Limite notevole
Salve, dovrei calcolare questo limite:
$\lim_{x\to +\infty} (\frac{x^2+x+2}{x^2+1})^{2x+3}$
utilizzando i limiti notevoli. Non mi sembra che questo limite notevole sia presente fra quelli dimostrati dal mio professore e presente nella tabella che ci ha fornito, ad ogni modo, credo sia questo:
$\lim_{x\to +\infty} (1+\frac{a}{x})^x = e^a$
Non riesco però a "manipolare" la funzione per ricondurmi a questo caso. Potete darmi un aiutino? Grazie mille!
$\lim_{x\to +\infty} (\frac{x^2+x+2}{x^2+1})^{2x+3}$
utilizzando i limiti notevoli. Non mi sembra che questo limite notevole sia presente fra quelli dimostrati dal mio professore e presente nella tabella che ci ha fornito, ad ogni modo, credo sia questo:
$\lim_{x\to +\infty} (1+\frac{a}{x})^x = e^a$
Non riesco però a "manipolare" la funzione per ricondurmi a questo caso. Potete darmi un aiutino? Grazie mille!
Risposte
Ciao @francyiato !
Provo a risponderti. Una strada che mi viene in mente per risolvere quel limite sfruttando i limiti notevoli ed in particolare quello da te indicato (o meglio il più generale $lim_(f(x) -> infty) (1+a/f(x))^f(x)=e^a$) è la seguente:
$lim_(x-> infty) ((x^2+x+2)/(x^2+1))^(2x+3)=lim_(x-> infty) ((x^2+1+x+1)/(x^2+1))^(2x+3)=lim_(x-> infty) (1+(x+1)/(x^2+1))^(2x+3)=lim_(x-> infty) (1+1/((x^2+1)/(x+1)))^(2x+3)$
a questo punto ci occorre che l'esponente sia pari al denominatore in parentesi, per cui lo facciamo semplicemente comparire moltiplicando e dividendo l'esponente: $lim_(x-> infty) (1+1/((x^2+1)/(x+1)))^((x^2+1)/(x+1)(x+1)/(x^2+1)(2x+3))=lim_(x-> infty) [(1+1/((x^2+1)/(x+1)))^((x^2+1)/(x+1))]^(((2x+3)(x+1))/(x^2+1))$. Il limite in parentesi quadra è il limite notevole di cui sopra pari a $e$ e l'esponente della parentesi quadra restituisce, invece, il valore $2$, per cui il limite, in definitiva, vale $e^2$.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro. In caso contrario non esitare a chiedere e, come sempre,
Saluti
Provo a risponderti. Una strada che mi viene in mente per risolvere quel limite sfruttando i limiti notevoli ed in particolare quello da te indicato (o meglio il più generale $lim_(f(x) -> infty) (1+a/f(x))^f(x)=e^a$) è la seguente:
$lim_(x-> infty) ((x^2+x+2)/(x^2+1))^(2x+3)=lim_(x-> infty) ((x^2+1+x+1)/(x^2+1))^(2x+3)=lim_(x-> infty) (1+(x+1)/(x^2+1))^(2x+3)=lim_(x-> infty) (1+1/((x^2+1)/(x+1)))^(2x+3)$
a questo punto ci occorre che l'esponente sia pari al denominatore in parentesi, per cui lo facciamo semplicemente comparire moltiplicando e dividendo l'esponente: $lim_(x-> infty) (1+1/((x^2+1)/(x+1)))^((x^2+1)/(x+1)(x+1)/(x^2+1)(2x+3))=lim_(x-> infty) [(1+1/((x^2+1)/(x+1)))^((x^2+1)/(x+1))]^(((2x+3)(x+1))/(x^2+1))$. Il limite in parentesi quadra è il limite notevole di cui sopra pari a $e$ e l'esponente della parentesi quadra restituisce, invece, il valore $2$, per cui il limite, in definitiva, vale $e^2$.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro. In caso contrario non esitare a chiedere e, come sempre,
Saluti
Ciao @BayMax! Grazie mille della risposta, sei stato veramente chiarissimo! Buona giornata 
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