Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..
Salve,
Vorrei avere una conferma da voi altri.
Se dico che:
Non tutti i limiti notevoli sono delle equivalenze asintotiche (tutti quelli che non risultano 1), sto dicendo una castroneria?
Tutti gli altri che risultano != 1, come quello di nepero, o quello con il coseno da dove derivano?
Perdonatemi la banalità della questione.
Un altra cosa per favore. Aiutatemi a capire meglio questa affermazione:
Vorrei avere una conferma da voi altri.
Se dico che:
Non tutti i limiti notevoli sono delle equivalenze asintotiche (tutti quelli che non risultano 1), sto dicendo una castroneria?
Tutti gli altri che risultano != 1, come quello di nepero, o quello con il coseno da dove derivano?
Perdonatemi la banalità della questione.
Un altra cosa per favore. Aiutatemi a capire meglio questa affermazione:
Risposte
Per quello ti dicevo di riportare la definizione del tuo libro o del tuo professore, ma non lo hai mai fatto, e le ho considerate entrambe.
Quanto alla banalità, il mio messaggio non è che \(\sim\) è una cosa "banale", o che è troppo facile per me, o altre simili fesserie che non mi sogno neanche di pensare. Il messaggio del mio post precedente è che la teoria relativa alla relazione \(\sim\) è contenuta interamente nel mio post precedente. Si tratta quindi di una cosa che può essere ricostruita rapidamente partendo dalla sola definizione, invece che imparando le proprietà della relazione \(\sim\). Il mio consiglio è, quindi, quello di ragionare sempre direttamente sulla definizione, dando la precedenza all'algebra dei limiti, ai limiti notevoli e agli sviluppi di Taylor nella classificazione mentale degli strumenti destinati al calcolo dei limiti.
Quanto alla banalità, il mio messaggio non è che \(\sim\) è una cosa "banale", o che è troppo facile per me, o altre simili fesserie che non mi sogno neanche di pensare. Il messaggio del mio post precedente è che la teoria relativa alla relazione \(\sim\) è contenuta interamente nel mio post precedente. Si tratta quindi di una cosa che può essere ricostruita rapidamente partendo dalla sola definizione, invece che imparando le proprietà della relazione \(\sim\). Il mio consiglio è, quindi, quello di ragionare sempre direttamente sulla definizione, dando la precedenza all'algebra dei limiti, ai limiti notevoli e agli sviluppi di Taylor nella classificazione mentale degli strumenti destinati al calcolo dei limiti.
Quindi in linea di massima cambia eccomeCertamente. Ma non è un cambio così importante, nel senso che se due funzioni sono equivalenti nel senso "largo", allora a patto di riscalarne una esse saranno equivalenti nel senso "stretto". E' questo che intendevo quando parlavo di "qualitativamente".
Non l'ho fatto perché la definizione di stima asintotica non ce l'ho.
Ho solo la definzione di equivalenza asintotica che coincide con quanto scritto da te.
Io ragiona da studente, se mi si dice che i limiti notevoli sono equivalenze asintotiche e poi invece soltanto alcuni (seppur sono la maggior parte) si sposano con la definzione di equivalenza asintotica, due domande me le faccio (oltre al fatto che la presenza del limite di Nepero mischia ancor più le carte).
Se tu mi dici che due funzioni sono asintoticamente equivalente se il limiti per un punto del loro rapporto è 1 (così recita la definzione), poi mi dici che tutti i limiti notevoli sono equivalenze asintotiche, e poi io vado a controllare e mi trovo davanti il limite notevole con il coseno che è 1/2 e mi trovo davanti il limite notevole di Nepero che proprio sembra non ci azzecchi nulla, allora credo di avere il diritto di interrogarmi sulla questione.
Poi inoltre @pilloeffe mi ha parlato di STIMA asintotica e sono andato completamente nel pallone.
Per me da studente e profano le cose sono:
1) o quella definzione dice il falso.
2) o falso è il fatto che TUTTI i limiti notevoli siano delle equivalenze asintotiche.
3) o una definzione più chiara ed universale sarebbe quella sviluppata (con le mie evidenti doti da matematico di fama mondiale) da me. Se mi basassi su questa allora, ritornebbe il fatto che TUTTI i limiti notevoli (ad eccezione sempre del maledetto limite di Nepero) sono equivalenze asintotiche.
Come vedi sono nella più totale confusione ora
Per favore riportami sulla retta via!
Ho solo la definzione di equivalenza asintotica che coincide con quanto scritto da te.
