Limiti con logaritmi naturali

[chiara_genova]

ciao a tutti, ho provato a risolvere questi limiti ma proprio non riesco a uscirne

grazie a chi potrà illuminarmi.
C.

$lim_(x->0)ln(x+1)/(sin^2x)$

e

$lim_(x->0)ln(1-sinx)/(tan^2x)$

[manuelaoro]

"chiara_genova":così è corretto?

$ln(x+1)/((sinx)/x*(sinx)/x*x*x)-> ln(x+1)/x * 1/((sinx)/x)* 1/((sinx)/x)*1/x->1*1*1*+oo = +oo$

si

[chiara_genova]

ottimo, ho capito! ora risolvo anche l'altro, grazie a tutti

[manuelaoro]

non c'è di che.....

ps: il procedimento è lo stesso

[chiara_genova]

"nicasamarciano":Analogamente
$(ln(1-senx))/(tan(x)^2)=(ln(1-senx))/(-sen(x))*x^2/(tan(x)^2)*(-sen(x))/x*1/x$

ecco, però a me viene un pochino diverso, dove sbaglio?

$ln(1-senx)/(tan^2x)*(-senx)/(-senx)->ln(1-senx)/(-senx)*(-senx)/(tan^2x)*x/x$
$->ln(1-senx)/(-senx)*(-senx)/x*x/(tanx*tanx)->ln(1-senx)/(-senx)*(-senx)/x*x/(tanx*(x/x)*tanx*(x/x))$
$->ln(1-senx)/(-senx)*(-senx)/x*1/(tanx/x)*1/(tanx/x)*x/x*1/x$

[manuelaoro]

"chiara_genova":[quote="nicasamarciano"]Analogamente
$(ln(1-senx))/(tan(x)^2)=(ln(1-senx))/(-sen(x))*x^2/(tan(x)^2)*(-sen(x))/x*1/x$

ecco, però a me viene un pochino diverso, dove sbaglio?

$ln(1-senx)/(tan^2x)*(-senx)/(-senx)->ln(1-senx)/(-senx)*(-senx)/(tan^2x)*x/x$
$->ln(1-senx)/(-senx)*(-senx)/x*x/(tanx*tanx)->ln(1-senx)/(-senx)*(-senx)/x*x/(tanx*(x/x)*tanx*(x/x))$
$->ln(1-senx)/(-senx)*(-senx)/x*1/(tanx/x)*1/(tanx/x)*x/x*1/x$[/quote]

scusami ma perchè ti ostini a fare sto passaggio?

$(tanx*tanx)=tanx*(x/x)*tanx*(x/x)$

non è forse + facile moltiplicare e dividere il tutto per $x^2$, ovvero

$ln(1-senx)/(tan^2x)*(-senx)/(-senx)*(x^2/x^2)=(ln(1-senx)/(-senx))*(x/tanx)^2*(-((senx)/x))*(1/x)$?

[fireball1]

Invece di fare tutte ste divisioni e moltiplicazioni,
basta tener presente che:
$sinx=x(1+o(1))$
$tanx=x(1+o(1))$
$log(1+x)=x(1+o(1))$
per $x->0$, per cui si
ottiene:
$(log(1-sinx))/(tan^2x) = (-sinx(1+o(1)))/(x^2(1+o(1))) = (-x(1+o(1)))/(x^2(1+o(1))) = -1/x (1+o(1))
da cui si vede che il limite dato non esiste, ma esistono il limite destro e quello sinistro.

[fireball1]

E neanche il primo limite esiste...

[manuelaoro]

nn vuole che si applichi hopital e Taylor...

[fireball1]

Inoltre ricordo che scrivere $sinx=x(1+o(1))$
per $x->0$ è come scrivere $sinx ~~ x$ per $x->0$,
che significa "$sinx$ è asintotica a $x$ per $x->0$",
se vi dà fastidio la notazione di Landau.

