Limite per verificare differenziabilità
Ragazzi nn so fare bene i limiti,
adesso sto studiando la differenziailità per analisi II ho questo limite
$lim_(h,k->0,0)(sqrt(|hk|)/sqrt(h^2+k^2)$ mi potreste dire ome si fa verrebbe una forma indeterminate 0/0
ho provato a razionalizzare num e denom. e mi viene
$lim_(h,k->0,0)[|hk|(sqrt(h^2+k^2)]/[(h^2+k^2) sqrt(hk)]
Cm si fa sto limite, ma i limiti in analisi II saranno più difficili di quelli di analisi I?
adesso sto studiando la differenziailità per analisi II ho questo limite
$lim_(h,k->0,0)(sqrt(|hk|)/sqrt(h^2+k^2)$ mi potreste dire ome si fa verrebbe una forma indeterminate 0/0
ho provato a razionalizzare num e denom. e mi viene
$lim_(h,k->0,0)[|hk|(sqrt(h^2+k^2)]/[(h^2+k^2) sqrt(hk)]
Cm si fa sto limite, ma i limiti in analisi II saranno più difficili di quelli di analisi I?
Risposte
in questo caso o passi a coordinate polari e vedi che succede ma a me sembra (non vorrei sbagliare) che se ti muovi sulla retta $h=k$ questo limite è diverso a seconda che $h$ sia positivo o negativo.
ma confido nelle osservazioni di altri
ma confido nelle osservazioni di altri
Dunque la questione dei limiti in $R^2$ è leggermente diversa.
Praticamente diciamo che non esiste un modo immediato per calcolare i limiti (almeno per me povero studente di ingengeria); praticamente di solito io ho verificato la veridicità dei limiti: cioè ad esempio questo limite esiste e fa effettivamente 0?
I principali metodi che conosco sono o l'applciazione proprio della definizione di limite oppure applicare il fatto che il limite, sempre per definizione deve essere verificato in un intorno circolare del punto, e quindi in particolare il limite deve esistere uguale lungo ogni curva che passa per il punto di accumulazione; praticamente si calcola il limite di $f(x,f(x))$ dove per $f(x)$ si può provare dapprima a prendere le rette $mx$ poi le parabole $mx^2$ e così via. se si ottiene un valore unico allora si può pensare che il limtie sia proprio quello e si può procedere a verificare applicando la definizone, se vengono valori diversi o comunque dipendenti da un parametro m si può concludere che il limtie non esiste.
Per verificare la veridicità di un limtie applciando la definizione io procedo così:
tenendo presente sempre la definizione io voglio far vedere che $|f(x)-l|<=e$ per ogni punto interno ad un intorno di ampiezza fissata ovvero per ogni punto che soddisfa $0<((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)^(1/2)
Nel caso particolare da te proposto se si pone $k=mh$ si ottiene lim per $(h,mh)$ che tende a $(0,0)$ di $((|m|h^2)^(1/2)/((h^2+m^2h^2)^(1/2)))=(((|m|)^(1/2))/((1+m^2)^(1/2)))$ che è un valore chiaramente dipendente da m e quindi posssiamo concludere che tale limtie non esiste.
COMUNQUE SONO UNO STUDENTE AL SECONDO ANNO DI INGEGNERIA quindi prendimi con le molle e magari aspetta conferme più autorevoli
Praticamente diciamo che non esiste un modo immediato per calcolare i limiti (almeno per me povero studente di ingengeria); praticamente di solito io ho verificato la veridicità dei limiti: cioè ad esempio questo limite esiste e fa effettivamente 0?
I principali metodi che conosco sono o l'applciazione proprio della definizione di limite oppure applicare il fatto che il limite, sempre per definizione deve essere verificato in un intorno circolare del punto, e quindi in particolare il limite deve esistere uguale lungo ogni curva che passa per il punto di accumulazione; praticamente si calcola il limite di $f(x,f(x))$ dove per $f(x)$ si può provare dapprima a prendere le rette $mx$ poi le parabole $mx^2$ e così via. se si ottiene un valore unico allora si può pensare che il limtie sia proprio quello e si può procedere a verificare applicando la definizone, se vengono valori diversi o comunque dipendenti da un parametro m si può concludere che il limtie non esiste.
Per verificare la veridicità di un limtie applciando la definizione io procedo così:
tenendo presente sempre la definizione io voglio far vedere che $|f(x)-l|<=e$ per ogni punto interno ad un intorno di ampiezza fissata ovvero per ogni punto che soddisfa $0<((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)^(1/2)
Nel caso particolare da te proposto se si pone $k=mh$ si ottiene lim per $(h,mh)$ che tende a $(0,0)$ di $((|m|h^2)^(1/2)/((h^2+m^2h^2)^(1/2)))=(((|m|)^(1/2))/((1+m^2)^(1/2)))$ che è un valore chiaramente dipendente da m e quindi posssiamo concludere che tale limtie non esiste.
COMUNQUE SONO UNO STUDENTE AL SECONDO ANNO DI INGEGNERIA quindi prendimi con le molle e magari aspetta conferme più autorevoli
Tutto corretto quanto detto da Feliciano, vorrei solo suggerire una piccola furbizia per fare prima a dimostrare che quel limite non esiste. Se chiamiamo $f(h,k):=\frac{sqrt(|hk|)}{sqrt(h^2+k^2)}$, vediamo subito che per $h=0$ questa funzione si annulla e perciò lungo questo asse la funzione tende a zero. Per quello che diceva Feliciano se troviamo una curva $gamma(t)$ per cui $f(gamma(t))$ resta discosto da zero in un intorno dell'origine il limite non esiste. Senza fare tanto chiasso, basta prendere $k=h$ (La bisettrice del 1° - 3° quadrante). Infatti lungo questa retta $f(h,h)=1/2$ costantemente.
appunti di topologia in $R^n$ per capire meglio tutta sta faccenda degli intorni?
su qualsiasi libro di analisi 2.
Oppure forse sul sito c'è qualcosa.
Altrimenti riposta che cerco di allegare i miei appunti.
Oppure forse sul sito c'è qualcosa.
Altrimenti riposta che cerco di allegare i miei appunti.
vorrei più che altro che ci fossero delle figure, così capirei meglio, maledetto analisi II ad ingegneria
cmq se me li posti sarebbe un piacere
cmq se me li posti sarebbe un piacere
la funzione di base era $f(x,y)= sqrt(|xy|)$ allora il truco di imporre k=mh anche a me è venuto lo stesso, ma nn dovrei applicarlo alla funzione di base e non al limite?
raga scusate ho sta funzione $f(x,y)= (1-cosxy)/(x^4+y^4)$, quando faccio $y=mx=
$(1-cos mx^2)/(x^4+m^4x^4)= (1-cos mx^2)/(mx^2)^2 *(m^2)/(1+m^4)$ con $x->0$ perkè il libro dice che fa $1/2*(m^2)/(1+m^4)$ com'è venuto fuori 1/2?
raga scusate ho sta funzione $f(x,y)= (1-cosxy)/(x^4+y^4)$, quando faccio $y=mx=
$(1-cos mx^2)/(x^4+m^4x^4)= (1-cos mx^2)/(mx^2)^2 *(m^2)/(1+m^4)$ con $x->0$ perkè il libro dice che fa $1/2*(m^2)/(1+m^4)$ com'è venuto fuori 1/2?
1/2 è venuto fuori dal limite notevole $(1-cos\ x)/(x^2)\to1/2$ per $x\to0$.
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