Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..
Salve,
Vorrei avere una conferma da voi altri.
Se dico che:
Non tutti i limiti notevoli sono delle equivalenze asintotiche (tutti quelli che non risultano 1), sto dicendo una castroneria?
Tutti gli altri che risultano != 1, come quello di nepero, o quello con il coseno da dove derivano?
Perdonatemi la banalità della questione.
Un altra cosa per favore. Aiutatemi a capire meglio questa affermazione:
Vorrei avere una conferma da voi altri.
Se dico che:
Non tutti i limiti notevoli sono delle equivalenze asintotiche (tutti quelli che non risultano 1), sto dicendo una castroneria?
Tutti gli altri che risultano != 1, come quello di nepero, o quello con il coseno da dove derivano?
Perdonatemi la banalità della questione.
Un altra cosa per favore. Aiutatemi a capire meglio questa affermazione:
Risposte
Riguardo al limite di nepero si dimostra che la successione $(1+1/n)^n$ converge poiché monotona cresce e si definisce il suo limite come ‘$e$’
Per ‘quello con il coseno’ deriva da ‘quello del seno’
$lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=lim_(x->0)[(1-cosx)(1+cosx)]/x^2*1/(1+cosx)$
$=lim_(x->0)(1-cos^2x)/x^2*1/(1+cosx)$
$=lim_(x->0)(sinx/x)^2*1/(1+cosx)$
Riesci a vedere quanto viene?
Per ‘quello con il coseno’ deriva da ‘quello del seno’
$lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=lim_(x->0)[(1-cosx)(1+cosx)]/x^2*1/(1+cosx)$
$=lim_(x->0)(1-cos^2x)/x^2*1/(1+cosx)$
$=lim_(x->0)(sinx/x)^2*1/(1+cosx)$
Riesci a vedere quanto viene?
Ok molto interessante grazie, puoi aiutarmi invece a capire la frase che ho riportato?
Ciao rossiii,
Non mi pare che la frase che hai riportato costituisca un fulgido esempio di chiarezza, ma la interpreto così:
siccome a numeratore c'è una differenza, ciò potrebbe indurre a sospettare che vi siano cancellazioni negli sviluppi in serie fra termini dello stesso ordine. D'altronde la verità è che, osservando il limite proposto e conoscendo i limiti notevoli principali, non credo che ad alcun individuo con un minimo di buon senso possa venire in mente di considerare $ sqrt{x} + 1 $ e poi sottrarre $cos(x) $, proprio perché (quasi) tutti hanno ben presente il limite notevole
$lim_{x \to 0} frac{1 - cos(x)}{x^2} = 1/2 \implies 1 - cos(x) $[tex]\sim[/tex] $ frac{x^2}{2} $ per $x \to 0 $
Perciò per il limite proposto
$ lim_{x \to 0} frac{sqrt{x} + 1 - cos(x)}{2 sqrt{x} + sin(x)} $
avrei fatto così:
N) a numeratore c'è un infinitesimo di ordine $1/2 $ (cioè $ sqrt{x} $) ed uno di ordine $2 $ (cioè $ 1 - cos(x)$): sopravvive quello di ordine $1/2 $;
D) a denominatore c'è un infinitesimo di ordine $1/2 $ (cioè $ sqrt{x} $) ed uno di ordine $1 $ (cioè $ sin(x)$): sopravvive quello di ordine $1/2 $
Perciò si ha:
$ lim_{x \to 0} frac{sqrt{x} + 1 - cos(x)}{2 sqrt{x} + sin(x)} = lim_{x \to 0} frac{sqrt{x}}{2 sqrt{x}} = 1/2 $
"rossiii":
puoi aiutarmi invece a capire la frase che ho riportato?
Non mi pare che la frase che hai riportato costituisca un fulgido esempio di chiarezza, ma la interpreto così:
siccome a numeratore c'è una differenza, ciò potrebbe indurre a sospettare che vi siano cancellazioni negli sviluppi in serie fra termini dello stesso ordine. D'altronde la verità è che, osservando il limite proposto e conoscendo i limiti notevoli principali, non credo che ad alcun individuo con un minimo di buon senso possa venire in mente di considerare $ sqrt{x} + 1 $ e poi sottrarre $cos(x) $, proprio perché (quasi) tutti hanno ben presente il limite notevole
$lim_{x \to 0} frac{1 - cos(x)}{x^2} = 1/2 \implies 1 - cos(x) $[tex]\sim[/tex] $ frac{x^2}{2} $ per $x \to 0 $
Perciò per il limite proposto
$ lim_{x \to 0} frac{sqrt{x} + 1 - cos(x)}{2 sqrt{x} + sin(x)} $
avrei fatto così:
N) a numeratore c'è un infinitesimo di ordine $1/2 $ (cioè $ sqrt{x} $) ed uno di ordine $2 $ (cioè $ 1 - cos(x)$): sopravvive quello di ordine $1/2 $;
D) a denominatore c'è un infinitesimo di ordine $1/2 $ (cioè $ sqrt{x} $) ed uno di ordine $1 $ (cioè $ sin(x)$): sopravvive quello di ordine $1/2 $
Perciò si ha:
$ lim_{x \to 0} frac{sqrt{x} + 1 - cos(x)}{2 sqrt{x} + sin(x)} = lim_{x \to 0} frac{sqrt{x}}{2 sqrt{x}} = 1/2 $
Grazie mille piloeffe.
