Limite funzione trigonometrica

[lollocava]

Ciao a tutti,
come da titolo mi sono bloccato nella risoluzione di un limite contenente funzioni trigonometriche:
$ lim_(x -> a) [sen(x) - sen(a)]/(x-a) $
credo serva un cambio di variabile che non sono in grado di fare.
vi ringrazio in anticipo e spero non sia troppo noioso !!

(risultato = $ cos(a) $ )

[cooper1]

puoi usare il teorema di de l'Hopital

[lollocava]

"cooper":puoi usare il teorema di de l'Hopital

ti ringrazio per il suggerimento ma, se non è necessario, preferirei capire come si risolve senza hopital

[cooper1]

sinceramente non saprei come farlo altrimenti.

[axpgn]

... che poi qui De L' Hopital ci casca a "fagiuolo" ...

[cooper1]

"axpgn":... che poi qui De L' Hopital ci casca a "fagiuolo" ...

in che senso?

[axpgn]

Nel senso che "più semplice di così, non si può" ... ... sembra fatto apposta ...

[cooper1]

[francicko]

Se non si vuole usare Hopital, si pone $t=(x-a) $ da cui $x=(t+a)$, il nostro limite diventa $lim_(t->0)(sin(t+a)-sina)/t $, applicando le note formule di addizione del seno , si ha:
$lim_(t->0)(sintcosa+costsina-sina)/t $ $=lim_(t->0)(sintcosa+sina-sina)/t $ $=lim_(t->0)(sintcosa)/t $ $=cosa×lim_(t->0)sint/t =cosa×1=cosa$

[lollocava]

"francicko":Se non si vuole usare Hopital, si pone $t=(x-a) $ da cui $x=(t+a)$, il nostro limite diventa $lim_(t->0)(sin(t+a)-sina)/t $, applicando le note formule di addizione del seno , si ha:
$lim_(t->0)(sintcosa+costsina-sina)/t $ $=lim_(t->0)(sintcosa+sina-sina)/t $ $=lim_(t->0)(sintcosa)/t $ $=cosa×lim_(t->0)sint/t =cosa×1=cosa$

Grazie mille francicko, è esattamente quello che cercavo

[axpgn]

Ma perché complicarsi la vita? C'è qualche esigenza specifica?

[cooper1]

concordo con axpgn. più immediato e meno soggetto ad errori (se applicabile).

[consec]

La scrittura $lim_(\x to \a) (sen(x)-sen(a))/(x-a)$ non ti ricorda nulla? E se la scrivo come $lim_(\x to \x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$? Il limite è esattamente la definizione di derivata nel punto.

[axpgn]

Eh, ma ... questa è una finezza ...

[francicko]

Infatti non e' altro che l'usuale dimostrazione della derivata della funzione seno, dove $x-a $ rappresenta l'incremento.

[Indrjo Dedej]

Le formule di prostaferesi, no?