Limiti
Ciao a tutti! Sono alle prese con analisi e già ho un problema! Con i limiti di successioni non ho alcun problema ma con quelle di funzioni sbaglio sempre!
Vi faccio un esempio magari qualcuno può farmi capire dove sbaglio
$lim_(x -> 0^+)(log(1 + x))/(2x^4 - sqrt(x) + x^2)$
il termine al nominatore è $log(1 + x) ~ x$ per il limite notevole
al denominatore $2x^4 - sqrt(x) + x^2 = 2x^4 (1 - (sqrt(x))/(2x^4) + 1/x^2) ~ 2x^4$
quindi il limite $lim_(x -> 0^+)(log(1 + x))/(2x^4 - sqrt(x) + x^2) ~ lim_(x -> 0^+)1/(2x^3)$
il risultato dell'esercizio è 0 ma io non riesco a capire una cosa! Io mi avvicino a 0 da destra quindi sto man mano diminuendo il valore della x!
Scusatemi eventuali ca..ate
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Admin: Esercizi sui limiti
Vi faccio un esempio magari qualcuno può farmi capire dove sbaglio
$lim_(x -> 0^+)(log(1 + x))/(2x^4 - sqrt(x) + x^2)$
il termine al nominatore è $log(1 + x) ~ x$ per il limite notevole
al denominatore $2x^4 - sqrt(x) + x^2 = 2x^4 (1 - (sqrt(x))/(2x^4) + 1/x^2) ~ 2x^4$
quindi il limite $lim_(x -> 0^+)(log(1 + x))/(2x^4 - sqrt(x) + x^2) ~ lim_(x -> 0^+)1/(2x^3)$
il risultato dell'esercizio è 0 ma io non riesco a capire una cosa! Io mi avvicino a 0 da destra quindi sto man mano diminuendo il valore della x!
Scusatemi eventuali ca..ate
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Admin: Esercizi sui limiti
Risposte
Il numeratore lo approssimi al primo ordine come $x$
Il denominatore ha infinitesimo minore $-sqrt(x)$ che è di ordine 1/2; gli altri, di ordine maggiore, sono pertanto trascurabili.
Perytanto il limite si è ridotto a $lim_(x->0^+)x/sqrt(x) = 0$
Il denominatore ha infinitesimo minore $-sqrt(x)$ che è di ordine 1/2; gli altri, di ordine maggiore, sono pertanto trascurabili.
Perytanto il limite si è ridotto a $lim_(x->0^+)x/sqrt(x) = 0$
A ok quindi il mio primo errore è stato prendere il termine con ordine maggiore, cosa che non va fatta quando dobbiamo trattare con degli infinitesimi! Per farmi capire il risultato abbiamo che il termine a nominatore va a zero più velocemente del denominatore? Giusto?
esatto...oppure basta che semplifichi la frazione e ottieni $sqrtx$ (puoi farlo visto che in un intorno di 0 è certamente x diverso da 0:D) e vedere che $lim_(x->0^+)sqrtx=0$...come preferisci 
Comincio a capire!
Prendendone un altro
$lim_(x->0^+)log(1 + 3root(3)(x))/(x + 2x^4 + (1/2)x^2)$
tutto questo è asintotico al $lim_(x->0^+) 3/x^(2/3)$
qui il libro mi da come risultato $+infty$
motivazione: al tendere a zero di x da destra ci sono infiniti termini sempre positivi? O mi sfugge qualcosa di diverso?
Prendendone un altro
$lim_(x->0^+)log(1 + 3root(3)(x))/(x + 2x^4 + (1/2)x^2)$
tutto questo è asintotico al $lim_(x->0^+) 3/x^(2/3)$
qui il libro mi da come risultato $+infty$
motivazione: al tendere a zero di x da destra ci sono infiniti termini sempre positivi? O mi sfugge qualcosa di diverso?
Dire che la funzione sotto il segno di limite è "asintotica" a $3/x^(2/3)$ non significa aver risolto il limite...