Io ragiona da studente, se mi si dice che i limiti notevoli sono equivalenze asintotiche e poi invece soltanto alcuni (seppur sono la maggior parte) si sposano con la definzione di equivalenza asintotica, due domande me le faccio (oltre al fatto che la presenza del limite di Nepero mischia ancor più le carte).
Se tu mi dici che due funzioni sono asintoticamente equivalente se il limiti per un punto del loro rapporto è 1 (così recita la definzione), poi mi dici che tutti i limiti notevoli sono equivalenze asintotiche, e poi io vado a controllare e mi trovo davanti il limite notevole con il coseno che è 1/2 e mi trovo davanti il limite notevole di Nepero che proprio sembra non ci azzecchi nulla, allora credo di avere il diritto di interrogarmi sulla questione.
Poi inoltre @pilloeffe mi ha parlato di STIMA asintotica e sono andato completamente nel pallone.
Per me da studente e profano le cose sono:
1) o quella definzione dice il falso.
2) o falso è il fatto che TUTTI i limiti notevoli siano delle equivalenze asintotiche.
3) o una definzione più chiara ed universale sarebbe quella sviluppata (con le mie evidenti doti da matematico di fama mondiale) da me. Se mi basassi su questa allora, ritornebbe il fatto che TUTTI i limiti notevoli (ad eccezione sempre del maledetto limite di Nepero) sono equivalenze asintotiche.
Come vedi sono nella più totale confusione ora
Per favore riportami sulla retta via!
Eh, quando "l'analisi" all'università è nient'altro che matematica di quinta liceo, i problemi e i dubbi sono questi
I limiti...ma che si possono insegnare i limiti all'università... la sezione di analisi è diventata la sezione dei limiti notevoli.
[xdom="xdom"]@Vulplasir: Non mi pare il caso di scrivere cavolate simili. Se non ti piace un thread, non intervenire.
Uomo avvisato.[/xdom]
Uomo avvisato.[/xdom]
Ciao rossiii,
Caspita, vedo che in mia assenza il thread è stato visitato parecchio...
Provo a rispondere se non proprio a tutte almeno ad alcune delle tue domande.
Qui stai facendo il furbo: il limite di Nepero, se così lo vogliamo chiamare (il simbolo $e$ dovrebbe suggerirti che in realtà quel numero era già ben noto a Eulero), si riconosce benissimo...
Ok, allora faccio il furbo anch'io:
$ lim_{n \to \pm infty} frac{(1 + 1/n)^n}{e} = lim_{n \to \pm infty} frac{f(n)}{g(n)} = 1 \implies (1 + 1/n)^n $ [tex]\sim[/tex]$ e $ per $n \to \pm infty $
Limite notevole e stima asintotica. Si identifica con la definizione riportata sul tuo libro? Probabilmente sì.
Ti serve a qualcosa? Probabilmente no. Forse ti serve un po' di più quello che ti ho riportato nel mio post precedente.
Indifferente: puoi usare l'una o l'altro, il risultato è sempre $-1/3 $
Riguardati la definizione di infinitesimi dello stesso ordine. Non sono certo un fenomeno, in pratica ho solo usato ben noti limiti notevoli.
Già visto sopra:
$ lim_{f(x) \to \pm infty} frac{(1 + 1/f(x))^{f(x)}}{e} = lim_{f(x) \to \pm infty} frac{n(x)}{d(x)} = 1 \implies (1 + frac{1}{f(x)})^{f(x)} $ [tex]\sim[/tex]$ e $ per $f(x) \to \pm infty $
Anche i limiti notevoli che non risultano $1$ possono essere facilmente ricondotti alla definizione che probabilmente hai sul tuo testo. Esempi:
$ lim_{x \to 0} frac{1 - cos(x)}{x^2} = 1/2 \implies lim_{x \to 0} frac{1 - cos(x)}{x^2/2} = 1 \implies 1 - cos(x) $ [tex]\sim[/tex]$ 1/2 x^2 $ per $x \to 0 $
$ lim_{x \to 0} frac{(1 + x)^p - 1}{x} = p \implies lim_{x \to 0} frac{(1 + x)^p - 1}{px} = 1 \implies (1 + x)^p - 1 $[tex]\sim[/tex] $ p x $ per $x \to 0 $
Ciò detto, concordo con dissonance sul fatto che l'argomento non meriti così tanta importanza. Però se hai ancora qualche dubbio siamo qui...
Caspita, vedo che in mia assenza il thread è stato visitato parecchio...
Provo a rispondere se non proprio a tutte almeno ad alcune delle tue domande.