Tornando alla prima questione invece, è giusto dire che non tutti i limiti notevoli sono equivalenze asintotiche giusto?
Tornando alla prima questione invece, è giusto dire che non tutti i limiti notevoli sono equivalenze asintotiche giusto?
"rossiii":
Grazie mille pilloeffe.
Prego!
"rossiii":
è giusto dire che non tutti i limiti notevoli sono equivalenze asintotiche giusto?
Non mi entusiasma il termine "equivalenze asintotiche" e non mi è molto chiaro a cosa ti serva in pratica questo tipo di affermazione, comunque non si riescono a trovare stime asintotiche se il risultato del limite è $0 $, non diverso da $1 $, ma conosco un solo limite notevole che fra l'altro non si usa praticamente mai:
$ lim_{x \to 0} frac{1 - cos(x)}{x} = 0 $
In tutti gli altri casi in cui il risultato del limite è un numero diverso da $ 0 $ per $ x \to 0 $ si hanno le stime asintotiche seguenti:
\begin{equation*}
\boxed{\sin(x) \sim x\\
1 - \cos(x) \sim \frac{1}{2}x^2\\
e^x - 1 \sim x\\
\ln(1 + x) \sim x\\
(1 + x)^p - 1 \sim p x\\}
\end{equation*}
che si generalizzano per $f(x) \to 0 $ (non ha importanza a cosa tende $x$) nelle seguenti:
\begin{equation*}
\boxed{\sin f(x) \sim f(x)\\
1 - \cos f(x) \sim \frac{1}{2}[f(x)]^2\\
e^{f(x)} - 1 \sim f(x)\\
\ln[1 + f(x)] \sim f(x)\\
[1 + f(x)]^p - 1 \sim p f(x)\\}
\end{equation*}
Perfetto, ma non ho ancora dissipato tutti i miei dubbi. Puoi allora definirmi la differenza tra "stima asintotica" ed "equivalenza asintotica"?
Io so che per la seconda è tale se il limite del rapporto di due funzioni al tendere di \(\displaystyle x \) in \(\displaystyle x_0 \), è 1. Questo significa ad esempio che se \(\displaystyle x_0 \) è \(\displaystyle +\infty \) allora le due funzioni andranno a \(\displaystyle +\infty \) alla stessa "velocità", perché governate appunto, da un rapporto 1:1, dico bene o sto facendo un po di confusione?
Mentre cosa si intende si "stima asintotica"?
E' giusto dire allora che tutti i limiti notevoli sono stime asintotiche?
Poi un ultima cosa:
Quale sarebbe la stima che viene fatta con il limite di nepero?
Io so che per la seconda è tale se il limite del rapporto di due funzioni al tendere di \(\displaystyle x \) in \(\displaystyle x_0 \), è 1. Questo significa ad esempio che se \(\displaystyle x_0 \) è \(\displaystyle +\infty \) allora le due funzioni andranno a \(\displaystyle +\infty \) alla stessa "velocità", perché governate appunto, da un rapporto 1:1, dico bene o sto facendo un po di confusione?
Mentre cosa si intende si "stima asintotica"?
E' giusto dire allora che tutti i limiti notevoli sono stime asintotiche?
Poi un ultima cosa:
Quale sarebbe la stima che viene fatta con il limite di nepero?
Sono profondamente d'accordo con pilloeffe e mi fa piacere che su questo forum ci sia gente così.
Se uno *usa* la matematica, si accorge che l'importante nella realtà sono gli sviluppi di Taylor, che andrebbero appresi come riflessi condizionati.
