Limite sinistro, limite destro
questo limite mi da delle noie!
$lim_ (x->0) (3^x -cosx) /( ln (1+3x^2)$
sbirciando il risultato questo lim $\nexists$ in 0. Però è $\+infty$ in 0+ e $\-infty$ in 0-
perchè non esiste in 0? E da cosa me ne devo render conto?
io applicando il principio di sostituzione sono giunto a :
$lim_ (x->0) (x ln 3 ) /( ln (3x^2)$
che sembra dare $infty$ però non capisco la differenza tra destra e sinistra insomma..
spero di esser stato chiaro
$lim_ (x->0) (3^x -cosx) /( ln (1+3x^2)$
sbirciando il risultato questo lim $\nexists$ in 0. Però è $\+infty$ in 0+ e $\-infty$ in 0-
perchè non esiste in 0? E da cosa me ne devo render conto?
io applicando il principio di sostituzione sono giunto a :
$lim_ (x->0) (x ln 3 ) /( ln (3x^2)$
che sembra dare $infty$ però non capisco la differenza tra destra e sinistra insomma..
spero di esser stato chiaro
Risposte
"AleAnt":
questo limite mi da delle noie!
...Però è $\+infty$ in 0+ e $\-infty$ in 0-
perchè non esiste in 0?
...
rileggi e vedi che ti risponderai da solo!
si ho capito cosa intendi; avendo due valori in un punto vuol dire che in quel punto non esiste. Ok, ma io sono stato in grado di dire ciò solo dopo aver visto il risultato!!!
percaso mi vuoi dire che quando ho un limite devo calcolare sempre lim destro e lim sinistro?
percaso mi vuoi dire che quando ho un limite devo calcolare sempre lim destro e lim sinistro?
dissonance ha detto bene, ti risponderai da solo rileggendo quello che hai scritto...
N.B. $EE$ $lim_(x->x_0) f(x)$ se e solo se nel punto $x_0$ appartenente ai reali, f(x) ammette sia limite destro sia limite sinistro e questi sono uguali.

N.B. $EE$ $lim_(x->x_0) f(x)$ se e solo se nel punto $x_0$ appartenente ai reali, f(x) ammette sia limite destro sia limite sinistro e questi sono uguali.
No, però il fatto che il limite sx e quello dx siano diversi è una condizione sufficiente perché il limite non esista. Sono strumenti che ti tornano utili quando vuoi dimostrare che il limite non c'è. Un altro, analogo, è quello delle successioni: se trovi due successioni $(x_n),(y_n), x_n, y_n\tox_0; x_n, y_n!=x_0$, $x_0$ è di accumulazione per il dominio di $f$, e $f(x_n)\tol_1, f(y_n)\tol_2, l_1!=l_2$ allora puoi concludere che il limite non esiste. Spero di essere stato chiaro.
(edit) mi riferivo a AleAnt! ciao!
(edit) mi riferivo a AleAnt! ciao!
ok quindi nel dubbio è meglio calcolarli.
ti dico così perchè se nn avessi visto il risultato dal libro avrei scritto semplicemente $infty$ , e nn mi sarei accorto dell'errore.
Grazie ciao
ti dico così perchè se nn avessi visto il risultato dal libro avrei scritto semplicemente $infty$ , e nn mi sarei accorto dell'errore.
Grazie ciao
Sì ma stai attento! Il simbolo $\infty$ senza segno non significa niente in questo contesto. Oppure si intende come $+\infty$. Quindi ti consiglio: nel dubbio, mettilo sempre il segno agli infiniti. Sennò rischi di prendere cantonate colossali come quella di prima!
si infatti intendevo $+infty$, ma d'altronde nel mio caso era sbagliato lo stesso. Perchè dovevo appunto distinguere il lim sinistro dal lim destro in 0.
Allora scusa se ti ho offeso!
Però è vero che in alcune scuole superiori, anche licei scientifici, si insegna ad usare $\infty$ senza specificare il segno. Siccome è un erroraccio da bocciatura automatica, avevo pensato di metterti in guardia, ma per fortuna non era il caso. Meglio così. Ciao!

Però è vero che in alcune scuole superiori, anche licei scientifici, si insegna ad usare $\infty$ senza specificare il segno. Siccome è un erroraccio da bocciatura automatica, avevo pensato di metterti in guardia, ma per fortuna non era il caso. Meglio così. Ciao!
e chi si è offeso!! hai fatto bene a precisare; così evitiamo equivoci.
Ciao
Ciao
"AleAnt":
ok quindi nel dubbio è meglio calcolarli.
In generale non serve calcolarli... però quando esamini il limite fai attenzione "ai segni". Per spiegarmi meglio, se hai ad esempio $\lim_{x \to 1} 1/(x-1)$ vedi che il denominatore va a $0$ dunque il limite va a $\infty$. Ma il fatto che vada a $+\infty$ oppure $- \infty$ dipende da che parte arriva $x$ ad 1, se da destra o da sinistra.
Questo è un altro caso di limite che non esiste, dato che il sinistro e il destro non coincidono.
Comunque basta stare attenti come in sto caso e ti eviti di calcolarli separatamente, magari il bivio, come nel caso sopra, si presenta solo dopo un po'!

