Limite funzione seno
Ciao a tutti, sto cercando una possibile soluzione a questo limite (e al suo fratello con il coseno) che non implichi l'uso di $d/dx$.
Il limite è:
$\lim_{x \to a}frac{sin x - sin a}{x - a}$
e il suo fratello:
$\lim_{x \to a}frac{cos x - cos a}{x - a}$
non riesco a trovare una soluzione... mi aiutate?
Il limite è:
$\lim_{x \to a}frac{sin x - sin a}{x - a}$
e il suo fratello:
$\lim_{x \to a}frac{cos x - cos a}{x - a}$
non riesco a trovare una soluzione... mi aiutate?
Risposte
Poni $t = x - a$ e usa le formule di prostaferesi.
$lim_(t -> 0) (sin( t + a) - sin(a))/t = lim_(t -> 0) (sin( t + a ) - sin(a))/t = lim_(t -> 0) ( 2 cos( (t + a + a)/2 ) sin( t/2 ) )/t$
$lim_(t -> 0) (sin( t + a) - sin(a))/t = lim_(t -> 0) (sin( t + a ) - sin(a))/t = lim_(t -> 0) ( 2 cos( (t + a + a)/2 ) sin( t/2 ) )/t$
Anche senza prostaferesi, ma solo con la formula di addizione:
$lim_(t -> 0) (sin( t + a) - sin(a))/t = lim_(t -> 0) (sin( t + a ) - sin(a))/t =$
$= lim_(t->0) (sint*cosa+cost*sina -sina)/t=cosa *lim_(t->0) (sint)/t+sina * lim_(t->0)(cost-1)/t$
$lim_(t -> 0) (sin( t + a) - sin(a))/t = lim_(t -> 0) (sin( t + a ) - sin(a))/t =$
$= lim_(t->0) (sint*cosa+cost*sina -sina)/t=cosa *lim_(t->0) (sint)/t+sina * lim_(t->0)(cost-1)/t$
grazie ad entrambi, per questioni mnemoniche preferisco Gi8 e le formule di addizione 
le prostaferesi non mi entreranno mai in testa 
Grazie grazie, mi avete risolto un dubbio bello grosso ora vado tranquillo!
le prostaferesi non mi entreranno mai in testa Grazie grazie, mi avete risolto un dubbio bello grosso ora vado tranquillo!
Ed io che volevo essere - elegante...! 
eh ma adesso ho un altro problema...
il limite:
$\lim_{x \to 1}(1 - x)tg (frac{pi x}{2})$
Ho provato sia con le formule di bisezione sulla tangente, sia sostituendo alla tangente la forma in seno su coseno. In qualsiasi caso non sono riuscito a togliere il $(1-x)$ iniziale....in questo caso sono completamente senza idee, ho appena provato a sostituire $t = 1-x$ e arrivo a una cosa tipo:
$\lim_{t \to 0} (t (frac{cos(1-t)}{sin(1-t)}))$
ma non so andare avanti
il limite:
$\lim_{x \to 1}(1 - x)tg (frac{pi x}{2})$
Ho provato sia con le formule di bisezione sulla tangente, sia sostituendo alla tangente la forma in seno su coseno. In qualsiasi caso non sono riuscito a togliere il $(1-x)$ iniziale....in questo caso sono completamente senza idee, ho appena provato a sostituire $t = 1-x$ e arrivo a una cosa tipo:
$\lim_{t \to 0} (t (frac{cos(1-t)}{sin(1-t)}))$
ma non so andare avanti
dal primo post non ho capito se non puoi o non vuoi usare le derivate.
peccato perché quest'ultimo sarebbe molto semplice con de l'hopital.
\(\displaystyle\lim_{x\to1}(1-x)\tan\left(\frac{\pi x}2\right)=\lim_{x\to1}(1-x)\frac{\sin\left(\frac{\pi x}2\right)}{\cos\left(\frac{\pi x}2\right)}=\lim_{x\to1}\frac{1-x}{\cos\left(\frac{\pi x}2\right)}\lim_{x\to1}\sin\left(\frac{\pi x}2\right)=\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{D(1-x)}{D(\cos\left(\frac{\pi x}2\right))}=\lim_{x\to1}\frac{-1}{-\frac\pi2\sin\left(\frac{\pi x}2\right)}\)
non ho capito bene come sei arrivato a quel risultato che hai scritto, ma mi sembra sbagliato (visto che fa \(0\)
)
peccato perché quest'ultimo sarebbe molto semplice con de l'hopital.