Non mi entusiasma il termine "equivalenze asintotiche" e non mi è molto chiaro a cosa ti serva in pratica questo tipo di affermazioneSono ricettine da scuola superiore che purtroppo si propagano ad una velocità prossima a quella della luce. Ci vuole gente che ha un minimo di visione *reale* della matematica, non studenti che danno ripetizioni o gente impreparata che insegna, per eradicare queste cose.
Se uno *usa* la matematica, si accorge che l'importante nella realtà sono gli sviluppi di Taylor, che andrebbero appresi come riflessi condizionati.
"dissonance":
Sono profondamente d'accordo con pilloeffe e mi fa piacere che su questo forum ci sia gente così.
Ti ringrazio tantissimo dissonance, questa cosa che hai scritto mi piace molto: scritta poi da uno in gamba come te ancora di più...
@ rossiii:
ti spiego perché personalmente non mi piace il termine "equivalenza asintotica", che comunque si può trovare sui libri eh, intendiamoci (alcuni dei quali fra l'altro ho anch'io...
) perché è strettamente connesso a quello che ha scritto dissonance. Il termine equivalenza deriva dal tardo latino aequivalere, composto da aequus, cioè "uguale", e valere cioè "aver valore": ora, se penso per farti un esempio alla funzione $sin x$, per me essa "ha valore uguale" al proprio sviluppo di Taylor. Se comincio a fare delle stime, il che significa trascurare alcuni dei termini dello sviluppo in serie, peggioro la situazione; se poi mi fermo al primo ordine, cioè a $x$, sono in prima approssimazione. Quindi, anche se mi rendo conto che possa fare molto figo scrivere [tex]\sin x \sim x[/tex], in effetti sto scrivendo la peggiore stima possibile, stima che fra l'altro nei casi in cui si hanno cancellazioni non mi consente di risolvere il limite proposto: puoi trovare molti esempi di ciò che ti sto scrivendo su questo stesso forum, non solo fra i miei post ma anche fra quelli di molti altri. I limiti notevoli sono anch'essi approssimazioni al primo ordine: qualche volta sono sufficienti a risolvere i limiti proposti, ma qualche altra non bastano... Concludo dicendo che lo strumento principe per la risoluzione dei limiti sono gli sviluppi di Taylor: poi per carità, anch'io appena posso faccio uso dei limiti notevoli perché comunque sono più semplici...
"rossiii":
Quale sarebbe la stima che viene fatta con il limite di nepero?
Se ne è discusso ad esempio qui, ma non è che si usi un gran che:
$ lim_{n \to +\infty} n [e-(1+\frac{1}{n})^n] = e/2 $
Quindi si ha:
$ e-(1+\frac{1}{n})^n $[tex]\sim[/tex]$ frac{e}{2n} \qquad $ per $n \to +infty $
Fermo restando che Taylor sia l'approccio migliore, non sono d'accordo sulla disquisizione in merito all'utilizzo di 'equivalenza asintotica'. Secondo me c'è ben altro dietro questa frase e non si riduce banalmente alla sua etimologia
basta considerare l'insieme $RR^X:={f:X->RR | f$ \( \mathrm{funzione} \)$}$
se si considera di seguito l'insieme delle funzioni che si annullano in un punto e che si mantengono lontano da zero in almeno un suo intorno, la 'equivalenza asintotica' è di fatto una relazione di equivalenza, quindi non mi sembra così inutile.
basta considerare l'insieme $RR^X:={f:X->RR | f$ \( \mathrm{funzione} \)$}$
se si considera di seguito l'insieme delle funzioni che si annullano in un punto e che si mantengono lontano da zero in almeno un suo intorno, la 'equivalenza asintotica' è di fatto una relazione di equivalenza, quindi non mi sembra così inutile.
Ciao anto_zoolander,
Naturalmente, ma devi calarti nel contesto... Occhio che non ho scritto che il termine "equivalenza asintotica" sia inutile o errato, ci mancherebbe altro, ho solo scritto che non mi piace e non mi piace in quello specifico contesto lì, ed il motivo per il quale non mi piace non è certo etimologico, ma è perché può essere fuorviante. Per darti un'idea di cosa può accadere (ed in effetti è accaduto): ho visto gente che nello svolgere uno specifico esercizio sostituiva allegramente $sin x $ con $x$, salvo poi non capire perché l'esercizio non gli risultava, giustificando il loro operato con un "lo dice l'equivalenza asintotica" un po' come una volta un fatto doveva per forza essere vero perché "lo dice la TV"...
Poi è chiaro che se invece la si utilizza conoscendone i limiti, cioè con la reale consapevolezza di ciò che si sta facendo, allora va tutto bene...
