Limite successione nepero

[zio_mangrovia]

Volendo verificare che la successione $(1+ 1/n)^n$ è limitata utilizzando il binomio di Newton:

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n((n),(k))a^{n-k}b^k$ con $a=1, b=1/n$
$\sum_{k=0}^n((n),(k))1^{n-k} (1/n)^k=2+(1/(2!))(1-1/n)+(1/(3!))(1-1/n)(1-2/n)+...$ perciò $(1+ 1/n)^n>=2$

Ho trascritto questa relazione dagli appunti ma secondo me è sbagliata
$\sum_{k=0}^n((n),(k))1/n^k<=1/(n!)<=1+\sum_{k=0}^n1/2^{k-1}1/n^k$

quindi l'ho riscritta così:
$\sum_{k=0}^n((n),(k))1/n^k<=\sum_{k=0}^n1/(n!)<= $

ma non capisco cosa scrivere al 3°membro della disuguaglianza.

[Zero87]

Credo un po' quello che ti fa comodo. Per esempio, sapendo che per $n\ge 4$ hai $1/(n!) < 1/(n^2)$ puoi scrivere
$sum_(n=0)^(+\infty) 1/(n!) = 1+1+1/2+1/6 + \sum_(n=4)^(+\infty) 1/(n!) < 1+1+1/2+1/6 + \sum_(n=4)^(+\infty) 1/(n^2)$
che è limitata ed è una delle prime cose che si dimostrano quando si fanno le serie.

Si dimostra anche che
$\sum_(n=1)^(+\infty) 1/(n^2) = (\pi^2)/6$
se non erro, ma questa è un'altra storia.

[zio_mangrovia]

ma è sbagliata quella disuguaglianza secondo voi?