Limite in forma indeterminata
Buonasera 
Ho un limite che non riesco a risolvere:
$lim_(x->2)(((x^2)-4)(log(x-2)))$ Non riesco a ricondurlo a qualche limite notevole e nemmeno a usare de l'hopital (in questa forma cmq non si può usare) Un aiutino?
Ho un limite che non riesco a risolvere:
$lim_(x->2)(((x^2)-4)(log(x-2)))$ Non riesco a ricondurlo a qualche limite notevole e nemmeno a usare de l'hopital (in questa forma cmq non si può usare) Un aiutino?
Risposte
Non è sicuramente la via migliore, ma puoi provare con $t=x-2$...
$lim_(x->2)(x^2-4) * log(x-2)$
Sostituisci:
$x^2 - 4 = 1/z$ (1)
Per $x -> 2$, $z ->oo$
Scriviamo la relazione (1) come segue, prendendo il logaritmo di ambo i membri:
$- log(z)/[log (x + 2) + log( x - 2)] = 1$
Introduciamo una seconda variabile moltiplicando per l'espressione appena scritta (moltiplicando, quindi, per 1):
$lim_(x->2) log( x - 2 )/z * 1 $ ( e $z -> oo$ )
$lim_(x->2) - log( x - 2 )/z * log(z)/[log (x + 2) + log( x - 2)] $ ( e $z -> oo$ )
$lim_(x->2) - log(z)/z * log( x - 2 )/[log (x + 2) + log( x - 2)] $ ( e $z -> oo$ )
Per $ z -> oo $, $log(z)/z -> 0$
Per $ x -> 2 $, $ log( x - 2 )/[log( x - 2) + log (x + 2)] -> 1$
Il limite è $0$.
Forse lo si poteva fare molto più semplicemente, ma così dovrebbe essere giusto.
Sostituisci:
$x^2 - 4 = 1/z$ (1)
Per $x -> 2$, $z ->oo$
Scriviamo la relazione (1) come segue, prendendo il logaritmo di ambo i membri:
$- log(z)/[log (x + 2) + log( x - 2)] = 1$
Introduciamo una seconda variabile moltiplicando per l'espressione appena scritta (moltiplicando, quindi, per 1):
$lim_(x->2) log( x - 2 )/z * 1 $ ( e $z -> oo$ )
$lim_(x->2) - log( x - 2 )/z * log(z)/[log (x + 2) + log( x - 2)] $ ( e $z -> oo$ )
$lim_(x->2) - log(z)/z * log( x - 2 )/[log (x + 2) + log( x - 2)] $ ( e $z -> oo$ )
Per $ z -> oo $, $log(z)/z -> 0$
Per $ x -> 2 $, $ log( x - 2 )/[log( x - 2) + log (x + 2)] -> 1$
Il limite è $0$.
Forse lo si poteva fare molto più semplicemente, ma così dovrebbe essere giusto.
[mod="Paolo90"]
Seneca, come ti ha già detto Steven una volta, la tua disponibilità e cordialità sono molto ben accette su questo forum, ma sarebbe meglio non fornire agli utenti soluzioni pronte e confezionate da copiare sul quaderno. Meglio insegnare a ragionare. Il mio non è un rimprovero, sia inteso, ma solo un cordiale invito.
Spero di non offenderti e che il messaggio sia chiaro.
Grazie.
[/mod]
In ogni caso, a proposito del limite sono dell'idea che la sostituzione che ho indicato sopra sia più veloce... che ne pensate?
Seneca, come ti ha già detto Steven una volta, la tua disponibilità e cordialità sono molto ben accette su questo forum, ma sarebbe meglio non fornire agli utenti soluzioni pronte e confezionate da copiare sul quaderno. Meglio insegnare a ragionare. Il mio non è un rimprovero, sia inteso, ma solo un cordiale invito.
Spero di non offenderti e che il messaggio sia chiaro.
Grazie.
[/mod]
In ogni caso, a proposito del limite sono dell'idea che la sostituzione che ho indicato sopra sia più veloce... che ne pensate?
