Limite presente sul compito di matematica generale
il testo del compito mi chiede: "Quanto vale $lim_(x->0)(1+x^3)^((1)/[(x^4+1)^4-1])$?
qualcuno può darmi una mano? a primo impatto credo si tratti di un limite del tipo $e^((1)/[(x^4+1)^4-1])$ ma non sono sicura in quanto sul libro dal quale sto studiando un trovo esercizi simili a questo
qualcuno può darmi una mano? a primo impatto credo si tratti di un limite del tipo $e^((1)/[(x^4+1)^4-1])$ ma non sono sicura in quanto sul libro dal quale sto studiando un trovo esercizi simili a questo
Risposte
Forse ti sfugge questo limite notevole:
\[\lim_{x\to 0} \dfrac{(x^4+1)^4-1}{x^4}=4\]
Piu in generale
\[\lim_{x\to 0} \dfrac{(x^\alpha+1)^\beta-1}{x^\alpha}=\beta\]
In altri termini
\[(x^\alpha+1)^\beta-1\sim \beta x^\alpha\qquad\text{per}\ x\to 0\]
Ciao
EDIT: ovviamente il limite vale anche se al posto di $x^\alpha$ hai un altra funzione infinitesima in $0$ (una funzione $\varepsilon(x)$ che $\to 0$ se $x\to 0$)
\[\lim_{x\to 0} \dfrac{(x^4+1)^4-1}{x^4}=4\]
Piu in generale
\[\lim_{x\to 0} \dfrac{(x^\alpha+1)^\beta-1}{x^\alpha}=\beta\]
In altri termini
\[(x^\alpha+1)^\beta-1\sim \beta x^\alpha\qquad\text{per}\ x\to 0\]
Ciao
EDIT: ovviamente il limite vale anche se al posto di $x^\alpha$ hai un altra funzione infinitesima in $0$ (una funzione $\varepsilon(x)$ che $\to 0$ se $x\to 0$)
scusa ma non vado d'accordo con i limiti notevoli come posso fare? quindi la mia intuizione è sbagliata?
Non penso ci sono molte vie che valga la pena di seguire, se non quella dei limiti notevoli... A parte questo, si, come dici tu ti conviene scrivere l'uguaglianza $f(x)^(g(x)) = e^(g(x)\lnf(x))$.
ok allora se posso vorrei chiederti di prendermi per mano facendomi capire come potevo svolgerlo usando quest'uguaglianza...
Evito nel seguito di specificare che calcoliamo il limite per $x\to 0$.
\[\lim (1+x^3)^{\frac{1}{(x^4+1)^4-1}}=\lim \exp\left( \ln\left( (1+x^3)^{\frac{1}{(x^4+1)^4-1}} \right) \right)=(\ast)\]
Qui ricordiamo che $\ln (f^g)=g \ln f$ (se $f>0$) e scriviamo
\[(\ast)=\lim \exp\left( \frac{1}{(x^4+1)^4-1} \ln\left(1+x^3\right) \right)=(\ast\ast)\]
Qui la cosa più conveniente da fare è usare il limite notevole che ti ho mostrato 4 post fa (o usare De l'Hopital, ma è molto meno rapido): dal momento che $(x^4+1)^4-1\sim 4x^4$ (per $x\to 0$), possiamo riscrivere il limite come
\[(\ast\ast)=\lim \exp\left( \frac{1}{4x^4} \ln\left(1+x^3\right) \right)=(\ast^3)\]
Inoltre, per $x\to 0$, $\ln(1+x^3)\sim x^3$:
\[(\ast^3)=\lim \exp\left( \frac{1}{4x^4} x^3 \right)=\lim \exp\left( \dfrac{1}{4x}\right)\]
Ora mi sai dire tu cosa succede, vero? (ricordati tutto quel discorso, che snobbasti, su limite destro e sinistro)
\[\lim (1+x^3)^{\frac{1}{(x^4+1)^4-1}}=\lim \exp\left( \ln\left( (1+x^3)^{\frac{1}{(x^4+1)^4-1}} \right) \right)=(\ast)\]
Qui ricordiamo che $\ln (f^g)=g \ln f$ (se $f>0$) e scriviamo
\[(\ast)=\lim \exp\left( \frac{1}{(x^4+1)^4-1} \ln\left(1+x^3\right) \right)=(\ast\ast)\]
Qui la cosa più conveniente da fare è usare il limite notevole che ti ho mostrato 4 post fa (o usare De l'Hopital, ma è molto meno rapido): dal momento che $(x^4+1)^4-1\sim 4x^4$ (per $x\to 0$), possiamo riscrivere il limite come
\[(\ast\ast)=\lim \exp\left( \frac{1}{4x^4} \ln\left(1+x^3\right) \right)=(\ast^3)\]
Inoltre, per $x\to 0$, $\ln(1+x^3)\sim x^3$:
\[(\ast^3)=\lim \exp\left( \frac{1}{4x^4} x^3 \right)=\lim \exp\left( \dfrac{1}{4x}\right)\]
Ora mi sai dire tu cosa succede, vero?
(ricordati tutto quel discorso, che snobbasti, su limite destro e sinistro)
allora...se non ho capito male $4x^4$ te lo sei trovato usando De l'Hopital ma non capisco come ti sei trovato $x^3$ in quanto se avessi usato De l'Hopital sarebbe diventato $3x^2$....comunque il tuo ultimo passaggio dovrebbe risultare $oo$ giusto?
no scusa, vorrei capire da dove si deduce che ho usato De l'Hopital xDHo utilizzato i limiti notevoli, forse non nella maniera che conosci tu. A questo punto prova a risolverlo daccapo tu, come sai fare, utilizzando i limiti notevoli che conosci ora, e poi posta il procedimento che ne parliamo insieme.