Naturalmente, ma devi calarti nel contesto... Occhio che non ho scritto che il termine "equivalenza asintotica" sia inutile o errato, ci mancherebbe altro, ho solo scritto che non mi piace e non mi piace in quello specifico contesto lì, ed il motivo per il quale non mi piace non è certo etimologico, ma è perché può essere fuorviante. Per darti un'idea di cosa può accadere (ed in effetti è accaduto): ho visto gente che nello svolgere uno specifico esercizio sostituiva allegramente $sin x $ con $x$, salvo poi non capire perché l'esercizio non gli risultava, giustificando il loro operato con un "lo dice l'equivalenza asintotica" un po' come una volta un fatto doveva per forza essere vero perché "lo dice la TV"...
Poi è chiaro che se invece la si utilizza conoscendone i limiti, cioè con la reale consapevolezza di ciò che si sta facendo, allora va tutto bene...
"anto_zoolander":
basta considerare l'insieme $RR^X:={f:X->RR | f$ \( \mathrm{funzione} \)$}$
se si considera di seguito l'insieme delle funzioni che si annullano in un punto e che si mantengono lontano da zero in almeno un suo intorno, la 'equivalenza asintotica' è di fatto una relazione di equivalenza, quindi non mi sembra così inutile.
Anto, possiamo definire tonnellate di relazioni di equivalenza su qualsiasi insieme. Questo potrebbe essere eccitante per i primi dieci minuti, poi stufa. Devi darmi una conseguenza di questa relazione di equivalenza, una applicazione di qualsiasi tipo, per convincermi che sia davvero utile, altrimenti non vedo perché dovrei dedicarle la mia attenzione.
Questo mi ricorda un talk di un giapponese, Matano, un nome piuttosto conosciuto nel campo delle equazioni paraboliche. Puoi anche leggere il riassunto qui: https://www.math.univ-paris13.fr/laga/i ... um-du-laga (cerca "MATANO"). Il talk era centrato su dei concetti astratti, spazi metrici ordinati, mappe monotone, questo genere di cose un po' strane. Alla fine, durante le domande, uno studente alza la mano e dice "perché hai fatto tutto sugli spazi metrici? Potevi farlo sugli spazi topologici". Matano ha risposto: "Certo, avrei potuto farlo e se vuoi possiamo farlo. Ma mi devi dare un motivo valido".
Questa è un po' la stessa cosa della tua domanda. Il semplice fatto di ottenere una relazione di equivalenza, come il semplice fatto di avere formulato un teorema nel contesto più generale degli spazi topologici, non è sufficiente a motivare una costruzione. Specialmente in presenza di una obiezione forte e precisa come quella di pilloeffe.
Grazie a tutti ragazzi mi state aiutando a rimettere in ordine un po le idee.
Lungi da me era creare una discussione sul corretto uso dei tecnicismi matematici e ancor più sulle politiche adottate in testi e nei luoghi di insegnamento, però vorrei riportare la questione alla sua veste originale:
La mia domanda nasce dal fatto di essermi imbattuto PIU VOLTE in frasi come quelle che ho riportato in primo post, cito:
"..puoi sicuramente procedere con le equivalenze asintotiche dei limiti notevoli.."
che però mi cozzava con la definizione di "equivalenza asintotica" ed i limiti notevoli conosciuti (non tutti sono = 1, appunto).
Da qui i miei mille dubbi a cascata.
Ora quindi vorrei fare il punto della situazione e riavvolgere un po il nastro:
1) Che cos'è una stima asintotica?
2) Come si ottiene una stima asintotica? Ossia perché posso dire che $sin(x)$ (non so fare la tilde) $x$ per $x->0$?
Perché il loro rapporto è != da $0$? Ma allora ci sono molte altre funzioni diverse da $x$ per cui questo è vero, $x$ da dove viene?
3) Che legame c'è tra stima asintotica e equivalenza asintotica? Che sia una il caso particolare dell'altra?
4) Un ultima domanda un po più pratica: Se durante lo svolgimento di un limite, mi imbattessi ad esempio in un termine così esplicito come $sin(x)/x$, quand'è che allora lo posso considerare $= 1$ e quando lo devo stimare con $x$?
Io mi scuso in anticipo se sto facendo delle domande stupide, ma vi chiedo comunque sia di rispondermi anche nel caso lo fossero veramente perché ho bisogno di dissipare tutti i miei dubbi e non ho nessuna intenzione di ripetere Analisi1 per la 6 volta. Grazie a tutti per la pazienza.
@pilloeffe
Faccio fatica a riconoscere il limite notevole di nepero in quello riportato da te.
