Limite funzione seno
Ciao a tutti, sto cercando una possibile soluzione a questo limite (e al suo fratello con il coseno) che non implichi l'uso di $d/dx$.
Il limite è:
$\lim_{x \to a}frac{sin x - sin a}{x - a}$
e il suo fratello:
$\lim_{x \to a}frac{cos x - cos a}{x - a}$
non riesco a trovare una soluzione... mi aiutate?
Il limite è:
$\lim_{x \to a}frac{sin x - sin a}{x - a}$
e il suo fratello:
$\lim_{x \to a}frac{cos x - cos a}{x - a}$
non riesco a trovare una soluzione... mi aiutate?
Risposte
segui un attimo il mio ragionamento, scusa, perchè mi è venuto un dubbio.
io ho calcolato
$lim_{x \to 0^+} x cos(x^2)/sqrt(sin(x^2)) = lim_{x \to 0^+} sqrt(x^2/sin(x^2)) cos(x^2)$
il limite così è 1 sia per $0^+$ che per $0^-$ però io ho ipotizzato di dire "se tende a zero meno e io porto dentro la radice mi perdo il segno della x, che è negativa. Perciò il limite viene negativo, perciò è = -1"
ero convinto di questa affermazione, però adesso mi viene il dubbio che sia un po' troppo forzata, esiste un modo migliore per dimostrare che il limite destro e quello sinistro sono opposti?
io ho calcolato
$lim_{x \to 0^+} x cos(x^2)/sqrt(sin(x^2)) = lim_{x \to 0^+} sqrt(x^2/sin(x^2)) cos(x^2)$
il limite così è 1 sia per $0^+$ che per $0^-$ però io ho ipotizzato di dire "se tende a zero meno e io porto dentro la radice mi perdo il segno della x, che è negativa. Perciò il limite viene negativo, perciò è = -1"
ero convinto di questa affermazione, però adesso mi viene il dubbio che sia un po' troppo forzata, esiste un modo migliore per dimostrare che il limite destro e quello sinistro sono opposti?
Per [tex]x<0[/tex] hai che:
[tex]\frac{x\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}}= \frac{-|x|\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}}[/tex]
Ricordando che [tex]|x|=\sqrt{x^2}\implies |x|^2= x^2[/tex] pertanto sostituendo con furbizia nel limite sinistro in 0...
[tex]\frac{x\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}}= \frac{-|x|\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}}[/tex]
Ricordando che [tex]|x|=\sqrt{x^2}\implies |x|^2= x^2[/tex] pertanto sostituendo con furbizia nel limite sinistro in 0...
grazie mille, questo ovviamente lo devo usare SEMPRE quando tolgo una radice quadrata giusto?
A quale passaggio ti riferisci? Mi sono accorto solo ora che l'ultimo passaggio, seppur corretto, non è di alcuna utilità nella risoluzione dell'esercizio.
Per $x<0$
[tex]\frac{x\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}}=\frac{-|x|\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}}= -\sqrt{\frac{x^2}{\sin(x^2)}}\cos(x^2)[/tex]
A questo punto credo che il limite sia facile da risolvere.
Per $x<0$
[tex]\frac{x\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}}=\frac{-|x|\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}}= -\sqrt{\frac{x^2}{\sin(x^2)}}\cos(x^2)[/tex]
A questo punto credo che il limite sia facile da risolvere.
mi riferisco al considerare due casi diversi il limite quando porto dentro x alla radice, poichè in un caso considero che x sia negativo e nell'altro positivo, giusto?
mi spiego
Quando vado a portare dentro una variabile a una radice dovrò sempre trovarmi con 2 strade da percorrere, una che tiene conto della variabile nel caso positivo e una che tiene conto della variabile nel caso negativo. Giusto?
mi spiego
Quando vado a portare dentro una variabile a una radice dovrò sempre trovarmi con 2 strade da percorrere, una che tiene conto della variabile nel caso positivo e una che tiene conto della variabile nel caso negativo. Giusto?
Certamente! Dovrai agire a seconda dei casi, ricordando che quando hai a che fare con il limite destro in 0, lavori implicitamente con intorni del tipo
$V(0, r)^+=\{x\in \mathbb{R}: 00$
nei quali la funzione assume una certa forma (hai x positive, non ci sono problemi nel passaggio sotto il segno di radice).
Mentre quando hai a che fare con il limite sinistro, lavori negli intorni sinistri di zero:
$V(0, r)^{-}=\{x\in \mathbb{R}: -r0$
in questo caso la forma della funzione verrà modificata (hai x negative, pertanto devi giocare un po' con i moduli, perché le radici ripudiano i numeri negativi ).
E' un po' più chiaro? Tutto ruota intorno alla definizione di limite destro e sinistro
$V(0, r)^+=\{x\in \mathbb{R}: 0
nei quali la funzione assume una certa forma (hai x positive, non ci sono problemi nel passaggio sotto il segno di radice).
Mentre quando hai a che fare con il limite sinistro, lavori negli intorni sinistri di zero:
$V(0, r)^{-}=\{x\in \mathbb{R}: -r
in questo caso la forma della funzione verrà modificata (hai x negative, pertanto devi giocare un po' con i moduli, perché le radici ripudiano i numeri negativi ).
E' un po' più chiaro? Tutto ruota intorno alla definizione di limite destro e sinistro
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