Il risultato che dice il libro è esattamente quello che troveresti tu se non ti fermassi all'analisi dell'"asintoticità".
Ad ogni modo, se vuoi verificare le soluzioni puoi provare a risolvere le cose con i limiti fondamentali.
Ad esempio:
$lim_(x\to 0^+) (log(1+3\root(3)(x)))/(x+2x^4+1/2 x^2)=lim_(x\to 0^+) (log(1+3\root(3)(x)))/(3\root(3)(x)) (3\root(3)(x))/(x+2x^4+1/2 x^2)=lim_(x\to 0^+) (log(1+3\root(3)(x)))/(3\root(3)(x)) 3/(\root(3)(x^2) (1+2x^3+1/2 x))$
Il primo fattore che figura sotto il segno di limite all'ultimo membro tende ad $1$ (limite fondamentale $\lim_(y\to 0) (log(1+y))/y=1$ con la sostituzione $y=3\root(3)(x)$); il secondo fattore è infinito. Quindi...
Il risultato che dice il libro è esattamente quello che troveresti tu se non ti fermassi all'analisi dell'"asintoticità".
Ad ogni modo, se vuoi verificare le soluzioni puoi provare a risolvere le cose con i limiti fondamentali.
Ad esempio:
$lim_(x\to 0^+) (log(1+3\root(3)(x)))/(x+2x^4+1/2 x^2)=lim_(x\to 0^+) (log(1+3\root(3)(x)))/(3\root(3)(x)) (3\root(3)(x))/(x+2x^4+1/2 x^2)=lim_(x\to 0^+) (log(1+3\root(3)(x)))/(3\root(3)(x)) 3/(\root(3)(x^2) (1+2x^3+1/2 x))$
Il primo fattore che figura sotto il segno di limite all'ultimo membro tende ad $1$ (limite fondamentale $\lim_(y\to 0) (log(1+y))/y=1$ con la sostituzione $y=3\root(3)(x)$); il secondo fattore è infinito. Quindi...
"Gugo82":
Dire che la funzione sotto il segno di limite è "asintotica" a $3/x^(2/3)$ non significa aver risolto il limite...
Non intendevo dire di aver risolto il limite avendo trovato la funzione asintotica!
Nel senso avendo trovato la $f(x) = 3/x^(2/3)$ e dovendo calcolarne $lim_(x -> 0^+)$ come devo ragionare per arrivare al risultato $+infty$
Comunque ora è più chiaro, penso di aver capito, anche perchè scomponendo il limite in $3lim_(x -> 0^+)(1/x)$ mi viene $3*infty$ che ovviamente è $infty$
"clockover":
[quote="Gugo82"]Dire che la funzione sotto il segno di limite è "asintotica" a $3/x^(2/3)$ non significa aver risolto il limite...
Non intendevo dire di aver risolto il limite avendo trovato la funzione asintotica!
Nel senso avendo trovato la $f(x) = 3/x^(2/3)$ e dovendo calcolarne $lim_(x -> 0^+)$ come devo ragionare per arrivare al risultato $+infty$.[/quote]
Questa è bella!
Vorresti farmi credere che, fatta la parte difficile dell'esercizio, ti perdi in un banale limite del tipo $1/0$?
Allora... Hai visto che la tua funzione sotto il segno di limite, diciamola $g(x)$, è "asintotica" ad $f(x)=3/x^(2/3)$: ciò significa che $lim_(x\to 0^+) g(x)=lim_(x\to 0^+) f(x)$, quindi per risolvere il limite iniziale basta calcolare $lim_(x\to 0^+) f(x)$.
Il $lim_(x\to 0^+) f(x)$ è uguale banalmente a $+oo$: infatti, mentre il numeratore nell'espressione di $f$ è una costante positiva, il denominatore tende a zero (da parte positiva).
Ti perdi in un bicchier d'acqua.
"Gugo82":
Ti perdi in un bicchier d'acqua.
niente di più giusto
Riesumo il post perchè ho bisogno di un altro paio di delucidazioni se possibile!