Tutte le funzioni poste al numeratore nei limiti notevoli sono stimabili con il risultato + la funzione posta al denominatore.
Il limite di Nepero è un eccezione alla regola?
E ancora un'altra cosa:
Ho capito il perché un termine sopravvive rispetto ad un altro ma, come sei riuscito ad avere queste conclusione così rapide sugli infinitesimi?
(più che altro non ho capito come fai a dire che $ 1 - cos(x)$ sia un infinitesimo di ordine $2$ e $sin(x)$ di ordine $1$) che c'entri lo sviluppo di Taylor?
Lungi da me era creare una discussione sul corretto uso dei tecnicismi matematici e ancor più sulle politiche adottate in testi e nei luoghi di insegnamento, però vorrei riportare la questione alla sua veste originale:
La mia domanda nasce dal fatto di essermi imbattuto PIU VOLTE in frasi come quelle che ho riportato in primo post, cito:
"..puoi sicuramente procedere con le equivalenze asintotiche dei limiti notevoli.."
che però mi cozzava con la definizione di "equivalenza asintotica" ed i limiti notevoli conosciuti (non tutti sono = 1, appunto).
Da qui i miei mille dubbi a cascata.
Ora quindi vorrei fare il punto della situazione e riavvolgere un po il nastro:
1) Che cos'è una stima asintotica?
2) Come si ottiene una stima asintotica? Ossia perché posso dire che $sin(x)$ (non so fare la tilde) $x$ per $x->0$?
Perché il loro rapporto è != da $0$? Ma allora ci sono molte altre funzioni diverse da $x$ per cui questo è vero, $x$ da dove viene?
3) Che legame c'è tra stima asintotica e equivalenza asintotica? Che sia una il caso particolare dell'altra?
4) Un ultima domanda un po più pratica: Se durante lo svolgimento di un limite, mi imbattessi ad esempio in un termine così esplicito come $sin(x)/x$, quand'è che allora lo posso considerare $= 1$ e quando lo devo stimare con $x$?
Io mi scuso in anticipo se sto facendo delle domande stupide, ma vi chiedo comunque sia di rispondermi anche nel caso lo fossero veramente perché ho bisogno di dissipare tutti i miei dubbi e non ho nessuna intenzione di ripetere Analisi1 per la 6 volta. Grazie a tutti per la pazienza.
@pilloeffe
Faccio fatica a riconoscere il limite notevole di nepero in quello riportato da te.
Tutte le funzioni poste al numeratore nei limiti notevoli sono stimabili con il risultato + la funzione posta al denominatore.
Il limite di Nepero è un eccezione alla regola?
E ancora un'altra cosa:
"pilloeffe":
N) a numeratore c'è un infinitesimo di ordine $1/2 $ (cioè $ sqrt{x} $) ed uno di ordine $2 $ (cioè $ 1 - cos(x)$): sopravvive quello di ordine $1/2 $;
D) a denominatore c'è un infinitesimo di ordine $1/2 $ (cioè $ sqrt{x} $) ed uno di ordine $1 $ (cioè $ sin(x)$): sopravvive quello di ordine $1/2 $
Ho capito il perché un termine sopravvive rispetto ad un altro ma, come sei riuscito ad avere queste conclusione così rapide sugli infinitesimi?
(più che altro non ho capito come fai a dire che $ 1 - cos(x)$ sia un infinitesimo di ordine $2$ e $sin(x)$ di ordine $1$) che c'entri lo sviluppo di Taylor?
@dissonance @piloeffe
Grazie @dissonance. Mi farebbe piacere comunque se potessi rispondere punto per punto alle domande di sopra (anche se mi rendo conto che magari è troppa roba).
Vediamo se riesco a sintetizzare l'intera questione con qualche esempio banale:
Allora:
Consideriamo il limite:
$\lim_{x\to0} (\frac{2}{3} - \frac{sin(x)}{x})$
stima o limite notevole? Perché?
Poi, se è vero che tutti i limiti notevoli quando non suggeriscono un "equivalenza asintotica", suggeriscono una stima, un limite del tipo:
$\lim_{x\to+\infty} (1 + \frac{1}{f(x)})^{f(x)g(x)}$
che io risolverei:
$\lim_{x\to+\infty} (e^{g(x)}) = e^{\lim_{x\to+\infty} (g(x)})$
con cosa potrei stimare $(1 + \frac{1}{f(x)})^{f(x)}$?
Vediamo se riesco a sintetizzare l'intera questione con qualche esempio banale:
Allora:
Consideriamo il limite:
$\lim_{x\to0} (\frac{2}{3} - \frac{sin(x)}{x})$
stima o limite notevole? Perché?
