Limite $root(n)$ $(n!)$

[francicko]

Esiste un metodo elementare, senza ricorrere quindi al criterio del rapporto , od alla formula di Stirling, per stabilire che il $lim_(n->infty)$ $root(n)$ $(n!)$ tenda ad $infty$ ?

[ciampax]

Prova a ragionare sul fatto che per ogni $k>o$ si ha $\lim_{n\to+\infty}\frac{k^n}{n!}=0$ e vedi cosa puoi concludere.

[gugo82]

Beh,si vede che in $n!$ almeno $n/2$ fattori sono più grandi di $n/2$ e gli altri sono più grandi di $1$, quindi dovrebbe valere una stima dal basso del tipo:
\[
n!\geq \left( \frac{n}{2}\right)^{n/2}\; ,
\]
(o qualcosa di simile) che ti consente di concludere subito.

[Zero87]

Ciao grande G!

Comunque in un altro post
viewtopic.php?f=36&t=139629
praticamente contemporaneo a questo, mi si è accesa solo la lampada Stirling, che però funziona (cito a memoria, se me la ricordo ancora è una vittoria personale!)
$n! = n^n e^(-n) \sqrt(2\pi n) O(e^(-12n))$
quindi, per $n->+\infty$
$(n!)^(1/n) = n \cdot 1/e \cdot (\sqrt(2 \pi n) O(e^(-12n)))^(1/n) ~ n/e -> +\infty$.