Limite x->0 di logaritmi

[Sagittarioromano]

Salve a tutti, stavo facendo degli esercizi su alcuni limite con i logaritmi e mi sono trovato davanti una delle tante mancanze personali. In alcuni esercizio svolti mi sono trovato davanti questi passaggi:

Partendo dal presupposto che si parla sempre di x tendente a 0
\(\displaystyle \lim{2x^{\frac{1}{2}}\log x}= 0 \)

\(\displaystyle
\lim{\frac{1}{8}x^2\log x}= 0 \)

\(\displaystyle \lim{\log {(1+e^2x)}}= \lim {e^2x} \)

\(\displaystyle \frac{\log(1-\frac{1}{2}x^2+x^3)}{x^2+x^5} = \frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2}
\)

Come avrete notato mi manca sempre il passaggio intermedio nel passaggio dal logaritmo al momento in cui lo leva. Me lo potreste spiegare per favore? Grazie

[_prime_number]

Si usano gli sviluppi di Mc Laurin e si tagliano gli infinitesimi più deboli.

Paola

[gugo82]

@Sagittario: La sintassi per ottenere il corretto simbolo di limite è questa:

\lim_{x\to 0}

che produce appunto \(\lim_{x\to 0}\).

Il passaggio intermedio è dettato dal limite notevole:
\[
\lim_{y\to 0} \frac{\log (1+y)}{y} =1
\]
che si traduce in:
\[
\log (1+y)=y+\text{o}(y) \quad \text{per } y\to 0
\]
oppure in:
\[
\log (1+y)\approx y \quad \text{per } y\to 0
\]
a seconda di come ti sono state presentate le stime asintotiche.

[Sagittarioromano]

Questo passaggio lo conoscevo e giustamente si può applicare al terzo (non me ne ero accorto) ma ai primi due per esempio? devo mettere come argomento del logaritmo \(\displaystyle (1-1+x) \) e considero \(\displaystyle y=x-1 \) ??

Grazie ad entrambi per la risposta

[ciampax]

Nei primi due si usa il fatto che $\lim_{x\to 0} x^\alpha \log^\beta x=0$ per ogni $\alpha>0,\ \beta>0$.

[gugo82]

"ciampax":Nei primi due si usa il fatto che $\lim_{x\to 0} x^\alpha \log^\beta x=0$ per ogni $\alpha>0,\ \beta>0$.

Beh, su \(\beta >0\) non ci metterei la mano sul fuoco... Manca un valore assoluto, poiché \(\log x<0\) per \(x\approx 0\).
La relazione corretta dovrebbe essere:
\[
\lim_{x\to 0} x^\alpha |\log x|^\beta =0\; .
\]

La dimostrazione di questo fatto la trovi sul libro, come al solito.
Però puoi ragionare così:
\[
\lim_{x\to 0} x^\alpha |\log x|^\beta = \lim_{x\to 0^+} x^\alpha |\log x|^\beta\ \stackrel{y=|\log x|}{=} \lim_{y\to +\infty} \frac{y^\beta}{e^{\alpha y}} =0\; .
\]

[Sagittarioromano]

grazie a tutti e due ed un altro problema se ne è andato prendo nota