Limite presente sul compito di matematica generale
il testo del compito mi chiede: "Quanto vale $lim_(x->0)(1+x^3)^((1)/[(x^4+1)^4-1])$?
qualcuno può darmi una mano? a primo impatto credo si tratti di un limite del tipo $e^((1)/[(x^4+1)^4-1])$ ma non sono sicura in quanto sul libro dal quale sto studiando un trovo esercizi simili a questo
qualcuno può darmi una mano? a primo impatto credo si tratti di un limite del tipo $e^((1)/[(x^4+1)^4-1])$ ma non sono sicura in quanto sul libro dal quale sto studiando un trovo esercizi simili a questo
Risposte
No no no silvia 
quando scrivi $2^-$ non stai "elevando a $-$" stai considerando un numero che è quasi $2$, ma poco poco più piccolo. Analogamente $2^+$ (più semplice di cosi non te lo so dire)
Non è proprio cosi. O meglio, lo è in questo caso perchè la funzione è discontinua in $0$, e questo ti costringe a controllare il comportamento della funzione a destra e sinistra di $0$.
quando scrivi $2^-$ non stai "elevando a $-$" stai considerando un numero che è quasi $2$, ma poco poco più piccolo. Analogamente $2^+$ (più semplice di cosi non te lo so dire)quindi a parte 0 per tutti gli altri numeri se elevati a − il segno non conta..giusto?
Non è proprio cosi. O meglio, lo è in questo caso perchè la funzione è discontinua in $0$, e questo ti costringe a controllare il comportamento della funzione a destra e sinistra di $0$.
a si ok....la tua spiegazione è stata molto chiara ho capito cosa sta a significare il segno $-$ adesso vorrei capire meglio come sei arrivato cosi semplicemente al passaggio finale....cosa che io non sono riuscita a fare con la tua stessa disinvoltura 
Plepp se ci sei potresti rispiegarmi lo svolgimento?
[/quote]Qui la cosa più conveniente da fare è usare il limite notevole che ti ho mostrato 4 post fa (o usare De l'Hopital, ma è molto meno rapido): dal momento che $(x^4+1)^4-1\sim 4x^4$ (per $x\to 0$), possiamo riscrivere il limite come
\[(\ast\ast)=\lim \exp\left( \frac{1}{4x^4} \ln\left(1+x^3\right) \right)=(\ast^3)\]
riguardando meglio questo post, non sono ancora riuscita a capire come hai trovato quel $1/(4x^4)$!!! nel post di prima non avevi detto che era uguale a $4$?
Inoltre, per $x\to 0$, $\ln(1+x^3)\sim x^3$:
\[(\ast^3)=\lim \exp\left( \frac{1}{4x^4} x^3 \right)=\lim \exp\left( \dfrac{1}{4x}\right)\]
Ora mi sai dire tu cosa succede, vero?
(ricordati tutto quel discorso, che snobbasti, su limite destro e sinistro)[/quote]
ma scusa il logaritmo di $(1+x^3)$ per $x->0$ non è $1$?
\[(\ast\ast)=\lim \exp\left( \frac{1}{4x^4} \ln\left(1+x^3\right) \right)=(\ast^3)\]
riguardando meglio questo post, non sono ancora riuscita a capire come hai trovato quel $1/(4x^4)$!!! nel post di prima non avevi detto che era uguale a $4$?
Inoltre, per $x\to 0$, $\ln(1+x^3)\sim x^3$:
\[(\ast^3)=\lim \exp\left( \frac{1}{4x^4} x^3 \right)=\lim \exp\left( \dfrac{1}{4x}\right)\]
Ora mi sai dire tu cosa succede, vero?
(ricordati tutto quel discorso, che snobbasti, su limite destro e sinistro)[/quote]ma scusa il logaritmo di $(1+x^3)$ per $x->0$ non è $1$?
In programma avete i simboli di Landau e gli sviluppi di Taylor? 
di quale programma parli?
Oh madre de Diòs...Silvia quel limite và risolto con i limiti notevoli che ti ho mostrato all'inizio. Lascia stare il mio procedimento, prova a risolverlo tu, poi posta e ne parliamo insieme.
scusami lo so che faccio perdere la pazienza.... ma io non so usare i limiti notevoli pensavo che potevi spiegarmi quel metodo logaritmico
"silvia_85":
di quale programma parli?
Eh a lezione avete visto i Simboli di Landau e gli Sviluppi di Taylor?
Perché altrimenti come ti ha già detto Plepp l'unica strada sono i limiti notevoli
io non posso andare a lezione...comunque abbiamo Taylor nel programma di studi...questo è sicuro
Allora devi prendere in considerazione anche gli sviluppi per fare i limiti.. sono molto comodi se si capisce come usarli
guardando bene il libro mi sono accorta che Taylor me lo tratta dopo le derivate...è normale? perchè non lo spiega nello stesso capito dove parla dei limiti? visto che serve per sviluppare i limiti?