Paolo, ho pensato prima di postare. Il mio non era un suggerimento ma proprio una spiegazione. Un procedimento alternativo per risolvere i limiti a cui gli studenti raramente fanno ricorso. Perciò era necessario la spiegazione completa, con l'augurio che questa risoluzione non venga pedissequamente ricopiata sul quaderno a cervello spento. Se così dovesse avvenire, sono dell'idea che il problema non sia mio, ma dello studente.
"Seneca":
Paolo, ho pensato prima di postare. Il mio non era un suggerimento ma proprio una spiegazione. Un procedimento alternativo per risolvere i limiti a cui gli studenti raramente fanno ricorso. Perciò era necessario la spiegazione completa, con l'augurio che questa risoluzione non venga pedissequamente ricopiata sul quaderno a cervello spento. Se così dovesse avvenire, sono dell'idea che il problema non sia mio, ma dello studente.
No, il problema è del forum, che non vuole dare alibi controproducenti agli studenti.
Sinceramente non ho capito molto bene cosa hai fatto Seneca Per Paolo90: con t=x-2 non riesco lo stesso a cavarne un ragno dal buco... Domani ci ritorno su cmq... Ovviamente lo devo capire se no non ha senso anche perchè glielo devo spiegare al prof. quello che ho fatto (o che non ho fatto 
) A presto una soluzione...
Per Paolo90: con t=x-2 non riesco lo stesso a cavarne un ragno dal buco... Domani ci ritorno su cmq... Ovviamente lo devo capire se no non ha senso anche perchè glielo devo spiegare al prof. quello che ho fatto (o che non ho fatto ) A presto una soluzione...
"Fioravante Patrone":
No, il problema è del forum, che non vuole dare alibi controproducenti agli studenti.
La mia, ribadisco, era una spiegazione. Sarebbe stata un'altra faccenda se lo studente avesse scritto "non ho tempo per fare i compiti per casa, mi basta che me ne facciate un paio della seguente pagina".
Non voglio cominciare una polemica sulla mia idea di studente che aspira ad un livello di cultura e di ragionamento infimo, giacché la gestione del forum non è affidata alla mia persona e le mie opinioni su tale questione devono sottostare al regolamento preesistente. Saluti.
"Kevinvek":
Sinceramente non ho capito molto bene cosa hai fatto Seneca
$x^2 - 4 = 1/z$
Kevinvek, tu hai la possibilità di introdurre un'altra variabile nel tuo limite. Con la sostituzione detta sopra, ottieni:
$"limite" log( x - 2 )/z $ ( per $ x -> 2 $ e $z -> oo$ )
Ti è comodo così, una sostituzione parziale, poiché esplicitare la $x$ per sostituirla nell'argomento del logaritmo risulterebbe abbastanza sconveniente.
Non hai risolto l'indeterminazione, è evidente. Ma dalla relazione che hai stabilito fra la variabile $z$ e la variabile $x$ puoi ricavare una cosa interessante. prendi i logaritmi:
$log(x^2 - 4) = log(1/z)$
$log(x - 2) + log(x + 2) = - log(z)$
Dividi per $- log(z)$:
$[log(x - 2) + log(x + 2)]/log(z) = 1$
$log(z)/[log(x - 2) + log(x + 2)] = 1$
Ebbene, hai scoperto che l'espressione $log(z)/[log(x - 2) + log(x + 2)]$ vale $1$; sei d'accordo?
Moltiplicando la funzione "mista" (quella con le due variabili, per intenderci $log( x - 2 )/z$) per quest'espressione è come se moltiplicassimo per $1$, percui non cambieremmo niente. Sei d'accordo?
$"lim" [ log( x - 2 )/z * 1 ] = "lim" [ log( x - 2 )/z * log(z)/[log(x - 2) + log(x + 2)] ]$ ( per $ x -> 2 $ e $z -> oo$ )
Riordinando i termini sotto il segno di limite e applicando il th. del limite di un prodotto:
$lim_( x -> 2) log( x - 2 )/[log(x - 2) + log(x + 2)] * lim_( z -> oo) - log(z)/z $
A questo punto dovresti essere in grado di risolvere i due limiti.
