Limiti
Scusate, sono nuovo del forum. Ho un limite, suppongo semplicissimo, che non riesco assoltamente a risolvere
$lim_(n->oo) (2^(1/n)-1)/(3^(1/n)-1)$
qualcuno mi può aiutare?
$lim_(n->oo) (2^(1/n)-1)/(3^(1/n)-1)$
qualcuno mi può aiutare?
Risposte
"PAJAKI":
Scusate, sono nuovo del forum. Ho un limite, suppongo semplicissimo, che non riesco assoltamente a risolvere
$lim_(n->oo) (2^(1/n)-1)/(3^(1/n)-1)$
qualcuno mi può aiutare?
partendo dal limite notevole $lim_(k->0)(a^k-1)/(k)=lnk$, per $k>0$. Nel tuo caso fai prima la seguente sostituzione: $1/n=k$ per cui per $n->oo$ hai che $k->0$
poi moltiplichi e dividi per k la funzione di cui devi calcolare il limite... sfrutti la proprietà che limite del prodotto è il prodotto dei limiti... infine il limite notevole che ti ho segnalato
Se ci sono problemi chiedi
Ti ringrazio molto. Avrei bisogno però di qualche dritta in più. Sono piuttosto gnucco su queste cose. Ho provato a risolvere come mi hai consigliato ma non mi da il risultato che mi attendevo. Ho provato a calcolare il limite empiricamente e mi pare che venga qualcosa attorno a 0,63.
Ponendo
$1/n=m$ avrai che $m->0$ e il limite diventa
$lim_(m->0) (2^m-1)/(3^m-1)$
Ma noi possiamo dividere numeratore e denominatore per $m$, ottenendo
$lim_(m->0) ((2^m-1)/m)/((3^m-1)/m)$
A questo punto il limite è semplice: infatti sia a numeratore che a denominatore hai un limite notevole.
raff5184 ha scritto per sbaglio che il risultato del limite notevole è $lnk$, invece quello giusto è $lna$
$1/n=m$ avrai che $m->0$ e il limite diventa
$lim_(m->0) (2^m-1)/(3^m-1)$
Ma noi possiamo dividere numeratore e denominatore per $m$, ottenendo
$lim_(m->0) ((2^m-1)/m)/((3^m-1)/m)$
A questo punto il limite è semplice: infatti sia a numeratore che a denominatore hai un limite notevole.
raff5184 ha scritto per sbaglio che il risultato del limite notevole è $lnk$, invece quello giusto è $lna$
ok. Si effettivamente deve venire qlc tipo 0,63. Ossia $(LN2)/(LN3)$
Se osservi la funzione del limite notevole che ti o segnalato $(a^k-1)/k$, e guardi la tua funzione, immaginando $1/n$ come se fosse la variabile $k$ ti rendi conto che il numeratore $2^(1/n)-1$ e il denomitatore $3^(1/n)-1$ della funzione che hai sono simili alla funzione del limite notevole. Solo che, sia al numeratore che al denominatore, manca che siano divisi per $1/n$. Questo non è un problema perché posso moltiplicare e dividere la funzione di cui devo calc il limite per $1/n$ (se moltiplico e divido per una stressa cosa il risultato non cambia) quindi ottengo: $(2^(1/n)-1)/(3^(1/n)-1)*(1/n)/(1/n)=(2^(1/n)-1)/(1/n)*(1/n)/((3^(1/n)-1))$ ma questo significa che ho diviso sia il numeratore che il denominatore per $(1/n)$ (vedi questo 1/n sempre come una variabile $k$, non guardare come è strutturata...). Quindi ottengo $(2^(1/n)-1)/(1/n)* 1/((3^(1/n)-1)/(1/n))
Ora ricordando che il limite del rapporto (o del prodotto) è il rapporto (prodotto) dei limiti ottieni:
$[lim_(n->oo)(2^(1/n)-1)/(1/n)]*[1/(lim_(n->oo)((3^(1/n)-1)/(1/n))]]$
I 2 limiti che ho scritto sono quasi uguali al famoso limite notevole se non per il fatto che nel limite notevole la varibile tende a zero e nol nostro caso a $oo$ (ora invece, devi tener presente la struttura della tua variabile $1/n$). Ma se ci pensi un attimo è proprio la stessa cosa perché mentre nel limite notevole ho $a^k$ e k tende a zero per cui avresti $a^0$, nel tuo esercizio hai $2^(1/n)$ per cui se n tende a $oo$ hai che $2^(1/oo)=2^0$. Quindi pongo $1/n=k$ (questa sostituzione ti è chiara?) e metto k al posto di 1/n, e ottengo questa espressione: $[lim_(k->0)(2^k-1)/k]*[1/(lim(k->0)((3^k-1)/k))]]$. che è il prodotto di 2 limiti notevoli, il primo fa $ln2$ il secodno $ln3$
Nota: il $lim_(n->0)$ si è trasformato in $lim_(k->0)$ perché? chiaramente non potevo sostituire semplicemente $1/k$ a $n$ e trovarmi così a scrivere scrivere $lim_(1/k->oo)$; non significava molto! Allora ho dovuto osservare che :
1) io so che $n->oo$
2)ho posto che $1/n=k$
conseguenza: quando $n->oo$, k va a zero e quindi $lim_(n->oo)$ diventa $lim_(k->0)$
Chiaro?