Poi, se è vero che tutti i limiti notevoli quando non suggeriscono un "equivalenza asintotica", suggeriscono una stima, un limite del tipo:
$\lim_{x\to+\infty} (1 + \frac{1}{f(x)})^{f(x)g(x)}$
che io risolverei:
$\lim_{x\to+\infty} (e^{g(x)}) = e^{\lim_{x\to+\infty} (g(x)})$
con cosa potrei stimare $(1 + \frac{1}{f(x)})^{f(x)}$?
Il simbolo \(\sim\) ha un significato ben preciso che devi trovare sul tuo libro. Il suo uso in pratica è sconsigliato, come dice pilloeffe. Nel dubbio, sempre affidarsi a poche regole precise: l'algebra dei limiti, la formula di Taylor e i limiti notevoli. Non c'è altro da sapere.
So cosa significa \(\displaystyle \sim \) semplicemente non riesco a trovare una definizione che distingua questo concetto dal concetto di "equivalenza asintotica". (definizione che ho gentilmente provato a chiedere qui).
Non capisco perché abbiate snobbato le mie domande, riconosco che per voi possano sembrare stupide e/o ingenue, ma il forum nasce anche per gente un po più ottusa come me, o no? O serve soltanto a dare la pappa pronta all'utente di turno riguardo un esercizio?
Ho capito che non tutti i limiti notevoli sono "equivalenze asintotiche". L'ho capito da solo, ben prima di venire qui.
Sono qui invece per cercare una risposta ad un'altra domanda, figlia della prima, ossia:
I limiti notevoli che non sono "equivalenze asintotiche", cos'altro sono? Sono tutte "stime asintotiche" come mi ha detto l'utente @pilloeffe? Ne dubito in quanto il limite notevole di Nepero non sembra rispondere alla regola (in quanto già non si presenta come un rapporto).
Se si, quale dovrebbe essere la differenza tra stima ed equivalenza? soltanto il risultato del rapporto? (credo di si ma gradirei una conferma).
Debbo dedurre quindi che ogni limite notevole suggerisca una stima della funzione posta al numeratore? Se si, ancora, con cosa potrei stimare il limite di Nepero? (ad esempio se il $sin(x)$ è stimabile con il denomintaore ossia $x$, $1-cos(x)$ è stimabile con il denominatore $x^2$ $.$ $\frac{1}{2}$, qual'è l'equivalente di questo ragionamento con il limite di Nepero?)
Non credo che stia facendo domande così allucinanti, o dalla risposta impossibile.
Ora, ammetto che arrivati a questo punto io abbia anche dimenticato il motivo per cui mi sia posto questo genere di domande, ma le domande sono li, gli esempi anche, non vedo perché ignorarle o snobbarle in questo modo.
Accetto il tuo contributo ma io non ho voglia di ignorare la questione, fintato che qualcuno non mi scriva che servano conoscenze ben più profonde di quelle basi, e fintanto che il concetto di stima/equivalenza asintotica/ordini di infinito-infinitesimo mi si presenta nei testi d'esame.
EDIT: Della serie chi fa da sè fa per tre.
Lascio qui il link nella speranza di poter aiutare chiunque si imbattesse in dubbi simili ai miei. La maggior parte delle domande trovano risposta a questo link: https://bit.ly/2Kc91T9
Ricordo che la stima suggerita da un limite notevole si ferma soltanto al primo ordine utile (1° o 2° ordine), e che per molti esercizi vengono richieste stime più precise ottenibili con gli sviluppi.
Spero di aver fatto cosa gradita.
Non capisco perché abbiate snobbato le mie domande, riconosco che per voi possano sembrare stupide e/o ingenue, ma il forum nasce anche per gente un po più ottusa come me, o no? O serve soltanto a dare la pappa pronta all'utente di turno riguardo un esercizio?
Ho capito che non tutti i limiti notevoli sono "equivalenze asintotiche". L'ho capito da solo, ben prima di venire qui.
Sono qui invece per cercare una risposta ad un'altra domanda, figlia della prima, ossia:
I limiti notevoli che non sono "equivalenze asintotiche", cos'altro sono? Sono tutte "stime asintotiche" come mi ha detto l'utente @pilloeffe? Ne dubito in quanto il limite notevole di Nepero non sembra rispondere alla regola (in quanto già non si presenta come un rapporto).
Se si, quale dovrebbe essere la differenza tra stima ed equivalenza? soltanto il risultato del rapporto? (credo di si ma gradirei una conferma).
