Limite: perché non risolverlo così?

[alex3691]

Salve forum,
mi appello a voi per un esercizio su un limite che mi sta facendo perdere la testa da qualche giorno
La traccia dell'esercizio, per cominciare, è questa:
$ \lim_{x \to + \infty} [(1- \frac{3}{\sqrt x})^x \cdot e^{3 \sqrt x}] $
il risultato è, secondo la maggior parte dei solutori matematici, $e^{-9/2}$
Il mio svolgimento, che invece mi porta ad un risultato diverso, tramite un cambio di variabile, è il seguente $ \lim_{t \to + \infty} [(1- \frac{3}{t})^{t^2} \cdot e^{3 t}] = e^{-3t} \cdot e^{3t} = 1 $
e purtroppo è sbagliato.
Perché?
E soprattutto, come posso arrivare al risultato corretto?

[cooper1]

non è che sia sbagliato, è che ti sei fermato al primo ordine, ma questo non è sufficiente perchè $3sqrtx$ si elide con $-3sqrtx$.
per risolverlo puoi fare così:
$ (1-3/sqrtx)^x e^(-3sqrtx)=e^(xlog(1-3/sqrtx))e^(-3sqrtx) $
a questo punto usando Taylor espandi fino al secondo ordine il logaritmo e sei apposto!