"rossiii":
Faccio fatica a riconoscere il limite notevole di nepero in quello riportato da te.
Qui stai facendo il furbo: il limite di Nepero, se così lo vogliamo chiamare (il simbolo $e$ dovrebbe suggerirti che in realtà quel numero era già ben noto a Eulero), si riconosce benissimo...
Ok, allora faccio il furbo anch'io:
$ lim_{n \to \pm infty} frac{(1 + 1/n)^n}{e} = lim_{n \to \pm infty} frac{f(n)}{g(n)} = 1 \implies (1 + 1/n)^n $ [tex]\sim[/tex]$ e $ per $n \to \pm infty $
Limite notevole e stima asintotica. Si identifica con la definizione riportata sul tuo libro? Probabilmente sì.
Ti serve a qualcosa? Probabilmente no. Forse ti serve un po' di più quello che ti ho riportato nel mio post precedente.
"rossiii":
Consideriamo il limite:
$ lim_{x \to 0} (2/3−frac{sin(x)}{x}) $
stima o limite notevole? Perché?
Indifferente: puoi usare l'una o l'altro, il risultato è sempre $-1/3 $
"rossiii":
Ho capito il perché un termine sopravvive rispetto ad un altro ma, come sei riuscito ad avere queste conclusione così rapide sugli infinitesimi?
Riguardati la definizione di infinitesimi dello stesso ordine. Non sono certo un fenomeno, in pratica ho solo usato ben noti limiti notevoli.
"rossiii":
con cosa potrei stimare $(1+1/f(x))^{f(x)}$
Già visto sopra:
$ lim_{f(x) \to \pm infty} frac{(1 + 1/f(x))^{f(x)}}{e} = lim_{f(x) \to \pm infty} frac{n(x)}{d(x)} = 1 \implies (1 + frac{1}{f(x)})^{f(x)} $ [tex]\sim[/tex]$ e $ per $f(x) \to \pm infty $
Anche i limiti notevoli che non risultano $1$ possono essere facilmente ricondotti alla definizione che probabilmente hai sul tuo testo. Esempi:
$ lim_{x \to 0} frac{1 - cos(x)}{x^2} = 1/2 \implies lim_{x \to 0} frac{1 - cos(x)}{x^2/2} = 1 \implies 1 - cos(x) $ [tex]\sim[/tex]$ 1/2 x^2 $ per $x \to 0 $
$ lim_{x \to 0} frac{(1 + x)^p - 1}{x} = p \implies lim_{x \to 0} frac{(1 + x)^p - 1}{px} = 1 \implies (1 + x)^p - 1 $[tex]\sim[/tex] $ p x $ per $x \to 0 $
Ciò detto, concordo con dissonance sul fatto che l'argomento non meriti così tanta importanza. Però se hai ancora qualche dubbio siamo qui...
Non mi interrogavo sul fatto se mi servisse o meno, ne se fosse interessante, noioso, o soltanto speculativo. Nel mio ultimo intervento ho spiegato molto bene da dove vengono tutti i miei dubbi.
Comunque arrivati a questo punto, per me è un inesattezza parlare dei limiti notevoli e intenderli TUTTI indiscriminatamente come equivalenze asintotiche, semplicemente perché questo è falso. Io non sarà una cima, ma la definizione di equivalenza asintotica è chiara come chiaro è il fatto che non tutti i limiti notevoli la rispettano.
Il fatto che si possano ricondurre alla definizione cambiando il risultato non li rende tali. Quindi sinceramente non capisco perché riferirsi a loro per ricavare le stime asintotiche.
Comunque ti ringrazio davvero tanto per la pazienza dimostratami @pilloeffe
Comunque arrivati a questo punto, per me è un inesattezza parlare dei limiti notevoli e intenderli TUTTI indiscriminatamente come equivalenze asintotiche, semplicemente perché questo è falso. Io non sarà una cima, ma la definizione di equivalenza asintotica è chiara come chiaro è il fatto che non tutti i limiti notevoli la rispettano.
Il fatto che si possano ricondurre alla definizione cambiando il risultato non li rende tali. Quindi sinceramente non capisco perché riferirsi a loro per ricavare le stime asintotiche.
Comunque ti ringrazio davvero tanto per la pazienza dimostratami @pilloeffe
"rossiii":
Il fatto che si possano ricondurre alla definizione cambiando il risultato
Occhio che questo non è vero, non si è cambiato il risultato, ma solo scritto diversamente il limite notevole...
