Limiti
salve a tutti, qualcuno potrebbe spiegarmi perchè non esiste il seguente limite?
$lim_(k->infty) (x^k)/k^2$
con $x<-1$
Grazie mille!!!
$lim_(k->infty) (x^k)/k^2$
con $x<-1$
Grazie mille!!!
Risposte
Considera $x=-y,\ y>1$: allora la successione la puoi scrivere come $\frac{(-y)^k}{k^2}=\frac{(-1)^k y^k}{k^2}$. Ora considera le due sottosuccessioni
$$a_k=\frac{(-1)^{2k} y^{2k}}{(2k)^2}=\frac{y^{2k}}{(2k)^2},\qquad b_k=\frac{(-1)^{2k+1} y^{2k+1}}{(2k+1)^2}=-\frac{y^{2k+1}}{(2k+1)^2}$$
Puoi convincerti facilmente che
$$\lim_{k\to+\infty} a_k=+\infty,\qquad \lim_{k\to+\infty} b_k=-\infty$$
e questo implica la non esistenza del limite di quella originale (se ci fosse, le due sottosuccessioni dovrebbero avere lo stesso limite).
$$a_k=\frac{(-1)^{2k} y^{2k}}{(2k)^2}=\frac{y^{2k}}{(2k)^2},\qquad b_k=\frac{(-1)^{2k+1} y^{2k+1}}{(2k+1)^2}=-\frac{y^{2k+1}}{(2k+1)^2}$$
Puoi convincerti facilmente che
$$\lim_{k\to+\infty} a_k=+\infty,\qquad \lim_{k\to+\infty} b_k=-\infty$$
e questo implica la non esistenza del limite di quella originale (se ci fosse, le due sottosuccessioni dovrebbero avere lo stesso limite).
grazie ciampax!! chiarissimo!!
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