Limiti

[92kiaretta]

ciao! Avrei bisogno di aiuto con un altro limite: e' il terzo del terzo esercizio. Qui è anche svolto ma non riesco a capire il procedimento che viene usato. In particolare non capisco come fa a passare da quella funzione a una esponenziale in cui inserisce anche il logaritmo naturale. C'è una regola?
http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/aa1213/tut12-10-31s.pdf

[ciampax]

Il limite è

[math]\lim_{x\to 0}(\cos(2x))^{1/x^2}[/math]

Qui si usa la definizione stessa di esponenziale e logaritmo: dal momento che

[math]y=a^x\ \Leftrightarrow\ x=\log_a y[/math]

valgono le identità

[math]y=a^{\log_a y},\qquad x=\log_a a^x[/math]

(la seconda è propria la definizione di logaritmo).

Pertanto il limite diventa

[math]\lim_{x\to 0} e^{\log(\cos(2x))^{1/x^2}}=[/math]

usando il fatto che

[math]\log_a x^y=y\cdot\log_a x[/math]

[math]=\lim_{x\to 0}e^{\frac{\log(\cos(2x))}{x^2}}=[/math]

applicando il confronto locale

[math]\cos(2x)\sim 1-4x^2/2=1-2x^2[/math]

e quindi

[math]\log(\cos(2x))=\log(1-2x^2)\sim-2x^2[/math]

da cui

[math]=\lim_{x\to 0}e^{\frac{-2x^2}{x^2}}=e^{-2}=1/e^2[/math]

[92kiaretta]

Ok grazie mille ho capito!!!! Sola una cosa il confronto locale
lo posso applicare sempre oppure solo in determinati casi?

[ciampax]

Dunque, il confronto locale è uno strumento utile ma delicato (ed equivale ai limiti notevoli) che si può applicare fintanto che non c'è cancellazione di infinitesimi o infiniti di ordine minore. Ad esempio, supponiamo che in un limite per

[math]x\to 0[/math]

tu abbia la seguente espressione

[math]\sin x-x[/math]

Se usi il confronto locale ottieni

[math]\sin x-x\sim x-x=0[/math]

e questo condurrebbe all'assurdo che una funzione non nulla coincide con quella nulla. In queste situazioni vanno usate altre strade (trasformazioni di coordinate oppure applicazione di formule notevoli; teoremi di de l'Hopital; sviluppi di Taylor).

Io in generale preferisco sempre usare gli sviluppi di taylor: nel caso in esame si avrebbe

[math]\sin x-x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)-x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\sim -\frac{x^3}{6}[/math]

[92kiaretta]

Ok ti ringrazio!!