Limite semplice che non esce

[tecnomiky]

Salve a tutti, sto risolvendo questo limite $ lim_(x->+\infty) (x-1)arctan(x) - pi/2x $ per risolverlo raccolgo la x e ho $ lim_(x->+\infty) x(arctan(x) -arctan(x)/x -pi/2) $ risolvendo ho che il primo arcotangente tende a $pi/2$ che con $- pi/2 $ è uguale a 0, $-arctan(x)/x$ tende a 0.
Quindi viene infinito per zero cioè zero.
Però calcolando il risultato con wolfram alpha mi esce che è $ -1 -pi/2$.
Dove sbaglio?
Ringrazio tutti coloro che mi aiuteranno.

[axpgn]

"MikyGio":... Quindi viene infinito per zero cioè zero. ...

Tu non hai zero ma qualcosa che tende a zero e c'è una gran bella differenza ...

[tecnomiky]

E quindi?

[gugo82]

Mai sentito parlare di forme indeterminate?

[tecnomiky]

Si, voglio dire quindi come si risolve?

[gugo82]

E quindi usa un po' di trigonometria...

Tieni presente che:
\[
\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}
\]
per $x>0$, dunque...

[tecnomiky]

"gugo82":E quindi usa un po' di trigonometria...

Tieni presente che:
\[
\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}
\]
per $x>0$, dunque...

Grazie gugo82, ma quella formula come l'hai ricavata? Perché provandola sul wolfram il risultato cambia

[axpgn]

Tu sai che $tan(alpha)=sin(alpha)/cos(alpha)$ e che $cot(alpha)=1/tan(alpha)$, per cui $cot(alpha)=cos(alpha)/sin(alpha)$; ma dato che $cos(alpha)=sin(pi/2-alpha)$ e $sin(alpha)=cos(pi/2-alpha)$ allora, ponendo $pi/2-alpha=beta$, avremo $cot(alpha)=sin(beta)/cos(beta)=tan(beta)$ con $alpha+beta=pi/2$.
Da qui riesci ad arrivare a quella formula?

[gugo82]

Il ragionamento di axpgn è quello che avrei scritto se avessi avuto il tempo di rispondere.

Un altro modo per arrivare alla formula è il seguente: posto:
\[
f(x):=\arctan x +\arctan \frac{1}{x}
\]
si ha:
\[
f^\prime (x) =0
\]
ovunque in $]0,+\infty [$, ergo $f$ è costante per $x>0$; dato che $f(1) = \pi/2$, si ha $f(x)=\pi/2$ in tutto $]0,+\infty [$.

[axpgn]

Carina, dimostrazione molto carina ... ... e poi dicono che in matematica non si usa la fantasia ...

Cordialmente, Alex