Quando mi trovo a calcolarmi dei limiti alla frontiera ho bisogno di calcolarmi limiti da destra e da sinistra! Come devo comportarmi in un caso di indecisione!
Faccio un esempio con una funzione molto semplice forse potreste aiutarmi a capire meglio!
$f(x) = (x^2 - 16)/(x - 4)$
ora voglio calcolarmi il limite per 4 da destra e da sinistra quindi $lim_(x-> 4^+-)(x^2 - 16)/(x - 4)$
ora se sostituisco 4 alle x mi trovo nel caso di indecisione $0/0$
facendo i limiti per $+- infty$ lo risolvo semplicemente! Ma come faccio a trovarmi il limite per quel valore?
Grazie per la vostra pazienza!!
Quando mi trovo a calcolarmi dei limiti alla frontiera ho bisogno di calcolarmi limiti da destra e da sinistra! Come devo comportarmi in un caso di indecisione!
Faccio un esempio con una funzione molto semplice forse potreste aiutarmi a capire meglio!
$f(x) = (x^2 - 16)/(x - 4)$
ora voglio calcolarmi il limite per 4 da destra e da sinistra quindi $lim_(x-> 4^+-)(x^2 - 16)/(x - 4)$
ora se sostituisco 4 alle x mi trovo nel caso di indecisione $0/0$
facendo i limiti per $+- infty$ lo risolvo semplicemente! Ma come faccio a trovarmi il limite per quel valore?
Grazie per la vostra pazienza!!
$x^2-16=(x+4)*(x-4)$
Si questo era facile! Ma nel caso non si fosse potuto semplificare in questo modo che strada avrei dovuto seguire!
Si può semplificare $(x-4)$ a numeratore e a denominatore perchè stai calcolando il limite della funzione per $x rarr 4 $ : vuoi quindi sapere quanto vale il rapporto quando $ x $ si avvicina indefinitamente al valore $4 $ (il limite vale $8$ naturalmente) ; ma non quanto vale la funzione in $x=4 $.
Puoi solo dire che in $x=4 $ la funzione non è definita.
Se dovessi calcolare $lim_(x rarr 4 )(x^2+4)/(x-4) $ allora vanno distinti i due casi :
* $ lim_(x rarr 4^(-))(x^2+4)/(x-4) =lim_(x rarr 4^(-)) (20/(0^(-))) =-oo$.
* $x rarr 4^(+) $ : si trova che il limite vale $+oo$.
Conclusione : limite destro e limite sinistro sono diversi, quindi il limite non esiste.
Alcuni autori dicono che il limite vale $oo$ senza specificare il segno.
Puoi solo dire che in $x=4 $ la funzione non è definita.
Se dovessi calcolare $lim_(x rarr 4 )(x^2+4)/(x-4) $ allora vanno distinti i due casi :
* $ lim_(x rarr 4^(-))(x^2+4)/(x-4) =lim_(x rarr 4^(-)) (20/(0^(-))) =-oo$.
* $x rarr 4^(+) $ : si trova che il limite vale $+oo$.
Conclusione : limite destro e limite sinistro sono diversi, quindi il limite non esiste.
Alcuni autori dicono che il limite vale $oo$ senza specificare il segno.
Morale della favola devo cercare di semplificare il limite o trovare un suo asintotico fino a quando non riesco a trovare una soluzione non indeterminata!
Posto ora qualche limite che ho svolto e gradirei mi venisse detto se ho ragionato bene, male, oppure ho cappellato talmente tanto da dovermi eliminare da solo!
$lim_(x -> +infty) (x - sin(x))/(sqrt(x^2 + 1) - 1)$
per questo siccome la x tende a infinito ho trovato il termine dominante al nominatore e denominatore quindi
$x - sin(x) ~ x$ e $(sqrt(x^2 + 1) - 1)$ $~$ $(sqrt(x^2)) ~ x$
quindi il limite viene 1
ci sono oppure cappello qualche ragionamento?
