Limite neperiano
Salve a tutti, ho il seguente limite:
$\lim_{n \to \infty}((n^4-3n^2+2n-1)/(-n^4+9n^3-2))^((n^4+3)/(n^3-1))$
Ho pensato di ricondurmi al limite notevole neperiano facendo come segue:
$\lim_{n \to \infty}(((n^4-3n^2)/(-n^4+9n^3-2))+((2n-1)/(-n^4+9n^3-2)))^n$
da cui:
$\lim_{n \to \infty}(-1+(2/-n^3))^n$
A questo punto non riesco più a procedere, come posso fare? Grazie.
$\lim_{n \to \infty}((n^4-3n^2+2n-1)/(-n^4+9n^3-2))^((n^4+3)/(n^3-1))$
Ho pensato di ricondurmi al limite notevole neperiano facendo come segue:
$\lim_{n \to \infty}(((n^4-3n^2)/(-n^4+9n^3-2))+((2n-1)/(-n^4+9n^3-2)))^n$
da cui:
$\lim_{n \to \infty}(-1+(2/-n^3))^n$
A questo punto non riesco più a procedere, come posso fare? Grazie.
Risposte
E se invece provassi a considerare l'esponenziale del logaritmo?
Grazie per la risposta. Potresti spiegarti meglio per favore? Grazie.
Credo che intenda di riscrivere la tua funzione in questo modo: $$e^{\ln(f(x))}$$ questo è infatti il modo più comune di affrontare la forma di indecisione $1^{\infty}$
Avevo capito allora. Quindi avrei:
$\lim_{n \to \infty}e^(ln((n^4-3n^2+2n-1)/(-n^4+9n^3-2))^((n^4+3)/(n^3-1)))$
che, sfruttando le proprietà dei logaritmi e facendo delle operazioni, diventa:
$\lim_{n \to \infty}e^(nln(-1)$
Giusto così? A questo punto come procedo? Grazie.
$\lim_{n \to \infty}e^(ln((n^4-3n^2+2n-1)/(-n^4+9n^3-2))^((n^4+3)/(n^3-1)))$
che, sfruttando le proprietà dei logaritmi e facendo delle operazioni, diventa:
$\lim_{n \to \infty}e^(nln(-1)$
Giusto così? A questo punto come procedo? Grazie.
A questo punto so $ln(-1) = i \pi$ però non saprei cosa fare con la $n$ accanto al logaritmo 
forse qualcun'altro può aiutarti meglio?
forse qualcun'altro può aiutarti meglio?
Nessuno che possa darmi qualche suggerimento? Grazie.
Io farei così:
$ \lim_{n \to \infty}((n^4-3n^2+2n-1)/(-n^4+9n^3-2))^((n^4+3)/(n^3-1)) = \lim_{n \to \infty}(-(n^4-3n^2+2n-1)/(+n^4-9n^3+2))^((n^4+3)/(n^3-1)) = \lim_{n \to \infty}(-1)^((n^4+3)/(n^3-1))((n^4-3n^2+2n-1)/(+n^4-9n^3+2))^((n^4+3)/(n^3-1)) = \lim_{n \to \infty}(-1)^((n^4+3)/(n^3-1))(1+(9n^3-3n^2+2n-3)/(n^4-9n^3+2))^((n^4+3)/(n^3-1))$
Ora, dato che $(-1)^((n^4+3)/(n^3-1))$ esiste per ogni $n$, esso è equivalente a $(-1)^n$
Posto $a_n=(1+(9n^3-3n^2+2n-3)/(n^4-9n^3+2))^((n^4+3)/(n^3-1))$ ci si ritrova a calcolare:
$lim_(n->\infty)(-1)^na_n$ che esiste solo se $a_n \rightarrow 0$, altrimenti si ha una continua oscillazione tra valori positivi e negativi.
Per il calcolo del $lim_(n->\infty)a_n$ ti puoi rifare a quello che ti hanno insegnato qui:
$ \lim_{n \to \infty}((n^4-3n^2+2n-1)/(-n^4+9n^3-2))^((n^4+3)/(n^3-1)) = \lim_{n \to \infty}(-(n^4-3n^2+2n-1)/(+n^4-9n^3+2))^((n^4+3)/(n^3-1)) = \lim_{n \to \infty}(-1)^((n^4+3)/(n^3-1))((n^4-3n^2+2n-1)/(+n^4-9n^3+2))^((n^4+3)/(n^3-1)) = \lim_{n \to \infty}(-1)^((n^4+3)/(n^3-1))(1+(9n^3-3n^2+2n-3)/(n^4-9n^3+2))^((n^4+3)/(n^3-1))$
Ora, dato che $(-1)^((n^4+3)/(n^3-1))$ esiste per ogni $n$, esso è equivalente a $(-1)^n$
Posto $a_n=(1+(9n^3-3n^2+2n-3)/(n^4-9n^3+2))^((n^4+3)/(n^3-1))$ ci si ritrova a calcolare:
$lim_(n->\infty)(-1)^na_n$ che esiste solo se $a_n \rightarrow 0$, altrimenti si ha una continua oscillazione tra valori positivi e negativi.
Per il calcolo del $lim_(n->\infty)a_n$ ti puoi rifare a quello che ti hanno insegnato qui:
grazie per la risposta, è tutto chiaro. Valutando il limite di $a_n$ mi viene 1. Come è la questione a questo punto? Scrivendo su wolfram infatti ottengo un $\e^(2i)$ e così via...
Grazie.
Grazie.
Se $a_n \rightarrow 0$ allora anche tutto il limite va a 0. Wolfram ti fornisce quel risultato perché considera il campo complesso dove $sqrt(-1)$ ha significato. Prova a limitarti al campo reale
Ok grazie mille...Quindi è giusto dire che nel campo reale è impossibile? Grazie ancora.
Se $a_n$ non tende a 0 il limite non esiste, se $a_n ->0$ il limite esiste e vale 0
Grazie infinite!
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