Allora ragazzi alla fine ho risolto il limite con De L'Hopital. Prima l'ho scritto nella forma indeterminata $oo/oo$ così: $lim_(x->2)((ln(x-2))/(1/((x^2)-4)))$ .A questo punto basta che mi calcolo le derivate del numeratore e del denomintaore, semplifico $x-2$, sostituisco 2 a x e il limite risulta 0. Prima avevo scritto $log$ qui invece l'ho risolto usando $ln$ ma il risultato non cambia lo stesso se fate la prova. Questa è sicuramente la maniera più breve per la risoluzione. Comunque sono interessato anche al metodo usato da Seneca. Non riesco a capire come $[log(x-2)+log(x+2)]/log(z)=1$ Poi non dovrebbe essere $-log(z)$ ? Se faccio le sostituzioni mi risulta una forma indeterminata $oo/oo$ . Spero di aver scritto bene...
Hai ragionissima. Ci vuole un segno $-$ che ho dimenticato per strada.
Al di là del sempiterno teorema di De L'Hopital, che qui ben si presta al caso, ti interessa chiarire le idee intorno alla risoluzione che ho postato ieri?
Non è un procedimento complicato, anche se di primo acchito può risultare tale.
Tu operi una sostituzione parziale, $x^2 - 4 = 1/z$ e lasciamo intatto l'argomento del logaritmo (che, si capisce, è scomodo da sostituire).
Otteniamo così un nuovo limite.
$lim log( x - 2 )/z $
$per_( x -> 2, z -> oo )$
Il limite è ancora in forma indeterminata, ma le due variabili sono legate da una ben precisa relazione: $x^2 - 4 = 1/z$
Se prendiamo il logaritmo di ambo i membri e dividiamo per $- log(z)$ otteniamo la seguente espressione:
$- log(z)/[log(x - 2) + log(x + 2)] = 1$
Ritornando al limite, noi possiamo sfruttare il fatto che $log(z)/[log(x - 2) + log(x + 2)]$ sia $1$, moltiplicando, sotto il segno di limite, l'espressione $log( x - 2 )/z$ per $1$; ossia per $log(z)/[log(x - 2) + log(x + 2)]$ ( $=1$), dal momento che questa uguaglianza è stata ricavata dalla relazione(sostituzione) che lega le due variabili. Nota che la funzione ( $log( x - 2 )/z$ ) non cambia moltiplicando per un'espressione uguale ad $1$.
$lim log( x - 2 )/z * 1 $
$per_( x -> 2, z -> oo )$
$lim [ log( x - 2 )/z ] * [- log(z)/[log(x - 2) + log(x + 2)] ]$
$per_( x -> 2, z -> oo )$
Riordinando un po' le cose:
$lim [-log(z)/z ] * [ log( x - 2 )/[log(x - 2) + log(x + 2)] ]$
$per_( x -> 2, z -> oo )$
Ovvero:
$lim_(z ->oo) [-log(z)/z ] * lim_(x->2) [ log( x - 2 )/[log(x - 2) + log(x + 2)] ]$
Ora ti chiedo, cosa non ti è proprio chiaro?
Al di là del sempiterno teorema di De L'Hopital, che qui ben si presta al caso, ti interessa chiarire le idee intorno alla risoluzione che ho postato ieri?
Non è un procedimento complicato, anche se di primo acchito può risultare tale.
Tu operi una sostituzione parziale, $x^2 - 4 = 1/z$ e lasciamo intatto l'argomento del logaritmo (che, si capisce, è scomodo da sostituire).
Otteniamo così un nuovo limite.