Edit:
aggiungo lo stesso limite la con $x->0$
in questo caso ho fatto questa semplificazione
dal limite notevole $(1 - sin(epsilon)) -> epsilon$ con $epsilon -> 0$ diventerebbe
$x(1 - sin(x)) ~ x$ quindi $x^2$
e al denominatore
$xsqrt(1 + 1/x^2) - 1 ~ x - 1$
quindi si ridurrebbe nel $lim_(x -> 0)(x^2)/x$ che sarebbe uguale a $0$
$lim_(x -> +infty) (x - sin(x))/(sqrt(x^2 + 1) - 1)$
per questo siccome la x tende a infinito ho trovato il termine dominante al nominatore e denominatore quindi
$x - sin(x) ~ x$ e $(sqrt(x^2 + 1) - 1)$ $~$ $(sqrt(x^2)) ~ x$
quindi il limite viene 1
ci sono oppure cappello qualche ragionamento?
Edit:
aggiungo lo stesso limite la con $x->0$
in questo caso ho fatto questa semplificazione
dal limite notevole $(1 - sin(epsilon)) -> epsilon$ con $epsilon -> 0$ diventerebbe
$x(1 - sin(x)) ~ x$ quindi $x^2$
e al denominatore
$xsqrt(1 + 1/x^2) - 1 ~ x - 1$
quindi si ridurrebbe nel $lim_(x -> 0)(x^2)/x$ che sarebbe uguale a $0$
Per calcolare il nuovo limite puoi scomporre in fattori il numeratore e semplificare la frazione.
(funziona sempre con le funzioni razionali fratte nel caso $0/0$
(funziona sempre con le funzioni razionali fratte nel caso $0/0$
Scusatemi! sono inesperto e non avevo visto la seconda pagina! la mia risposta era riferita al limite precedente.
Ciao,
se non ho sbagliato il primo limite tenderebbe ad $1$, ma è giusto dire che $sqrt(1 + x^2) - 1$ è equivalente ad $x$ a $+oo$ ? Credo di no
se non ho sbagliato il primo limite tenderebbe ad $1$, ma è giusto dire che $sqrt(1 + x^2) - 1$ è equivalente ad $x$ a $+oo$ ? Credo di no
secondo me sì, sono lo stesso ordine di infinito....
Ok grazie, vado e mi ripasso un po di analisi
ciao
ciao
Pensavate di esservi liberati di me eh!!!
E invece ho ancora un altro dubbio sui questi carissimi limiti!!
ok ho la funzione $f(x) = (1 + lnx)/x^2 $
voglio calcolarmi il limite alla frontiera di
$lim_(x -> 0^+)(1 + lnx)/x^2$
allora $1 + lnx ~ x$
quindi mi troverei a calcolare $lim_(x -> 0^+)x/x^2$
il grafico della funzione originale è
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("1/x^2 + log(x)/x^2");[/asvg]
ora io non riesco a capire una cosa! Nel grafico si vede benissimo che tendendo a zero da destra la funzione tende a $-infty$, ma guardando l'equazione come faccio a capirlo! Cioè, se non avessi avuto Grapher (Mac user) o un altro semplice programmino per fare grafici avrei semplicemente sbagliato perchè avrei pensato che la funzione tendesse semplicemente all'infinito!
E invece ho ancora un altro dubbio sui questi carissimi limiti!!
ok ho la funzione $f(x) = (1 + lnx)/x^2 $
voglio calcolarmi il limite alla frontiera di
$lim_(x -> 0^+)(1 + lnx)/x^2$
allora $1 + lnx ~ x$
quindi mi troverei a calcolare $lim_(x -> 0^+)x/x^2$
il grafico della funzione originale è
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("1/x^2 + log(x)/x^2");[/asvg]
ora io non riesco a capire una cosa! Nel grafico si vede benissimo che tendendo a zero da destra la funzione tende a $-infty$, ma guardando l'equazione come faccio a capirlo! Cioè, se non avessi avuto Grapher (Mac user) o un altro semplice programmino per fare grafici avrei semplicemente sbagliato perchè avrei pensato che la funzione tendesse semplicemente all'infinito!
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