Limite logaritmo naturale fratto con coseno e seno

[Nymeriia]

$lim_(x->0)ln(2-cosx)/sin^2x = [0/0]$

Hopital $=lim_(x->0)sinx* (1/(2-cosx))/(2sinxcosx) = lim_(x->0)(sinx/(2-cosx))/(2sinxcosx)$

A questo punto sostituendo 0 torna tutt'altro che 1/2, il quale sarebbe la soluzione... dove ho sbagliato?

[Frink1]

Perché verrebbe tutt'altro? Sostituisci e semplifica con attenzione e viene proprio $1/2$.

[Nymeriia]

Allora credo di aver sbagliato a considerare i valori dopo la sostituzione.. potresti indicarmeli? Potrebbe sembrare banale, ma sono i primi esercizi che faccio

[Frink1]

Intanto perché non provi a semplificare un po' quella doppia frazione? Prova a scriverla bene, con numeratore e denominatore separati. Le sostituzioni sono quelle trigonometriche, $\sin(0)=0$ e $\cos(0)=1$, queste le sai, non le hai sbagliate nel trovare la forma indeterminata...

[@melia]

$(sinx/(2-cosx))/(2sinxcosx)=sinx/(2-cosx)*1/(2sinxcosx )= sinx/((2-cosx)*(2sinxcosx))=1/(2cosx *(2-cos x))$ adesso sostituendo 0 alla $x$, prima della semplificazione ti avrebbe dato ancora una forma indeterminata $0/0$, ottieni $1/(2 cos0*(2-cos 0))=1/(2*1*(2-1))=1/2$

[mati.brunetti37]

Innanzitutto non c'era bisogno di utilizzare Hopital, ma semplicemente gli asintotici.
Al numeratore viene logaritmo(1+(x^2)/2) (uso asintotico coseno di x per x che tende a 0) e al denominatore x^2(uso asintotico seno per x tendente a 0). Quindi al numeratore diventa (x^2)/2(uso asintotico logaritmo)... semplifica con il denominatore e ti rimane 1/2.

[Nymeriia]

Ecco, era il senx a numeratore che mi "disturbava"... grazie mille a tutti

[francicko]

Concncordo con @Kastighos.
Può essere risolto in modo immediato con gli asintotici, infatti $log(2-cosx)=log(1+(1-cosx))$ è asintotico ad $1-cosx$ nell'intorno $x=0$, $sin^2(x)$ è asintotico ad $x^2$ sempre nell'intorno $x=0$, quindi il limite dato è equivalente al noto limite notevole $(1-cosx)/(x^2)$ che da come risultato $1/2$.