Dato che si ha
$ lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^n = e $
nulla ci impedisce di dividere primo e secondo membro per un numero diverso da zero come $ e$:
$ lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^n = e \implies frac{ lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^n}{e} = e/e \implies lim_{n \to +\infty} frac{(1 + 1/n)^n}{e} = 1 $
Poi se mi dici che scritto in quest'ultima forma non l'hai mai visto e/o ti serve a poco, questo è un altro discorso e potrei anche essere d'accordo...
"rossiii":
Comunque arrivati a questo punto, per me è un inesattezza parlare dei limiti notevoli e intenderli TUTTI indiscriminatamente come equivalenze asintotiche, semplicemente perché questo è falso. Io non sarà una cima, ma la definizione di equivalenza asintotica è chiara come chiaro è il fatto che non tutti i limiti notevoli la rispettano.
“Falso” non è una categoria assoluta in Matematica, ma va sempre rapportata ad una definizione o ad un sistema di assiomi.
Quindi, quello che puoi dire in questo caso è: stante la definizione che ho, non tutti i limiti notevoli sono interpretabili come equivalenze asintotiche.
Il fatto che si possano ricondurre alla definizione cambiando il risultato non li rende tali.
Perché no?
È ovvio che \(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}\ x^2\) stante la tua definizione... Quindi? Dov’è il problema?
Basta modificare la definizione, il che non costituisce reato.
Quindi sinceramente non capisco perché riferirsi a loro per ricavare le stime asintotiche.
Perché si può e funziona.
P.S.: Ma comunque:
\[
\lim_{x\to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad \Leftrightarrow\quad \lim_{x\to +\infty} x\ \log\left( 1 + \frac{1}{x}\right) = 1\; ,
\]
quindi anche il limite di Nepero fornisce un’equivalenza asintotica, ma per un’altra funzione.
"gugo82":
..È ovvio che \(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}\ x^2\) stante la tua definizione... Quindi? Dov’è il problema?
Basta modificare la definizione, il che non costituisce reato.
Il problema era che coincideva con la mia, non con quella universalmente condivisa!
"gugo82":
stante la definizione che ho, non tutti i limiti notevoli sono interpretabili come equivalenze asintotiche.
Che è ESATTAMENTE il motivo per il quale ho aperto questa discussione. Grazie per aver riassunto 4 pagine in una frase. Evidentemente il mio modo di espormi fa acqua da tutte le parti.
"pilloeffe":
Occhio che questo non è vero, non si è cambiato il risultato, ma solo scritto diversamente il limite notevole...
Dato che si ha
$ lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^n = e $
nulla ci impedisce di dividere primo e secondo membro per un numero diverso da zero come $ e$:
$ lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^n = e \implies frac{ lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^n}{e} = e/e \implies lim_{n \to +\infty} frac{(1 + 1/n)^n}{e} = 1 $
Quando matematica e magia nera si incontrano!
Scherzo ovviamente! Grazie mille @piloeffe per aver avuto la pazienza di evidenziarmi anche questa banalità. Non credo mi servisse altro che evidenziare una cosa così banale. A questo punto sono convinto nel dire che tutti i limiti notevoli sono equivalenze asintotiche, senza ombra di dubbio @pilloeffe mi hai convinto.
Rimane comunque il fatto che è necessario grattare un pelo la superficie per accorgersene e che se non te lo spiega nessuno, ogni dubbio è lecito (per i tonti come me si intende ovvio!)
"rossiii":
Quando matematica e magia nera si incontrano!
Beh, magari proprio magia nera no, però è vero che non concepisco la Matematica come scritta sulla pietra ed immutabile, ma fluida come l'acqua. In questo caso potevi disporre di due strade:
1) tenerti la definizione che compare sul tuo testo ed adattare i limiti notevoli di conseguenza, oppure
2) modificare la definizione nel senso già citato da dissonance e gugo82 in modo da farci rientrare i limiti notevoli scritti nel consueto modo che ben conosci.
Non è che la sostanza cambi, perché alla fin fine le stime asintotiche che ottieni e che in pratica si usano sono quelle che ti ho riportato nei riquadri di uno dei miei post iniziali.
"rossiii":
ogni dubbio è lecito (per i tonti come me si intende ovvio!)
Beh, adesso non ti sminuire troppo, all'inizio è normale avere molti dubbi, specialmente se uno ci ragiona su quello che legge...
Concludo con due citazioni:
"Solo gli stupidi non hanno dubbi!". "Ne sei sicuro?". "Certo, non ho dubbi!". (Luciano De Crescenzo)
Solo due cose sono infinite, l'universo e la stupidità umana, e non sono sicuro della prima.
(attribuita ad Albert Einstein)
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