Debbo dedurre quindi che ogni limite notevole suggerisca una stima della funzione posta al numeratore? Se si, ancora, con cosa potrei stimare il limite di Nepero? (ad esempio se il $sin(x)$ è stimabile con il denomintaore ossia $x$, $1-cos(x)$ è stimabile con il denominatore $x^2$ $.$ $\frac{1}{2}$, qual'è l'equivalente di questo ragionamento con il limite di Nepero?)
Non credo che stia facendo domande così allucinanti, o dalla risposta impossibile.
Ora, ammetto che arrivati a questo punto io abbia anche dimenticato il motivo per cui mi sia posto questo genere di domande, ma le domande sono li, gli esempi anche, non vedo perché ignorarle o snobbarle in questo modo.
Accetto il tuo contributo ma io non ho voglia di ignorare la questione, fintato che qualcuno non mi scriva che servano conoscenze ben più profonde di quelle basi, e fintanto che il concetto di stima/equivalenza asintotica/ordini di infinito-infinitesimo mi si presenta nei testi d'esame.
EDIT: Della serie chi fa da sè fa per tre.
Lascio qui il link nella speranza di poter aiutare chiunque si imbattesse in dubbi simili ai miei. La maggior parte delle domande trovano risposta a questo link: https://bit.ly/2Kc91T9
Ricordo che la stima suggerita da un limite notevole si ferma soltanto al primo ordine utile (1° o 2° ordine), e che per molti esercizi vengono richieste stime più precise ottenibili con gli sviluppi.
Spero di aver fatto cosa gradita.
Il fatto è che, secondo me, la cosa non merita tanta attenzione. Si tratta di un concetto che fa parte di certa matematica di tipo scuola superiore, un bagaglio che evidentemente ti sta facendo confondere, cosa del tutto normale. Rivediamo la definizione, cosa che mi pare nessuno abbia fatto finora:
Definizione. Nell'ipotesi che \(f\) e \(g\) siano non nulle in un intorno di \(x_0\),
\[
f(x)\sim g(x), \quad x\to x_0 \ \iff\ \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1.\]
L'uso di questa "relazione d'equivalenza" (come dice anto) è limitato allo studio del limite di prodotti (e quozienti). Il motivo è incredibilmente banale: nell'ipotesi che \(f(x)\sim g(x)\) come sopra, si ha che
\[
\lim_{x\to x_0} f(x)h(x)= \lim_{x\to x_0} g(x)h(x), \]
nell'ipotesi che uno dei due limiti esista, nel qual caso esisterà anche l'altro. La dimostrazione di questo fatto è immediata: si tratta di moltiplicare e dividere. (A questo serve l'ipotesi che le due funzioni siano non nulle in un intorno di \(x_0\)).
Qui finisce la teoria delle "equivalenze asintotiche". A volte, si dice che \(f(x)\sim g(x)\) se il limite del rapporto esiste finito ed è uguale a un numero diverso da \(0\), conformemente al fatto che si tratta di una definizione poco importante e che quindi ciascuno se la modella come preferisce. In ogni caso, che il limite sia \(1\) o un altro numero non nullo non cambia nulla dal punto di vista qualitativo.
Ad aggravare la situazione ci pensa il fatto che l'uso della relazione \(\sim\) per sostituire addendi in una somma porta ad errori: si veda il "risultato" \(\lim_{n\to\infty} (n+1)^2 -n^2 =0!!!\) del link di un mio post precedente.
Spero stavolta di avere meglio chiarito i tuoi dubbi. Non sto ignorando le tue domande, sto semplicemente cercando di mettere nella giusta luce un concetto a mio avviso sopravvalutato. Dall'intervento di pilloeffe, ottimo, vedo che siamo d'accordo su questo punto e la cosa mi conforta molto.
Definizione. Nell'ipotesi che \(f\) e \(g\) siano non nulle in un intorno di \(x_0\),
\[
f(x)\sim g(x), \quad x\to x_0 \ \iff\ \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1.\]
L'uso di questa "relazione d'equivalenza" (come dice anto) è limitato allo studio del limite di prodotti (e quozienti). Il motivo è incredibilmente banale: nell'ipotesi che \(f(x)\sim g(x)\) come sopra, si ha che
\[
\lim_{x\to x_0} f(x)h(x)= \lim_{x\to x_0} g(x)h(x), \]
nell'ipotesi che uno dei due limiti esista, nel qual caso esisterà anche l'altro. La dimostrazione di questo fatto è immediata: si tratta di moltiplicare e dividere. (A questo serve l'ipotesi che le due funzioni siano non nulle in un intorno di \(x_0\)).