Se osservi la funzione del limite notevole che ti o segnalato $(a^k-1)/k$, e guardi la tua funzione, immaginando $1/n$ come se fosse la variabile $k$ ti rendi conto che il numeratore $2^(1/n)-1$ e il denomitatore $3^(1/n)-1$ della funzione che hai sono simili alla funzione del limite notevole. Solo che, sia al numeratore che al denominatore, manca che siano divisi per $1/n$. Questo non è un problema perché posso moltiplicare e dividere la funzione di cui devo calc il limite per $1/n$ (se moltiplico e divido per una stressa cosa il risultato non cambia) quindi ottengo: $(2^(1/n)-1)/(3^(1/n)-1)*(1/n)/(1/n)=(2^(1/n)-1)/(1/n)*(1/n)/((3^(1/n)-1))$ ma questo significa che ho diviso sia il numeratore che il denominatore per $(1/n)$ (vedi questo 1/n sempre come una variabile $k$, non guardare come è strutturata...). Quindi ottengo $(2^(1/n)-1)/(1/n)* 1/((3^(1/n)-1)/(1/n))
Ora ricordando che il limite del rapporto (o del prodotto) è il rapporto (prodotto) dei limiti ottieni:
$[lim_(n->oo)(2^(1/n)-1)/(1/n)]*[1/(lim_(n->oo)((3^(1/n)-1)/(1/n))]]$
I 2 limiti che ho scritto sono quasi uguali al famoso limite notevole se non per il fatto che nel limite notevole la varibile tende a zero e nol nostro caso a $oo$ (ora invece, devi tener presente la struttura della tua variabile $1/n$). Ma se ci pensi un attimo è proprio la stessa cosa perché mentre nel limite notevole ho $a^k$ e k tende a zero per cui avresti $a^0$, nel tuo esercizio hai $2^(1/n)$ per cui se n tende a $oo$ hai che $2^(1/oo)=2^0$. Quindi pongo $1/n=k$ (questa sostituzione ti è chiara?) e metto k al posto di 1/n, e ottengo questa espressione: $[lim_(k->0)(2^k-1)/k]*[1/(lim(k->0)((3^k-1)/k))]]$. che è il prodotto di 2 limiti notevoli, il primo fa $ln2$ il secodno $ln3$
Nota: il $lim_(n->0)$ si è trasformato in $lim_(k->0)$ perché? chiaramente non potevo sostituire semplicemente $1/k$ a $n$ e trovarmi così a scrivere scrivere $lim_(1/k->oo)$; non significava molto! Allora ho dovuto osservare che :
1) io so che $n->oo$
2)ho posto che $1/n=k$
conseguenza: quando $n->oo$, k va a zero e quindi $lim_(n->oo)$ diventa $lim_(k->0)$
Chiaro?
"Steven":
raff5184 ha scritto per sbaglio che il risultato del limite notevole è $lnk$, invece quello giusto è $lna$
Si è vero pardon, ma intendevo a
Grazie mille a tutti. Ho finalmente capito.
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