\(\displaystyle\lim_{x\to1}(1-x)\tan\left(\frac{\pi x}2\right)=\lim_{x\to1}(1-x)\frac{\sin\left(\frac{\pi x}2\right)}{\cos\left(\frac{\pi x}2\right)}=\lim_{x\to1}\frac{1-x}{\cos\left(\frac{\pi x}2\right)}\lim_{x\to1}\sin\left(\frac{\pi x}2\right)=\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{D(1-x)}{D(\cos\left(\frac{\pi x}2\right))}=\lim_{x\to1}\frac{-1}{-\frac\pi2\sin\left(\frac{\pi x}2\right)}\)
non ho capito bene come sei arrivato a quel risultato che hai scritto, ma mi sembra sbagliato (visto che fa \(0\)
)
"kevinpirola":
eh ma adesso ho un altro problema...
il limite:
$\lim_{x \to 1}(1 - x)tg (frac{pi x}{2})$
Ho provato sia con le formule di bisezione sulla tangente, sia sostituendo alla tangente la forma in seno su coseno. In qualsiasi caso non sono riuscito a togliere il $(1-x)$ iniziale....in questo caso sono completamente senza idee, ho appena provato a sostituire $t = 1-x$ e arrivo a una cosa tipo:
$\lim_{t \to 0} (t (frac{cos(1-t)}{sin(1-t)}))$
ma non so andare avanti
Con la sostituzione $t=1-x$ hai che
$lim_(x->1)[(1-x)tg(pi/2*x)] = lim_(t->0)[t*tg(pi/2*(1-t))] = lim_(t->0)[t*tg(pi/2-pi/2*t)] = lim_(t->0)[t*ctg(pi/2*t)]=$
$ lim_(t->0)[t*(cos(pi/2*t))/sin(pi/2*t)]=lim_(t->0)[2/pi*(pi/2*t)*(cos(pi/2*t))/sin(pi/2*t)] =2/pi*lim_(t->0)[(pi/2*t)/sin(pi/2*t)*cos(pi/2*t)]=$
$2/pi*lim_(t->0)(pi/2*t)/sin(pi/2*t)*lim_(t->0)cos(pi/2*t)=2/pi*1*1=2/pi$.
Grazie ad entrambi, diciamo che non voglio usarlo perchè non l'ho ancora trattato sul libro, perciò vorrei ampliare la mente ad altri metodi, sennò alla fine mi riduco sempre ad usare de l'Hopital.
Sono chiarissimi entrambi gli esempi, nel secondo caso non mi era venuto in mente che $tg(pi/2 - x) = cotg(x)$
Sono chiarissimi entrambi gli esempi, nel secondo caso non mi era venuto in mente che $tg(pi/2 - x) = cotg(x)$
"kevinpirola":
Grazie ad entrambi, diciamo che non voglio usarlo perchè non l'ho ancora trattato sul libro, perciò vorrei ampliare la mente ad altri metodi, sennò alla fine mi riduco sempre ad usare de l'Hopital.
Lodevole.
OT: alle superiori si diceva che de l'hopital fosse "l'onda energetica forza 10" del calcolo dei limiti
lo so, ma se continuo ad usare solo quello quando mi si presentano le situazioni in cui non posso usarlo proverò sempre a fare affidamento su di quello, sbagliando.
ora ho sotto mano questo:
$\lim_{x \to 1}frac{1 - x^2}{sin (pi x)}$
ovviamente il risultato è $2/pi$, calcolato con de l'Hopital.
Ma non riesco ad arrivarci tramite strada normale.
Idem per:
$\lim_{x \to 0}frac{x-sin(2x)}{x+sin(3x)}$
EDIT: Secondo problema risolto. Moltiplico sopra e sotto per $1/x$, faccio i conti e trovo il risultato.
