim_(xrightarrowk(pi/2)-)([cosx])=[0^+]=0$ non esiste
se $k=2+4n, n in ZZ$
$lim_(xrightarrowk(pi/2)+)([cosx])=[-1^-]=-1$ e $lim_(xrightarrowk(pi/2)-)([cosx])=[-1^-]=-1$ esiste
se $k=3+4n, n in ZZ$
$lim_(xrightarrowk(pi/2)+)([cosx])=[0^+]=0$ e $lim_(xrightarrowk(pi/2)-)([cosx])=[0^-]=-1$ non esiste
se $k=4n, n in ZZ$
$lim_(xrightarrowk(pi/2)+)([cosx])=[1^-]=0$ e $lim_(xrightarrowk(pi/2)-)([cosx])=[1^-]=0$ esiste
:Determinare $lim_(xrightarrowk(pi/2))([cosx])$ al variare di $k in ZZ$.
se $k=1+4n, n in ZZ$
$lim_(xrightarrowk(pi/2)+)([cosx])=[0^-]=-1$ e $lim_(xrightarrowk(pi/2)-)([cosx])=[0^+]=0$ non esiste
se $k=2+4n, n in ZZ$
$lim_(xrightarrowk(pi/2)+)([cosx])=[-1^-]=-1$ e $lim_(xrightarrowk(pi/2)-)([cosx])=[-1^-]=-1$ esiste
se $k=3+4n, n in ZZ$
$lim_(xrightarrowk(pi/2)+)([cosx])=[0^+]=0$ e $lim_(xrightarrowk(pi/2)-)([cosx])=[0^-]=-1$ non esiste
se $k=4n, n in ZZ$
$lim_(xrightarrowk(pi/2)+)([cosx])=[1^-]=0$ e $lim_(xrightarrowk(pi/2)-)([cosx])=[1^-]=0$ esiste
UUUHhh che rottura
(Comunque mi pare corretto)
(Comunque mi pare corretto)
Grazie!
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