[fireball1]

"goldengirl":nn vuole che si applichi hopital e Taylor...

Lo sapevo benissimo che mi avreste risposto così,
mi sarei giocato tutto... Ma guardate bene... Non
ho fatto altro che applicare i limiti notevoli e la
notazione di Landau con gli o piccoli...
Non ho fatto nessuno sviluppo di MacLaurin (dato che $x->0$) in questo caso...

[fireball1]

Se volete vi riscrivo il post precedente in un altro
modo, cosicché vi renderete conto che non ho
usato Taylor, ma solo semplicissime stime asintotiche
che derivano dai limiti notevoli.

Invece di fare tutte ste divisioni e moltiplicazioni,
basta tener presente che:
$sinx~~x$
$tanx~~x$
$log(1+x)~~x$
per $x->0$, per cui si
ottiene:
$lim_(x->0) (log(1-sinx))/(tan^2x) = lim_(x->0) (-sinx)/(x^2) =lim_(x->0) (-x)/(x^2) = lim_(x->0) -1/x
da cui si vede che il limite dato non esiste, ma esistono il limite destro e quello sinistro.

[manuelaoro]

ho lasciato la frase in sospeso..... errore di battuta.....
in ogni caso io ho creduto che lei volesse svolgere tali limiti con quelli notevoli....

se poi devo essere condannata ogni volta che dico na cosa, beh allora non posto +.....

[fireball1]

A cosa ti riferisci? Non penso di aver mai condannato (e ci mancherebbe!!! ) e tantomeno offeso nessuno...

[chiara_genova]

ciao fireball, le nozioni da te utilizzate per la risoluzione non sono comprese nel programma di questo esame; gli esercizi che ho postato devono poter essere risolti senza stime asintotiche, landau, taylor, etc (sinceramente non so nemmeno cosa siano ) .

grazie comunque

[fireball1]

Ok... Chiedo scusa.

[chiara_genova]

"goldengirl":
non è forse + facile moltiplicare e dividere il tutto per $x^2$, ovvero

$ln(1-senx)/(tan^2x)*(-senx)/(-senx)*(x^2/x^2)=(ln(1-senx)/(-senx))*(x/tanx)^2*(-((senx)/x))*(1/x)$?

aaah! ho capito! facevo sempre quel passaggio perchè era l'unico che "vedevo".. mi hai letteralmente "aperto gli occhi"
grazie!

[manuelaoro]

"fireball":[quote="goldengirl"]nn vuole che si applichi hopital e Taylor...

Lo sapevo benissimo che mi avreste risposto così,
mi sarei giocato tutto... Ma guardate bene... Non
ho fatto altro che applicare i limiti notevoli e la
notazione di Landau con gli o piccoli...
Non ho fatto nessuno sviluppo di MacLaurin (dato che $x->0$) in questo caso...[/quote]

sembra che io non sappia la definizione di o piccolo......
solo perchè ho sbagliato a cliccare...... mi sono sentita condannata.........
ripeto io credo che lei voglia utilizzare i limiti notevoli... se poi ho sbagliato i calcoli, beh questo è un altro paio di maniche.....

[fireball1]

Ma chi l'ha detto che sembra che tu non sappia che...??!?!?!?!

[fireball1]

Ho capito che lo voleva coi limiti notevoli e infatti ho "ripostato" così il mio messaggio.

Invece di fare tutte ste divisioni e moltiplicazioni,
basta tener presente che:
$sinx~~x$
$tanx~~x$
$log(1+x)~~x$
per $x->0$, per cui si
ottiene:
$lim_(x->0) (log(1-sinx))/(tan^2x) = lim_(x->0) (-sinx)/(x^2) =lim_(x->0) (-x)/(x^2) = lim_(x->0) -1/x
da cui si vede che il limite dato non esiste, ma esistono il limite destro e quello sinistro.

[manuelaoro]

beh cosi mi è sembrato....

x chiara: