Limiti
Salve a tutti sto facendo qualche esercizio sui limiti che però sono l'unica cosa che non ricordo delle cose fatte alle superiori e così gia al primo banale esercizio mi sono bloccato...
Utilizzando la definizione di limite verificare che:
$lim_(x->3)(1)/(2x-1) = \frac{1}{5}$
allora provando a svolgere faccio $|\frac{1}{2x-1} - \frac{1}{5}| $ = $ \frac{2}{5}|\frac{3-x}{2x-1}|$ e poi? qui compare anche il valore $\delta$ cosa rappresenta? Spero che qualcuno mi aiuti a chiarire le idee grazie
Utilizzando la definizione di limite verificare che:
$lim_(x->3)(1)/(2x-1) = \frac{1}{5}$
allora provando a svolgere faccio $|\frac{1}{2x-1} - \frac{1}{5}| $ = $ \frac{2}{5}|\frac{3-x}{2x-1}|$ e poi? qui compare anche il valore $\delta$ cosa rappresenta? Spero che qualcuno mi aiuti a chiarire le idee grazie
Risposte
Scrivi qui la definizione di limite, dato che è quella che devi usare
$lim_(x->x0) f(x) = l$
$ AA \epsilon > 0, EE \delta>0 : |f(x)-l|< \epsilon $
$ AA \epsilon > 0, EE \delta>0 : |f(x)-l|< \epsilon $
Questa definizione non è giusta.
Infatti non usi affatto $\delta$.
Ora vado a lezione e tra un'ora se non hai ancora capito la definizione giusta torno a spiegartela
Infatti non usi affatto $\delta$.
Ora vado a lezione e tra un'ora se non hai ancora capito la definizione giusta torno a spiegartela
Come no? allora è per questo che sto avendo problemi 
Ok non preoc ci sent dopo
Ok non preoc ci sent dopo
"el principe":
$lim_(x->x0) f(x) = l$
$ AA \epsilon > 0, EE \delta>0 : |f(x)-l|< \epsilon $
La definizione di limite è:
$lim_(x->x0) f(x) = l$
se
$ AA \epsilon > 0, EE \delta>0 : \ se \ |x-x_0|<\delta \ si \ ha \ |f(x)-l|< \epsilon $
si ho cercato un pò su internet e l'ho trovata...ma non mi è molto chiara questa definizione...soprattutto il valore $\delta$ ...me la puoi spiegare?
Significa che tu devi trovare un $\delta$, che sia ovviamente una funzione di $\epsilon$ tale che se $|x-x_0|<\delta$ allora $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$.
Perciò come hai fatto tu scrivi $|f(x)-f(x_0)|=2/5|x-3|/|2x-1|$ e devi imporre $2/5|x-3|/|2x-1|<\epsilon$ e trovare un valore di $\delta$ (dipendente da $\epsilon$) per cui ciò vale.
Sai che $|x-3|<\delta$ allora $2/5|x-3|/|2x-1|<2/5\delta/|2x-1|$ e imponendo che sia minore di $\epsilon$ hai $2/5\delta/|2x-1|<\epsilon$.
Ora devi stimare allo stesso modo con $\delta$ la funzione $|2x-1|$.
Prova a pensarci un po' su come si potrebbe fare.
Avrai quindi, dopo averlo fatto, una disequazione con delle costanti e solo $\delta$ e $\epsilon$ (cioè non c'è più $x$).
Allora risolvento rispetto a $\delta$ trovi il valore di $\delta$ rispetto a $\epsilon$ e hai finito
poichè dici che ti basta prendere $\delta$ in quel modo per avere che il tuo limite vale.
Perciò come hai fatto tu scrivi $|f(x)-f(x_0)|=2/5|x-3|/|2x-1|$ e devi imporre $2/5|x-3|/|2x-1|<\epsilon$ e trovare un valore di $\delta$ (dipendente da $\epsilon$) per cui ciò vale.
Sai che $|x-3|<\delta$ allora $2/5|x-3|/|2x-1|<2/5\delta/|2x-1|$ e imponendo che sia minore di $\epsilon$ hai $2/5\delta/|2x-1|<\epsilon$.
