Limite particolare con arcotangente...

[Frizzi1]

Allora mi scuso se non scrivo nella forma corretta richiesta dal sito, sono nuovo.. Poi volevo sapere come si può calcolare questo limite con x che tende a +infinito (pgrecox-2xarcotang 3x) .. se al posto di arcotang 3x applico Maclaurin in 0 e semplifico il tutto??? Non avrebbe senso? ho messo in evidenza x ,ma il limite rimane nella forma indeterminata --infinito zero...Attendo qualche aiuto grazie...

[Seneca1]

La formula di MacLaurin non si può usare se l'argomento dell'arcotangente non ha limite $0$ per $x -> +oo$. Poco male, perché vale la seguente identità:

\[ \displaystyle \arctan(x) + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} , \text{per } x > 0 \]
da cui:
\[ \displaystyle \arctan(x) = - \arctan \frac{1}{x} + \frac{\pi}{2} \]

[Frizzi1]

Quindi in definitiva il limite dovrebbe risultare uguale a +infinito???

[m92c]

Per risolvero potresti sfruttare la relazione [tex]arctan (x) + arctan (\dfrac{1}{x}) = \dfrac{\pi}{2}[/tex], da cui [tex]\dfrac{\pi}{2} - arctan (x) = arctan(1/x)[/tex]
Quindi ti risulta:
[tex]\lim _{x \rightarrow + \infty} \dfrac{2x}{2} ( \pi - 2arctan 3x ) = \lim _{x \rightarrow + \infty} 2xarctan \dfrac{1}{3x}[/tex]

Dal momento che [tex]arctan \dfrac{1}{3x} \sim _{+\infty} \dfrac{1}{3x}[/tex], allora il limite fa 2/3.

[Frizzi1]

ho capito grazie mille a entrambi