Limiti che tendono ad e

[asromavale1]

qualcuno mi sa dire perchè queste due successioni tendono ad $ e $
prima successione:
$ (1+1/(a'{::}_(\ \ n)+1))^(a'{::}_(\ \ n) $
seconda successione:
$ (1+1/(a'{::}_(\ \ n)))^ (a'{::}_(\ \ n)+1 $
dove con $ a'{::}_(\ \ n) $ indico la parte intera di $ a{::}_(\ \ n) $ ovvero il più grande intero minore o uguale ad $ a{::}_(\ \ n) $ dove $ a{::}_(\ \ n) $ è una successione che tende a + infinito $ a{::}_(\ \ n)rarr +oo $

[axpgn]

Presumo sia perché $(1+1/(\lfloor a_n \rfloor))^(\lfloor a_n \rfloor+1)=(1+1/(\lfloor a_n \rfloor))^(\lfloor a_n \rfloor)(1+1/(\lfloor a_n \rfloor))=(1+1/(\lfloor a_n \rfloor))^(\lfloor a_n \rfloor)*1=e$

Cordialmente, Alex

[dissonance]

Al ragionamento di Alex (che condivido, meno l'ultimo simbolo di \(=\) che andrebbe sostituito con \(\to\)) aggiungo che la successione
\[
\left( 1+\frac{1}{\lfloor a_n\rfloor }\right)^{\lfloor a_n\rfloor}
\]
è una estratta di
\[
\left(1+\frac{1}{k}\right)^k, \]
e siccome quest'ultima è convergente anche la prima deve convergere e allo stesso limite.

[asromavale1]

si ma perchè $ (1+1/(\lfloor a_n \rfloor))^(\lfloor a_n \rfloor) rarr e$
io so che $ (1+1/n)^nrarr e $

[asromavale1]

ok mentre la prima sucessione?e poi perchè è un estratta?

[axpgn]

In modo analogo ... prova a sostituire $\lfloor a_n \rfloor+1=b_n$ ...

Cordialmente, Alex

[asromavale1]

perchè è un estratta? non potrebbe essere che la successione $ a_n $ sia $ a_0=1/2, a_1=4/3,a_2=9/4 ..... $ e quindi la successione $ \lfloora_n\rfloor $ sia $ \lfloora_0\rfloor=0,\lfloora_1\rfloor=1,\lfloora_2\rfloor=2... $ e quindi che i valori di $ \lfloora_n\rfloor $ non apparengano a $ a_n $? ho forse sbaglio e non ho ben chiaro il concetto di parte intera?

[dissonance]

Dico, una estratta di \((1+1/n)^n\), non di \((1+1/a_n)^{a_n}\).

[asromavale1]

ok ci sono,mentre per quanto riguarda la prima successione come procedo?se pongo come dice alex $ b_n $ = $ \lfloora_n\rfloor+1 $ ottengo $ (1+1/b_n)^(b_n-1) $ e poi?

[axpgn]

Hai visto come ho svolto quella precedente ? Un pochino di fantasia, dai ...

[asromavale1]

$ (1+1/b_n)^(b_n) /((1+1/b_n) $ poi? nn posso dire adesso che $ (1+1/b_n)^(b_n) $ sia un estratta di $ (1+1/n)^(n) $

[axpgn]

Come poi ? Il denominatore tende a $1$, no ? Il Numeratore tende ad $e$ ... concludi ...

[asromavale1]

ma come fai a dire che $ (1+1/b_n)rarr 1 $ .mica $ b_nrarr oo $

[axpgn]

Scusami ma non è $b_n=\lfloor a_n \rfloor\ +1$ con $\lfloor a_n \rfloor\ -> +infty$ ? ... mi pare di sì ...

[asromavale1]

no è $ a_n $ e non $ \lfloora_n\rfloor $ che tende a $ +oo $

[asromavale1]

a meno che non si può dimostrare che se $ a_nrarr +oo rArr \lfloora_n\rfloorrarr +oo $

[axpgn]

Ma è $a_n< \lfloor a_n \rfloor +1 $ ...

[asromavale1]

ok ci sono,grazie per il tempo dedicatomi