Suggerimenti?
ora ho sotto mano questo:
$\lim_{x \to 1}frac{1 - x^2}{sin (pi x)}$
ovviamente il risultato è $2/pi$, calcolato con de l'Hopital.
Ma non riesco ad arrivarci tramite strada normale.
Idem per:
$\lim_{x \to 0}frac{x-sin(2x)}{x+sin(3x)}$
EDIT: Secondo problema risolto. Moltiplico sopra e sotto per $1/x$, faccio i conti e trovo il risultato.
Suggerimenti?
Per il primo, farei la sostituzione $t=1-x$
Grande, risolto, una domanda, tu mi dici "farei la sostituzione"... ma con che criterio decido se sostituire o no? nel senso io ho pensato un qualcosa tipo:
"Io conosco i limiti notevoli di seno coseno tangente e co per $x->0$"
SE
x NON -> 0
allora sostituisco ad $x->a, a!=0$ una variabile t tale che $t->0$ e cioè $t=a-x$
così da avere possibilità di utilizzare i limiti notevoli.
é giusto come pensiero?
"Io conosco i limiti notevoli di seno coseno tangente e co per $x->0$"
SE
x NON -> 0
allora sostituisco ad $x->a, a!=0$ una variabile t tale che $t->0$ e cioè $t=a-x$
così da avere possibilità di utilizzare i limiti notevoli.
é giusto come pensiero?
Si. Conviene sempre riportarsi ad avere la variabile tendente a zero, proprio per sfruttare in modo più comodo i limiti notevoli
perfetto, grazie mille per la disponibilità, con gli utlimi aiuti ho completato almeno altri 5 esercizi su cui avevo dubbi
Riuppo perchè mi è saltato fuori un esercizio che mi ha messo in crisi e non riesco a risolvere:
$f(x) = sqrt(sin(x^2))$
di cui devo calcolare $f'_+(0)$ ed $f'_- (0)$
il risultato della derivata prima mi viene
$(x cos(x^2))/sqrt(sin(x^2))$ e dovrebbe essere corretta.
Di questo ora devo calcolare i due limiti, ma mi sono bloccato, ho provato varie soluzioni (moltiplicare per $x/x$ in modo da avere $\lim_{x \to 0} x^2/sin(x^2) = 1$ ma poi mi trovo con $cos(x^2)/x$ che a prima vista fa $\infty$, provo a fare de l'Hopital ma comunque sopra mi viene fuori $-2x sin(x^2)$ e il risultato viene sbagliato perchè deve essere +1...
non so come fare... aiutino?
$f(x) = sqrt(sin(x^2))$
di cui devo calcolare $f'_+(0)$ ed $f'_- (0)$
il risultato della derivata prima mi viene
$(x cos(x^2))/sqrt(sin(x^2))$ e dovrebbe essere corretta.
Di questo ora devo calcolare i due limiti, ma mi sono bloccato, ho provato varie soluzioni (moltiplicare per $x/x$ in modo da avere $\lim_{x \to 0} x^2/sin(x^2) = 1$ ma poi mi trovo con $cos(x^2)/x$ che a prima vista fa $\infty$, provo a fare de l'Hopital ma comunque sopra mi viene fuori $-2x sin(x^2)$ e il risultato viene sbagliato perchè deve essere +1...
non so come fare... aiutino?
"kevinpirola":e invece no
...$(x cos(x^2))/sin(x^2)$ e dovrebbe essere corretta...
scusa, ho sbagliato a copiare, ovviamente il seno è sotto radice quadrata, ora correggo
Ora puoi ricondurti a quel limite notevole che dicevi.
$\lim_(x->0^+) (x* \cos(x))/(\sqrt{\sin(x^2)})= \lim_(x->0^+) \sqrt(x^2/\sin(x^2)) * \cos(x)=...$
$\lim_(x->0^+) (x* \cos(x))/(\sqrt{\sin(x^2)})= \lim_(x->0^+) \sqrt(x^2/\sin(x^2)) * \cos(x)=...$
grrrrrr... hai ragione... che rabbia... non ho pensato invece di moltiplicare semplicemente di portare dentro alla radice...
che scemo...
gentilissimo, grazie mille!!
che scemo...
gentilissimo, grazie mille!!
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