Ora devi stimare allo stesso modo con $\delta$ la funzione $|2x-1|$.
Prova a pensarci un po' su come si potrebbe fare.
Avrai quindi, dopo averlo fatto, una disequazione con delle costanti e solo $\delta$ e $\epsilon$ (cioè non c'è più $x$).
Allora risolvento rispetto a $\delta$ trovi il valore di $\delta$ rispetto a $\epsilon$ e hai finito
poichè dici che ti basta prendere $\delta$ in quel modo per avere che il tuo limite vale.
Scusa ma il risultato è $|f(x)-f(x_0)|=2/5|3-x|/|2x-1|$ e non $2/5|x-3|/|2x-1|$
"el principe":
Scusa ma il risultato è $|f(x)-f(x_0)|=2/5|3-x|/|2x-1|$ e non $2/5|x-3|/|2x-1|$
Sì ma in generale, dato un elemento y si ha $|y|=|-y|$
e in questo caso $3-x=-(x-3)$
Ah si scusa è vero
Ma è stato un caso che nella frazione è uscito $|x-3|$ che è proprio uguale al valore di $|x-x_0|<\delta$ e quindi poi si sostituisce o è sempre così?
"el principe":
Ma è stato un caso che nella frazione è uscito $|x-3|$ che è proprio uguale al valore di $|x-x_0|<\delta$ e quindi poi si sostituisce o è sempre così?
Non è che è sempre così.
Ma qualunque cosa hai ti puoi riportare a una cosa del genere.
Comunque l'esercizio non te l'ho finito del tutto.
Devi pensare a come fare con il denominatore $|2x-1|$
Si lo so infatti ci sto pensando...quindi ora mi devo riportare $|2x-1|$ in modo che diventi $|x-3|$ vero?
"el principe":
Si lo so infatti ci sto pensando...quindi ora mi devo riportare $|2x-1|$ in modo che diventi $|x-3|$ vero?
Non proprio.
In questo caso infatti $|2x-1|$ è a denominatore e quindi devi cercare di renderlo maggiore di qualcos'altro e non minore, come abbiamo fatto col numeratore.
Comunque si usa ancora il fatto che $|x-3|<\delta$ e quindi $-\delta<(x-3)<\delta$
Scusa non ti seguo...xk maggiore di qualcos'altro?
"el principe":
Scusa non ti seguo...xk maggiore di qualcos'altro?
Perchè una frazione è minore di un'altra se il suo denominatore è maggiore dell'altro e dato che noi vogliamo che $2/5|3-x|/|2x-1|$ sia minore di un'altra frazione dipende da $\delta$, dobbiamo avere un denomiantore iniziale (cioè $|2x-1|$) più grande del denominatore della frazione che troviamo dopo e quindi dobbiamo rendere $|2x-1|$ maggiore di qualcos'altro
quindi poniamo $2/5|3-x|/-\delta< \epsilon$?
"el principe":
quindi poniamo $2/5|3-x|/-\delta< \epsilon$?
No.
Ti spiego:
$|2x-1|=|1-2x|=|1-2(x-3)-6|=|-5-2(x-3|=|5+2(x-3)|$
Ora $-\delta<(x-3)<\delta$ e quindi $-2\delta<(x-3)<2\delta$.
Perciò $|5+2(x-3)|>|5-2\delta|$
Ah si è vero ci avevo pensato a fare + 3 -3 però avevo diviso per 2 prima e quindi credevo che stessi sbagliando...
quindi ora esce $ \frac {2}{5} \frac {\delta}{5-2\delta} < \epsilon $ giusto?
quindi ora esce $ \frac {2}{5} \frac {\delta}{5-2\delta} < \epsilon $ giusto?
"el principe":
quindi ora esce $ \frac {2}{5} \frac {\delta}{5-2\delta} < \epsilon $ giusto?
Esatto.
E ora ricavi $\delta$ in funzione di $\epsilon$, cioè minore o uguale di una certa funzione di $\epsilon$
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