Limiti con logaritmi naturali

[chiara_genova]

ciao a tutti, ho provato a risolvere questi limiti ma proprio non riesco a uscirne

grazie a chi potrà illuminarmi.
C.

$lim_(x->0)ln(x+1)/(sin^2x)$

e

$lim_(x->0)ln(1-sinx)/(tan^2x)$

[_luca.barletta]

Principalmente hai 2 modi per procedere: o consideri le parti principali delle funzioni a numeratore e denominatore, oppure applichi, se possibile, il teor. di De L'Hopital.

[chiara_genova]

no, sono da calcolare senza l'hopital..in che senso considero le parti principali? grazie

[manuelaoro]

puoi utilizzare i limiti notevoli

[_luca.barletta]

Il primo termine dello sviluppo in serie di Taylor.

[chiara_genova]

non sono da calcolare manco con taylor..
allora, ho provato a cominciare il calcolo ma, come al solito, mi blocco:

$ln(x+1)/(sin^2x) -> ln(x+1)/(sinx*sinx) -> ln(x+1)/(sinx*x/x*sinx*x/x)->ln(x+1)/(x^2)$

e ora? scusate, ma fra i limiti notevoli non ce n'è nessuno relativo ai logaritmi naturali? grazie

[_nicola de rosa]

"chiara_genova":ciao a tutti, ho provato a risolvere questi limiti ma proprio non riesco a uscirne

grazie a chi potrà illuminarmi.
C.

$lim_(x->0)ln(x+1)/(sin^2x)$

e

$lim_(x->0)ln(1-sinx)/(tan^2x)$

$ln(x+1)/(sin^2x)=(ln(x+1))/x*x^2/(sin^2x)*1/x$
Analogamente
$(ln(1-senx))/(tan(x)^2)=(ln(1-senx))/(-sen(x))*x^2/(tan(x)^2)*(-sen(x))/x*1/x$
Sfrutta i limiti notevoli
$lim_(x->0)(ln(x+1))/x=1$,$lim_(x->0)(senx)/x=1$,$lim_(x->0)(tan(x))/x=1$
Inoltre $lim_(x->0)(ln(1-senx))/(-senx)=1$ e questo non è notevole ma si ricava dal fatto che in un intorno di $x=0$ $senx$ si comporta come $x$

[manuelaoro]

attenzione!!!!
$(sinx*x/x*sinx*x/x)!=x^2$

i limiti notevoli sono i seguenti:

$lim_(x->0)(ln(x+1)/x)=1$
$lim_(x->0)(sinx)/x=1$
$lim_(x->0)(tanx)/x=1$

[_nicola de rosa]

"goldengirl":attenzione!!!!
$(sinx*x/x*sinx*x/x)!=x^2$

i limiti notevoli sono i seguenti:

$lim_(x->0)(ln(x+1)/x)=1$
$lim_(x->0)(sinx)/x=1$
$lim_(x->0)(tanx)/x=1$

che sinifica $(sinx*x/x*sinx*x/x)!=x^2$?

[manuelaoro]

mannaggia hai fatto prima di me

[manuelaoro]

nn l'ho scritto io, ma chiara.....

[_nicola de rosa]

"goldengirl":mannaggia hai fatto prima di me

ho semplicemente moltiplicato e diviso per $x^2$, qual è il problema?tutto lecito mi sembra

[Sk_Anonymous]

Sì, ed è il seguente...

$lim_(x->0) (ln (1+x))/x=1$ (1)

... il quale si può dimostrare nel modo seguente...

Dalla definzione del numero e...

$e= lim_(n->oo) (1+1/n)^n$ (2)

... si ottiene...

$lim_(n->oo) n*ln (1+1/n)=1$ (3)

... e ponendo in questa $x=1/n$ si ottiene la (1)...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[manuelaoro]

$ln(x+1)/(sin^2x) -> ln(x+1)/(sinx*sinx) -> ln(x+1)/(sinx*x/x*sinx*x/x)->ln(x+1)/(x^2)$

mi riferivo a questo procedimento di chiara.....

[chiara_genova]

"goldengirl":attenzione!!!!
$(sinx*x/x*sinx*x/x)!=x^2$

perchè? se forzo la semplificazione così:

$(sinx*x/x*sinx*x/x)->sinx/x * sinx/x * x * x$

dove sbaglio? thanx

[_nicola de rosa]

"chiara_genova":[quote="goldengirl"]attenzione!!!!
$(sinx*x/x*sinx*x/x)!=x^2$

perchè? se forzo la semplificazione così:

$(sinx*x/x*sinx*x/x)->sinx/x * sinx/x * x * x$

dove sbaglio? thanx[/quote]
Semplicemente $(sinx*x/x*sinx*x/x)=sinx/x * sinx/x * x * x$

[chiara_genova]

ah, ecco
stavo forzando un po' troppo...

[manuelaoro]

moltiplicare e dividere x nell'argomento del seno non è un errore ma portare fuori dall'argomento quell'x/x che è un errore!!!!

non è un errore invece dividere e moltiplicare tutto $sen^2x$ per $x^2$

[chiara_genova]

ah ecco.. nel senso che dovrei lasciarlo poi così fino alla fine del calcolo?

[manuelaoro]

ehm... cosa vuoi dire?

[chiara_genova]

così è corretto?

$ln(x+1)/((sinx)/x*(sinx)/x*x*x)-> ln(x+1)/x * 1/((sinx)/x)* 1/((sinx)/x)*1/x->1*1*1*+oo = +oo$