$lim log( x - 2 )/z $
$per_( x -> 2, z -> oo )$
Il limite è ancora in forma indeterminata, ma le due variabili sono legate da una ben precisa relazione: $x^2 - 4 = 1/z$
Se prendiamo il logaritmo di ambo i membri e dividiamo per $- log(z)$ otteniamo la seguente espressione:
$- log(z)/[log(x - 2) + log(x + 2)] = 1$
Ritornando al limite, noi possiamo sfruttare il fatto che $log(z)/[log(x - 2) + log(x + 2)]$ sia $1$, moltiplicando, sotto il segno di limite, l'espressione $log( x - 2 )/z$ per $1$; ossia per $log(z)/[log(x - 2) + log(x + 2)]$ ( $=1$), dal momento che questa uguaglianza è stata ricavata dalla relazione(sostituzione) che lega le due variabili. Nota che la funzione ( $log( x - 2 )/z$ ) non cambia moltiplicando per un'espressione uguale ad $1$.
$lim log( x - 2 )/z * 1 $
$per_( x -> 2, z -> oo )$
$lim [ log( x - 2 )/z ] * [- log(z)/[log(x - 2) + log(x + 2)] ]$
$per_( x -> 2, z -> oo )$
Riordinando un po' le cose:
$lim [-log(z)/z ] * [ log( x - 2 )/[log(x - 2) + log(x + 2)] ]$
$per_( x -> 2, z -> oo )$
Ovvero:
$lim_(z ->oo) [-log(z)/z ] * lim_(x->2) [ log( x - 2 )/[log(x - 2) + log(x + 2)] ]$
Ora ti chiedo, cosa non ti è proprio chiaro?
I passaggi logici li ho capiti. Quello che non ho capito è perchè $-log(z)/log(x-2)+log(x+2)=1$ Come fai a dire che fa 1? Ad ogni modo anche i 2 limiti finali a cui sei arrivato sono sempre forme indeterminate. Mi sta sfuggendo qualcosa?
ho sbagliato a scrivere la formula comunque quella là
Non mi è chiaro perché sia stato ignorato il suggerimento di Paolo90:
con la sostituzione $t=x-2$ il limite diventa
$\lim_{t\to 0} (t+4) t \log(t) = 0$.
Si usa la conoscenza del limite $\lim_{t\to 0} t\log t = 0$, ma questo è stato assunto anche negli altri procedimenti proposti.
con la sostituzione $t=x-2$ il limite diventa
$\lim_{t\to 0} (t+4) t \log(t) = 0$.
Si usa la conoscenza del limite $\lim_{t\to 0} t\log t = 0$, ma questo è stato assunto anche negli altri procedimenti proposti.
"gac":
Non mi è chiaro perché sia stato ignorato il suggerimento di Paolo90:
con la sostituzione $t=x-2$ il limite diventa
$\lim_{t\to 0} (t+4) t \log(t) = 0$.
Si usa la conoscenza del limite $\lim_{t\to 0} t\log t = 0$, ma questo è stato assunto anche negli altri procedimenti proposti.
Qualcuno che mi capisce... GRAZIE...
Non conosco questo tipo di limite $lim_(t->0)(tlogt=0)$ Però studiandolo mi viene sempre o forma indeterminata o $-oo$ se considero $log(t^2)$
Per calcolare il [tex]$\lim_{t\to 0^+} t\cdot \ln t$[/tex] prova a fare la sostituzione [tex]t=e^{-x}[/tex] ed a ricordare come diverge l'esponenziale.
Per verificare che $lim_(t rarr 0^+) t log t =0 $ trasformalo come $log t/(1/t) $ che è una forma indeterminata del tipo $[oo/oo]$ .
Puoi quindi applicare la regola di De L'Hopital e ottenere subito che il limite è $0$.
Puoi quindi applicare la regola di De L'Hopital e ottenere subito che il limite è $0$.
Con De L'Hopital risulta anche in questo caso ma mi risultava anche applicandolo già all'inizio senza fare il cambiamento di variabile. Comunque mi sto rendendo conto che cercare metodi alternativi a De L'Hopital in questo caso diventa troppo artificioso anche perchè cambiare 2 volte la variabile non mi sembra il caso.
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