Limiti

[china1]

Potreste aiutarmi con questi due limiti per favore?
lim ((1-cosx)^1/2)/x per x che tende a 0+
lim ((x^2+4x+1)^1/2)-x per x che tende a +infinito

[fireball1]

1) Ricorda che: 1 - cos(x) = 2*sin²(x/2)
Sostituendo si ha:
lim[x->0+] (sqrt(2)*sin(x/2))/x
sin(x/2)/x tende a 1/2, e lo si può verificare
facilmente. Poniamo x/2 = t, da cui x = 2t
Se x->0+, anche t->0+. Sostituiamo:
lim[t->0+] sin(t)/(2t) = 1/2 lim[t->0+] sin(t)/t = (1/2)*1 = 1/2
Quindi: lim[x->0+] (sqrt(2)*sin(x/2))/x = sqrt(2)*(1/2) = 1/sqrt(2)

[china1]

[:)]grazie 1000!mi hai illuinato,se potessi aiutarmi anche con l'altro, sarei doppiamente contenta[:)]

[fireball1]

Più tardi ti posto la risoluzione dell'altro...
Intanto ti suggerisco ancora un altro metodo per
calcolare il primo limite, magari un po' meno
"artificioso"... Moltiplica numeratore e denominatore
per sqrt(1 + cos(x)) ... Ottieni: sqrt(sin²(x))/(x*sqrt(1+ cos(x)) =
= sin(x)/(x*sqrt(1 + cos(x)) (possiamo evitare di mettere in
modulo il sin(x) al numeratore, perché x tende a 0 da destra,
cioè da valori positivi, e quindi sin(x) è senz'altro positivo).
Ora applica il teorema del limite del prodotto di due funzioni:
la prima funzione è sin(x)/x, che come ben sai tende a 1 se x->0+;
la seconda è 1/sqrt(1 + cos(x)), che in x = 0 è perfettamente
definita e quindi, per x->0+, tende a 1/sqrt(2).
In definitiva il limite vale: 1*(1/sqrt(2)) = 1/sqrt(2)

[fireball1]

[china1]

Mi aiutereste a calcolare queste cose :
lim (3*tgx)/(1 -e^3x)
per x->0
Dominio di :
f(X)=ARCSIN(2X)*LOG(1-X^2)
Grazie[:D]

[fireball1]

L'argomento dell'arcoseno deve assumere valori
compresi tra -1 e 1 (-1 e 1 inclusi).
L'argomento del logaritmo dev'essere positivo.
Bisogna quindi risolvere il seguente sistema di disequazioni:
{-1 <= 2x <= 1 --> - 1/2 <= x <= 1/2
{1 - x² > 0
Si trova la soluzione: - 1/2 <= x <= 1/2
Il dominio è quindi D = [- 1/2 ; 1/2]

[fireball1]

Il limite di (3*tg(x))/(1 - e^(3x)) si può
calcolare facendo uso dei limiti notevoli.
Dividi numeratore e denominatore per x; poiché
tg(x)/x, al tendere di x a zero, tende a 1 (limite notevole),
il numeratore tende a 3. Il denominatore è: (1 - e^(3x))/x
che tende a -3 quando x->0; infatti (1 - e^(3x))/x = - (e^(3x) - 1)/x ;
(e^(3x) - 1)/x tende a 3 (lascio a te i calcoli che dimostrano
il perché di questo risultato), quindi il limite del denominatore
è uguale al limite di (e^(3x) - 1)/x con il segno meno davanti,
ovvero -3. Di conseguenza, il risultato è: 3/(-3) = -1 .