Limiti

[Bob_inch]

$lim_{x->oo} log (x^3+1)/x$

$3log (x^3+1)^(1/3) / (x^3+1)^(1/3) (x^3+1)^(1/3) /x$

Il primo mebro, ricondotto al limite notevole, tende a zero. Il secondo membro $(x^3+1)^(1/3) /x$ non viene infinito?


$lim_{x->-oo} (2-x)sen 1/x$

Non mi viene in mente nulla per calcolarlo (tra i limiti notevoli)

$lim_{x->0^+} log(2x)/log(3x)$

Qui potrei utilizzare le proprietà dei logaritmi ad es: log 2 + log x, log 3+logx. E dopo cosa faccio?

$lim_ {x->0} log cosx/x^2$

Di questo limite ho un dubbio: se il lim invece di presentarsi nella forma $1-cos x/x^2$ si presenta al numeratore con cosx-1... mi da -1/2e non 1/2 vero?

$lim_{x->0^+} (1+|senx|)^(1/x)$

Rppresentando il limite così:

$[(1+1/(1/|senx|))^(1/|sen x|)]^(|senx|/x)$

posso sfruttare il limite noto $lim_{x->+oo} (1+1/x)^x=e$ poichè portando al denominatore |senx|, esso non tende più a zero ma ad infinito (per il teorema ponte)?

Grazie grazie
ciao

[gugo82]

"Bob_inch":$lim_{x->oo} log (x^3+1)/x$

$3log (x^3+1)^(1/3) / (x^3+1)^(1/3) (x^3+1)^(1/3) /x$

Il primo mebro, ricondotto al limite notevole, tende a zero. Il secondo membro $(x^3+1)^(1/3) /x$ non viene infinito?

Hai intrapreso la strada difficile.
Quella facile è mettere in evidenza $x^3$ nel logaritmo: $AA x!=0$,

$(log(x^3+1))/x=(log(x^3*(1+1/x^3)))/x=(logx^3+log(1+1/x^3))/x=(3logx+log(1+1/x^3))/x=3(logx)/x+(log(1+1/x^3))/x$;

quindi:

$lim_(xto +oo)(log(x^3+1))/x=lim_(xto +oo)3(logx)/x+(log(1+1/x^3))*1/x$

con l'ultimo limite facilmente calcolabile.

"Bob_inch":$lim_{x->-oo} (2-x)sen 1/x$

Non mi viene in mente nulla per calcolarlo (tra i limiti notevoli)

Come no? E $lim_(yto 0)(sin y)/y=1$, che è il principe dei limiti notevoli, te lo sei dimenticato?
$(2-x)sen 1/x=(2-x)/x*sin(1/x)/(1/x)$... poi continua tu.

"Bob_inch":$lim_{x->0^+} log(2x)/log(3x)$

Qui potrei utilizzare le proprietà dei logaritmi ad es: log 2 + log x, log 3+logx. E dopo cosa faccio?

Esatto!
Per il "dopo" consiglio di porre $y=logx$ e trasformare il tuo limite in $lim_(y to -oo)(y+log2)/(y+log3)$.

"Bob_inch":$lim_ {x->0} log cosx/x^2$

Di questo limite ho un dubbio: se il lim invece di presentarsi nella forma $(1-cos x)/x^2$ si presenta al numeratore con $cosx-1$... mi da $-1/2$ e non $1/2$, vero?

Qui puoi risolvere facilmente con il teorema di de l'Hopital e col limite fondamentale $lim_(xto0)(sin x)/x=1$.
(Ed è banalmente vero che $lim_(xto 0)(cosx-1)/x^2=-1/2$.)

"Bob_inch":$lim_{x->0^+} (1+|senx|)^(1/x)$

Rppresentando il limite così:

$[(1+1/(1/|senx|))^(1/|sen x|)]^(|senx|/x)$

posso sfruttare il limite noto $lim_{x->+oo} (1+1/x)^x=e$ poichè portando al denominatore |senx|, esso non tende più a zero ma ad infinito (per il teorema ponte)?

Certo, è questa la strada giusta!
Ora la base (cioè quella tra parentesi quadre nell'ultima espressione che hai scritto) e l'esponente hanno limite finito, quindi è facile terminare l'esercizio.

Buono studio.

[Sk_Anonymous]

per $x->0^+$ $sinx in RR^+ => |sinx|=sinx

perciò $lim_(x->0^+)(1+|sinx|)^(1/x)=lim_(x->0^+)e^(1/xln(1+sinx))=lim_(x->0^+)e^(1/xln(1+x(1+o(1))))=lim_(x->0^+)e^(1/x*x(1+o(1)))=lim_(x->0^+)e^(1+o(1))=e

[lewis88]

io non riesco a riolsvere questo limite ...ma vengono tutti +oo?

$lim_(x->+oo) (e^(x^2)+sqrt x+x^2+sinx) / (2^x+arctgx)


devo fare kn hopital cm potrei risolverlo

[Sk_Anonymous]

In questo caso de l'Hopital non è risolutivo.Direi che il limite richiesto si può ricondurre a :
$lim_(x->+oo)(e^(x^2))/(2^x)$
Consideriamo ora la funzione :
$y=(e^(x^2))/(2^x)$
Derivando si ha:
$y'=(2x*e^(x^2)*2^x-ln2*2^x*e^(x^2))/(2^(2x))$ che è positiva per $x>lnsqrt2=0.35<1$
Pertanto per ogni x sufficientemente grande (basta che,per es., sia >1) la funzione è crescente ( definitivamente).Inoltre comunque si scelga $k>1$ esiste sempre un x tale che sia $(e^(x^2))/(2^x)>k$.Basta scegliere $x>(ln2+sqrt(ln^2 2+4lnk))/2>ln2>lnsqrt2$
Pertanto il limite precedente è $+oo$,cosa abbastanza evidente anche a priori.