Qui finisce la teoria delle "equivalenze asintotiche". A volte, si dice che \(f(x)\sim g(x)\) se il limite del rapporto esiste finito ed è uguale a un numero diverso da \(0\), conformemente al fatto che si tratta di una definizione poco importante e che quindi ciascuno se la modella come preferisce. In ogni caso, che il limite sia \(1\) o un altro numero non nullo non cambia nulla dal punto di vista qualitativo.
Ad aggravare la situazione ci pensa il fatto che l'uso della relazione \(\sim\) per sostituire addendi in una somma porta ad errori: si veda il "risultato" \(\lim_{n\to\infty} (n+1)^2 -n^2 =0!!!\) del link di un mio post precedente.
Spero stavolta di avere meglio chiarito i tuoi dubbi. Non sto ignorando le tue domande, sto semplicemente cercando di mettere nella giusta luce un concetto a mio avviso sopravvalutato. Dall'intervento di pilloeffe, ottimo, vedo che siamo d'accordo su questo punto e la cosa mi conforta molto.
"rossiii":
Non capisco perché abbiate snobbato le mie domande, riconosco che per voi possano sembrare stupide e/o ingenue, ma il forum nasce anche per gente un po più ottusa come me, o no? O serve soltanto a dare la pappa pronta all'utente di turno riguardo un esercizio?
[...]
Non credo che stia facendo domande così allucinanti, o dalla risposta impossibile.
Ora, ammetto che arrivati a questo punto io abbia anche dimenticato il motivo per cui mi sia posto questo genere di domande, ma le domande sono li, gli esempi anche, non vedo perché ignorarle o snobbarle in questo modo.
[...]
EDIT: Della serie chi fa da sè fa per tre.
Vedo che ti ho fatto arrabbiare. Non era mia intenzione, non te la prendere, per favore.
Mi sono arrabbiato dal momento in cui mi è stato detto di lasciar perdere.
Io mi sono anche scusato più volte di portare all'attenzione questione per voi così banali, ma non credevo banali tanto da non dover neanche essere considerate.
E poi detto francamente, perché dovrebbero essere banali? La stima asintotica è uno strumento che più volte il professore (Analisi1) ha usato, oltre al fatto che costituisce le fondamenta per gl'ordini di infinito/infinitesimo quindi non capisco proprio dove sia la banalità, che ci sia altro che mi sfugga?
Come non cambia? Prendiamo ad esempio il caso di $1-cos(x)$. Per ciò che hai scritto esso dovrebbe equivalere a $x^2$, ma questo è falso perché sappiamo essere equivalente a $\frac{1}{2}x^2$.
Quindi in linea di massima cambia eccome perché se il rapporto è diverso da $1$, la funzione $f(x)$ non sarà "equivalente" a $g(x)$ ma piuttosto sarà equivalente a $k * g(x)$, e questo cambia il risultato eccome!
Perché non scrivere la definizione come:
\[f(x)\sim k \cdot g(x), \quad x\to x_0 \ \iff\ \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=k \neq 0\]
Io mi sono anche scusato più volte di portare all'attenzione questione per voi così banali, ma non credevo banali tanto da non dover neanche essere considerate.
E poi detto francamente, perché dovrebbero essere banali? La stima asintotica è uno strumento che più volte il professore (Analisi1) ha usato, oltre al fatto che costituisce le fondamenta per gl'ordini di infinito/infinitesimo quindi non capisco proprio dove sia la banalità, che ci sia altro che mi sfugga?
"dissonance":
..A volte, si dice che \(f(x)\sim g(x)\) se il limite del rapporto esiste finito ed è uguale a un numero diverso da \(0\), conformemente al fatto che si tratta di una definizione poco importante e che quindi ciascuno se la modella come preferisce. In ogni caso, che il limite sia \(1\) o un altro numero non nullo non cambia nulla dal punto di vista qualitativo.
Come non cambia? Prendiamo ad esempio il caso di $1-cos(x)$. Per ciò che hai scritto esso dovrebbe equivalere a $x^2$, ma questo è falso perché sappiamo essere equivalente a $\frac{1}{2}x^2$.
Quindi in linea di massima cambia eccome perché se il rapporto è diverso da $1$, la funzione $f(x)$ non sarà "equivalente" a $g(x)$ ma piuttosto sarà equivalente a $k * g(x)$, e questo cambia il risultato eccome!
Perché non scrivere la definizione come:
\[f(x)\sim k \cdot g(x), \quad x\to x_0 \ \iff\ \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=k \neq 0\]
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