Limite per x tendente all'infinito con Taylor
Salve a tutti! Avrei una domanda da proporvi a proposito della risoluzione di limiti di funzioni per $ x->+oo $ per mezzo degli sviluppi di Taylor e MacLaurin...Fino ad ora sono riuscito a risolvere limiti con questo metodo solo quando $ x->0 $ , in quanto gli o piccoli nello sviluppo vengono trascurati ( sono infinitesimi di ordine superiore). Non mi è chiaro che ruolo giochino questi resti secondo Peano in limiti del tipo:
$ lim_(x -> +oo ) logsqrt(1+x^2)/root(4)(x) $
Preferisco ovviamente usare i limiti notevoli, ma l'esercizio impone di usare Taylor...tuttavia al di là di questo caso preciso non o come gestire gli o piccoli una volta completato lo sviluppo...cosa mi consigliate?
Grazie a tutti in anticipo
$ lim_(x -> +oo ) logsqrt(1+x^2)/root(4)(x) $
Preferisco ovviamente usare i limiti notevoli, ma l'esercizio impone di usare Taylor...tuttavia al di là di questo caso preciso non o come gestire gli o piccoli una volta completato lo sviluppo...cosa mi consigliate?
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Per risolvere quel limite non ha senso applicare gli sviluppi di Taylor, è proprio impossibile perchè il teorema di Taylor dice tutt'altra cosa. Nel tuo caso, il logaritmo si comporta come $logx$, e, per ordine di infinito, il limite è 0.
Sì ho capito, intendi dire che essendo il radicando asintotico a x^2 risolveresti il limite per confronto di infiniti..sono d'accordo è mooolto più veloce sicuramente! Ma il libro chiede espressamente di applicare taylor...posto un altro caso, magari più semplice:
$ lim_(x -> +oo) (sinx-x)/x^3 $
Alcuni miei colleghi dicono che è possibile applicare in questo caso lo sviluppo di McLaurin del seno sino al terzo ordine...quello che non mi è chiaro è che poi, il resto, non è infinitesimo! cioè non si sta più approssimando la funzione in un punto...non si tratta più di un o piccolo o sbaglio? In linea di massima, è proprio impossibile applicare Taylor per limiti di questo tipo?
$ lim_(x -> +oo) (sinx-x)/x^3 $
Alcuni miei colleghi dicono che è possibile applicare in questo caso lo sviluppo di McLaurin del seno sino al terzo ordine...quello che non mi è chiaro è che poi, il resto, non è infinitesimo! cioè non si sta più approssimando la funzione in un punto...non si tratta più di un o piccolo o sbaglio? In linea di massima, è proprio impossibile applicare Taylor per limiti di questo tipo?
sono scettico sull'utilizzo di Taylor per questo limite... però per quanto riguarda gli o piccolo... come consigliatomi dalla mia professoressa di Analisi, durante gli sviluppi mantieni l'o piccolo relativo allo svolgimento di ogni singola funzione, dopo le semplificazioni considera l'o piccolo relativo al massimo esponente che ti ritrovi...
Questo $ lim_(x -> 0) (sinx-x)/x^3 $
è il limite classico che bisogna della formula di Taylor (o di De L'Hospital).
L'altro, quello scritto da te, si risolve così: $ lim_(x -> +oo) ((sin(x))/x - 1)/x^2 = 0$
è il limite classico che bisogna della formula di Taylor (o di De L'Hospital).
L'altro, quello scritto da te, si risolve così: $ lim_(x -> +oo) ((sin(x))/x - 1)/x^2 = 0$
"Seneca":
Questo $ lim_(x -> 0) (sinx-x)/x^3 $
è il limite classico che bisogna della formula di Taylor (o di De L'Hospital).
L'altro, quello scritto da te, si risolve così: $ lim_(x -> +oo) ((sin(x))/x - 1)/x^2 = 0$
scusami ma che nesso c'è tra questo limite e quello postato all'inizio? O_ò...
"Ma.Gi.Ca. D":
scusami ma che nesso c'è tra questo limite e quello postato all'inizio? O_ò...
Forse ti sei perso un messaggio: http://www.matematicamente.it/forum/limite-per-x-tendente-all-infinito-con-taylor-t71328.html#497148
Ok vi ringrazio tutti ma forse non avete capito cosa vi sto chiedendo...i due limiti che ho postato sono risolubili con diverse tecniche...le cose che vorrei sapere sono:
1)è possibile applicare taylor a casi in cui x tende all'infinito?
2) nel caso, come si comportano gli o piccoli (resti)? Non sono ovviamente trascurabili...non so come procedere!
Ammettendso che sostituisca il valore dello sviluppo del seno sino al terzo ordine: $ x-1/6x^3 +o(x^3) $ come gestisco questo o piccolo? non è trascurabile...perchè non è un infinitesimo
Grazie a tutti per l'aiuto
1)è possibile applicare taylor a casi in cui x tende all'infinito?
2) nel caso, come si comportano gli o piccoli (resti)? Non sono ovviamente trascurabili...non so come procedere!
Ammettendso che sostituisca il valore dello sviluppo del seno sino al terzo ordine: $ x-1/6x^3 +o(x^3) $ come gestisco questo o piccolo? non è trascurabile...perchè non è un infinitesimo
Grazie a tutti per l'aiuto
Non lo gestisci. Non puoi applicare la formula di Taylor in questa maniera sconsiderata.
Qualche volta (ma non è questo il caso) può essere conveniente, con un cambio di variabile, ricondursi a una forma in cui sembra opportuno applicare Taylor.
Qualche volta (ma non è questo il caso) può essere conveniente, con un cambio di variabile, ricondursi a una forma in cui sembra opportuno applicare Taylor.
ok, perfetto anche perchè se andassi avanti con lo sviluppo otterrei infiniti di ordine sempre superiore e non saprei come uscirne! ( sarebbe un assurdo)
Un'ultima cosa, qualcuno sa spiegarmi in modo operativo la notazione O grande di Landau?
anche perchè se andassi avanti con lo sviluppo otterrei infiniti di ordine sempre superiore e non saprei come uscirne! ( sarebbe un assurdo)Un'ultima cosa, qualcuno sa spiegarmi in modo operativo la notazione O grande di Landau?
Mi sembra che ci sia un post di Gugo a riguardo, è uno dei primi della sezione "Analisi Matematica".
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