Paola
Ok,grazie.
Ok,grazie a tutti per l'aiuto.
Sfrutto questa discussione già aperta per chiedere una cosa:
io ero tra quanti al liceo usavano il generico $oo$, senza segno, ad esempio nei casi come da esercizio.
Arrivato all'università ho smeso di usarlo, per seguire le regole citate su.
Ma continuo a chiedermi: come mai m'era stato insegnato così? sicuramente deve esserci un motivo..una giustificazione!
Ma qual è? Al posto di usare i reali estesi (quindi $RR cup {+oo,-oo}$) si usavano dei reali "estesissimi"($RR cup {+oo,-oo,oo}$)? E' coerente questo sistema? ci sono varie correnti di pensiero? Mi risulta difficile pensare che in matematica ci si possa inventare un modo di risolvere i limiti..
io ero tra quanti al liceo usavano il generico $oo$, senza segno, ad esempio nei casi come da esercizio.
Arrivato all'università ho smeso di usarlo, per seguire le regole citate su.
Ma continuo a chiedermi: come mai m'era stato insegnato così? sicuramente deve esserci un motivo..una giustificazione!
Ma qual è? Al posto di usare i reali estesi (quindi $RR cup {+oo,-oo}$) si usavano dei reali "estesissimi"($RR cup {+oo,-oo,oo}$)? E' coerente questo sistema? ci sono varie correnti di pensiero? Mi risulta difficile pensare che in matematica ci si possa inventare un modo di risolvere i limiti..
infinito "senza segno" si usa infatti, ma con due significati diversi: quando non è necessario stabilire il segno (ad esempio nell'ambito delle discontinuità di seconda specie, si dice che il limite è infinito senza specificare il segno che potrebbe essere diverso a sinistra e a destra, per distinguerlo da altri tipi di discontinuità esistenziale, come $lim_(x->0)\sen(1/x)$ ), o anche quando si intende considerare sia $+oo$ sia $-oo$ (ad esempio si parla di intorno dell'infinito come unione di due semirette $(-oo, a)uu(b, +oo)$ ). però è chiaro che negli esercizi in cui devi verificare l'esistenza del limite devi trovare sia il limite destro sia il limite sinistro (quando non è banale trovarli contemporaneamente) e se è "infinito" va specificato il segno.
può esserci anche qualche caso particolare: ad esempio $lim_(x->+-oo)\x/(senx)$ . il limite chiaramente non esiste, ma si può dire che la funzione "diverge" sia per $x->-oo$ sia per $x->+oo$.
per quanto riguarda le estensioni di $RR$, tutti e tre i valori insieme non mi è capitato di vederli citati, ma con $oo$ senza segno il riferimento è credo alla geometria ellittica, con la retta che diventa una curva .... la chiusura è data dall'identificazione di +infinito con -infinito.
spero di non aver detto sciocchezze, e di aver chiarito qualche dubbio. se ci sono altri dubbi o altre interpretazioni, sono felice di "ascoltarle".
certo, con la lentezza di oggi, chissà quanti altri interventi saranno già arrivati in rete... ciao.
può esserci anche qualche caso particolare: ad esempio $lim_(x->+-oo)\x/(senx)$ . il limite chiaramente non esiste, ma si può dire che la funzione "diverge" sia per $x->-oo$ sia per $x->+oo$.
per quanto riguarda le estensioni di $RR$, tutti e tre i valori insieme non mi è capitato di vederli citati, ma con $oo$ senza segno il riferimento è credo alla geometria ellittica, con la retta che diventa una curva .... la chiusura è data dall'identificazione di +infinito con -infinito.
spero di non aver detto sciocchezze, e di aver chiarito qualche dubbio. se ci sono altri dubbi o altre interpretazioni, sono felice di "ascoltarle".
certo, con la lentezza di oggi, chissà quanti altri interventi saranno già arrivati in rete... ciao.
"adaBTTLS":
...il riferimento è credo alla geometria ellittica, con la retta che diventa una curva...
Sì, il simbolo $\infty$ senza segno l'ho visto usare in geometria proiettiva, per intendere il punto improprio della retta proiettiva $\mathbb{P}^1(\RR)$ o $\mathbb{P}^1(\CC)$.
(edit) Nel caso reale la retta proiettiva è omeomorfa ad una circonferenza, che come faceva notare adaBTTLS si può ottenere dalla retta ampliata con ${+\infty, -\infty}$ identificandoli ad un punto, che possiamo chiamare, appunto, $\infty$.