Nessun metodo logaritmico. I limiti notevoli devi impararli per forza, è inutile che perdi tempo a cercar di risolvere il limite diversamente.
Una volta imparati i limiti notevoli io non ho nient'altro di nuovo da dirti, se non questa "regoletta pratica":
quando per $x\to 0$ (in generale $\to x_0$) hai due funzioni $f$ e $g$ tali che
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=k \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\]
questo fatto lo puoi esprimere in modo conciso scrivendo che
\[f(x)\sim k\cdot g(x)\]
Inoltre quando devi calcolare
\[\lim_{x\to 0} f(x)\]
ma non ci riesci facilmente, puoi scrivere questo: "dato che $f\sim k\cdot g$, allora
\[\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} k\cdot g(x)\]
"
Facciamo un esempio per capire come torna utile tutto questo. Vogliamo calcolare il limite per $x$ che va a $0$ di $(x*\sin x)/(1-\cos x)$. Sappiamo (perchè lo abbiamo imparato dai libri) che $\lim_{x\to 0} (\sin x)/x=1$ mentre $\lim_{x\to 0} (1-\cos x)/x^2=1/2$. In base a quanto detto prima scriviamo, per $x\to 0$,
\[\sin x \sim x\qquad 1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^2\]
Questo ci permette di riscrivere il nostro limite come
\[\lim_{x\to 0} \dfrac{x\cdot x}{1/2\, x^2}=\lim_{x\to 0} \dfrac{x^2}{1/2\, x^2}=2\]
Ora suppongo che ti possa essere piu chiaro lo svolgimento che ho postato all'inizio.
Naturalmente ho ridotto all'osso, anzi al midollo, tutto questo discorso, sul quale ci sarebbero taaante altre cose da dire...A te basti sapere questo. Se poi ti va di approfondire, ci sono i libri (non quelli delle superiori) che sicuramente ti diranno molte piu cose di quante io possa sognare di dirtene.
Una volta imparati i limiti notevoli io non ho nient'altro di nuovo da dirti, se non questa "regoletta pratica":
quando per $x\to 0$ (in generale $\to x_0$) hai due funzioni $f$ e $g$ tali che
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=k \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\]
questo fatto lo puoi esprimere in modo conciso scrivendo che
\[f(x)\sim k\cdot g(x)\]
Inoltre quando devi calcolare
\[\lim_{x\to 0} f(x)\]
ma non ci riesci facilmente, puoi scrivere questo: "dato che $f\sim k\cdot g$, allora
\[\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} k\cdot g(x)\]
"
Facciamo un esempio per capire come torna utile tutto questo. Vogliamo calcolare il limite per $x$ che va a $0$ di $(x*\sin x)/(1-\cos x)$. Sappiamo (perchè lo abbiamo imparato dai libri) che $\lim_{x\to 0} (\sin x)/x=1$ mentre $\lim_{x\to 0} (1-\cos x)/x^2=1/2$. In base a quanto detto prima scriviamo, per $x\to 0$,
\[\sin x \sim x\qquad 1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^2\]
Questo ci permette di riscrivere il nostro limite come
\[\lim_{x\to 0} \dfrac{x\cdot x}{1/2\, x^2}=\lim_{x\to 0} \dfrac{x^2}{1/2\, x^2}=2\]
Ora suppongo che ti possa essere piu chiaro lo svolgimento che ho postato all'inizio.
Naturalmente ho ridotto all'osso, anzi al midollo, tutto questo discorso, sul quale ci sarebbero taaante altre cose da dire...A te basti sapere questo. Se poi ti va di approfondire, ci sono i libri (non quelli delle superiori) che sicuramente ti diranno molte piu cose di quante io possa sognare di dirtene.
"silvia_85":
di quale programma parli?
Del programma di diritto privato
penso si riferisse ai post che avevamo formulato prima insieme a te (Plepp)
"silvia_85":
guardando bene il libro mi sono accorta che Taylor me lo tratta dopo le derivate...è normale? perchè non lo spiega nello stesso capito dove parla dei limiti? visto che serve per sviluppare i limiti?
La formula di Taylor con resto di Peano è un'estensione della prima formula degli incrementi finiti a funzioni che in punto $x_0$ hanno più di una derivata
e quindi è normale che sia messo dopo?
"silvia_85":
e quindi è normale che sia messo dopo?
Si, in particolare a te interessano gli sviluppi di Mclaurin, ovvero la formula di Taylor centrata in $x_0=0$
ok allora procedere per gradi....spero di farcela
rieccomi...beh effettivamente avevate ragione Taylor e McLaurin non sono poi cosi difficili, l'unica cosa è che il libro fa degli esempi senza scrivere alcuni passaggi e quindi ho qualche difficoltà potreste darmi una mano? grazie anticipatamente a tutti
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