Il risultato non è quello, ma non ti dico il perchè
ne abbiamo già parlato e mi hai ampiamente snobbato perchè forse ritenevi l'argomento troppo complicato. Cerca il post in cui ne abbiamo discusso, oppure prendi un qualunque libro di analisi I e guarda che relazione c'è tra l'esistenza del limite e l'esistenza di limite destro e sinistro.
io snobbato??? io ritengo veramente veramente complicato questo limite (ovviamente per me) in quanto non so usare i limiti notevoli, però grazie a te, e ad alcuni post prima dell'esame mi ricordavo che limiti simili a questo mi avevi spiegato che si potevano fare anche $e^....$ però non mi ricordavo bene come si continuasse a svolgerlo...tutto qui...io non voglio snobbare nessuno e se ti è sembrato questo mi scuso 
Vabè tranquilla...non è successo nulla, l'importante è che ci arriviamo insieme a sta soluzione...se te lo dice sempre qualcun altro come devi fare è inutile...
Ricordi cosa abbiamo detto su limite destro e sinistro?? "Il limite per $x\to c$ esiste se e solo se esistono e...?"
Ricordi cosa abbiamo detto su limite destro e sinistro?? "Il limite per $x\to c$ esiste se e solo se esistono e...?"
meno male....no ma infatti io non voglio la soluzione...anche perchè quella ce l'ho già...ma vorrei capire come poter svolgere il limite..mmh adesso non ricordo cosa mi hai spiegato sul limite destro e sinistro....questo discorso per quali tipi di limiti si fa?dal libro sul quale sto studiando non c'è specificato questo passaggio.
"silvia_85":
anche perchè quella ce l'ho già
E quale sarebbe scusa?
questo discorso per quali tipi di limiti si fa?dal libro sul quale sto studiando non c'è specificato questo passaggio
Questo discorso vale per tutti i limiti, ed è impossibile che sul tuo testo non ci sia questa cosa qua...stava pure sul mio libro delle superiori, figurati!
Comunque, mi arrendo
Il limite per $x\to c$ esiste se e solo se esistono, e sono uguali, il limite destro (per $x\to c^+$) e il limite sinistro (per $x\to c^-$).Ora calcoliamo questi benedettissimi limiti a destra e a sinistra
puoi farlo tu!
la soluzione è che il limite non esiste...anch'io sto studiando da un libro delle superiori, quelli universitari danno troppe cose per scontato, comunque adesso vedrò meglio,ma sono quasi sicura che non ci sia scritto...ti farò sapere e per calcolare il limite destro e sinistro si deve tenere in considerazione $x->c^+, x->c^-$?
La soluzione è quella ora lascia perdere il libro, per il momento...
Proviamo a calcolare i limiti destro e sinistro una volta arrivati qui:
\[\lim_{x\to 0} e^{\frac{1}{4x}}\]
Una volta risolto sto problema, ci occupiamo di come ci siamo arrivati a questo punto
ora lascia perdere il libro, per il momento...Proviamo a calcolare i limiti destro e sinistro una volta arrivati qui:
\[\lim_{x\to 0} e^{\frac{1}{4x}}\]
Una volta risolto sto problema, ci occupiamo di come ci siamo arrivati a questo punto
Proviamo a calcolare i limiti destro e sinistro una volta arrivati qui:
\[\lim_{x\to 0} e^{\frac{1}{4x}}\][/quote]
Allora....se non ho capito male quello detto sin ora devo sostituire prima $x->0^+$ e poi per $x->0^-$ giusto?
\[\lim_{x\to 0} e^{\frac{1}{4x}}\][/quote]
Allora....se non ho capito male quello detto sin ora devo sostituire prima $x->0^+$ e poi per $x->0^-$ giusto?
Si, questo vuol dire calcolare il limite a destra e a sinistra...
ma scusa...(sicuramente sto scrivendo una fesseria)ma tu hai detto che per esistere un limite sia quello destro che quello sinistro devo essere uguali....se non mi sbaglio in questo caso sono $e^+oo$ e l'altro $e^-oo$ mi sbaglio?
Esatto!!! e proprio perchè i limiti a destra e sinistra non coincidono che il limite non esiste!!! in altri termini
\[\lim_{x\to {0^-}} f(x)=[e^{-\infty}]=0\neq \lim_{x\to {0^+}}f(x)=[e^{+\infty}]=+\infty\]
Quindi
\[\nexists \lim_{x\to {0}} f(x) \]
\[\lim_{x\to {0^-}} f(x)=[e^{-\infty}]=0\neq \lim_{x\to {0^+}}f(x)=[e^{+\infty}]=+\infty\]
Quindi
\[\nexists \lim_{x\to {0}} f(x) \]
ma scusa...se ad esempio $x->2^+$ e $x->2^-$ se non mi sbaglio sarebbe risultato $e^1/2$$ e $e^-1/2$anche in questo caso il limite non esiste?
No, il risultato sarebbe stato (sia a destra che a sinistra) $e^{\frac{1}{8}}$
(l'esponente è $1/8$, forse non si capisce
)
(l'esponente è $1/8$, forse non si capisce
)
"Plepp":
No, il risultato sarebbe stato (sia a destra che a sinistra) $e^{\frac{1}{8}}$
(l'esponente è $1/8$, forse non si capisce
a si..scusa avevo dimenticato il limite iniziale....quindi a parte $0$ per tutti gli altri numeri se elevati a $-$ il segno non conta..giusto? ok adesso mi sa che ho capito il "perchè" della soluzione, adesso vorrei capire come siamo arrivati ad ottenere $e^(1/4x)$ (magari usando De l'Hopital)...ma mamma mia grazie a questo forum riesco a capire molte più cose rispetto a qualsiasi altro libro...
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