Limite funzione a 2 variabili
Salve!
mi trovo in difficoltà a verificare la continuità nell'origine di tale funzione:
$(2cos(x^(1/3)y)+x^(2/3)y^2-2)/(x^4y^4)$
ho eseguito cosi:
$(x^(2/3)y^2)/(x^4y^4)[-2(1-cos(x^(1/3)y))/(x^(2/3)y^2)+1]$
sicchè il limite sembrerebbe una forma indeterminata 0 per infinito.....
qualcuno sarebbe cosi gentile da illuminarmi per saxe quale strada devo procedere x poter infine stabilire l'eventuale continuità nell'origine di tale funzione? vi ringrazio anticipatamente!
mi trovo in difficoltà a verificare la continuità nell'origine di tale funzione:
$(2cos(x^(1/3)y)+x^(2/3)y^2-2)/(x^4y^4)$
ho eseguito cosi:
$(x^(2/3)y^2)/(x^4y^4)[-2(1-cos(x^(1/3)y))/(x^(2/3)y^2)+1]$
sicchè il limite sembrerebbe una forma indeterminata 0 per infinito.....
qualcuno sarebbe cosi gentile da illuminarmi per saxe quale strada devo procedere x poter infine stabilire l'eventuale continuità nell'origine di tale funzione? vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
grazie a molti x avermi risposto...
forse dovevo essere meno gentile x essere aiutata.... visto che con la presunzione si ottiene ciò che uno vuole....
forse dovevo essere meno gentile x essere aiutata.... visto che con la presunzione si ottiene ciò che uno vuole....
Ciao!
Prima ho letto il tuo post ma, ancora, non ho studiato l'argomento... (Penso di iniziarlo a breve
)
Non saprei come aiutarti ma sono sicuro che qualcuno verrà a risolvere i tuoi problemi!
Sei nel forum giusto!
Non mollare,
Ciao!
Prima ho letto il tuo post ma, ancora, non ho studiato l'argomento... (Penso di iniziarlo a breve
)Non saprei come aiutarti ma sono sicuro che qualcuno verrà a risolvere i tuoi problemi!
Sei nel forum giusto!
Non mollare,
Ciao!
Un espediente utile in un caso come questo è ricorrere al noto sviluppo in serie della funzione coseno…
$cos z= 1-z^2/2+z^4/24-z^6/720+… $ (1)
Ponendo $z=x^(1/3)*y$ [perché no?…] il termine in coseno al numeratore diviene…
$2*cos (x^(1/3)*y) = 2-x^(2/3)*y^2+(x^(4/3)*y^4)/12-(x^2*y^6)/360+…$ (2)
… per cui la funzione originaria diviene…
$f(x,y)= 1/(12*x^(8/3)) – y^2/(360*x^2)+…$ (3)
Se esaminiamo la (3) notiamo che per $(x,y)-> (0,0)$…
a) il primo termine [che non contiene la $y$…] tende a $+oo$ 0 a $-oo$ a seconda dei casi
b) il secondo termine non ha limite
c) i restanti termini tendono tutti a $0$
Ciò dovrebbe essere sufficiente per concludere la la funzione da te data non è continua in $(0,0)$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$cos z= 1-z^2/2+z^4/24-z^6/720+… $ (1)
Ponendo $z=x^(1/3)*y$ [perché no?…] il termine in coseno al numeratore diviene…
$2*cos (x^(1/3)*y) = 2-x^(2/3)*y^2+(x^(4/3)*y^4)/12-(x^2*y^6)/360+…$ (2)
… per cui la funzione originaria diviene…
$f(x,y)= 1/(12*x^(8/3)) – y^2/(360*x^2)+…$ (3)
Se esaminiamo la (3) notiamo che per $(x,y)-> (0,0)$…
a) il primo termine [che non contiene la $y$…] tende a $+oo$ 0 a $-oo$ a seconda dei casi
b) il secondo termine non ha limite
c) i restanti termini tendono tutti a $0$
Ciò dovrebbe essere sufficiente per concludere la la funzione da te data non è continua in $(0,0)$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
x lupogrigio: ti ringrazio, ma avevo optato x questa soluzione ieri sera tardi... e sono giunta alle tue stesse conclusioni....
ma la mia prof nn vuole che venga risolto in questo metodo.....
x Giova411
ma la mia prof nn vuole che venga risolto in questo metodo.....
x Giova411
ho sfruttato un altro limite notevole.... secondo voi è giusto questo procedimento o dico ca**ate già a prima mattina? 
$lim ((x,y)->(0,0))(2cos(x^(1/3)y)+x^(2/3)y^2-2)/(x^4y^4)$
$(x^(1/3)y)/(x^4y^4)[-2(1-cos(x^(1/3)y))/(x^(1/3)y)+(x^(2/3)y^2)/(x^(1/3)y)]<= (x^(2/3)y^2)/(x^4y^4)$
e quest'ultima tende ad infinito, tenedo conto che $lim ((x,y)->(0,0))(1-cos(x^(1/3)y))/(x^(1/3)y)=0$
in coclusione la funzione nn è continua nell'origine (e quindi non differenziabile..)
vi trovate?
$lim ((x,y)->(0,0))(2cos(x^(1/3)y)+x^(2/3)y^2-2)/(x^4y^4)$
$(x^(1/3)y)/(x^4y^4)[-2(1-cos(x^(1/3)y))/(x^(1/3)y)+(x^(2/3)y^2)/(x^(1/3)y)]<= (x^(2/3)y^2)/(x^4y^4)$
e quest'ultima tende ad infinito, tenedo conto che $lim ((x,y)->(0,0))(1-cos(x^(1/3)y))/(x^(1/3)y)=0$
in coclusione la funzione nn è continua nell'origine (e quindi non differenziabile..)
vi trovate?
"goldengirl":
grazie a molti x avermi risposto...
forse dovevo essere meno gentile x essere aiutata.... visto che con la presunzione si ottiene ciò che uno vuole....
... avrai anche ottenuto risposte ma non certo popolarità, qui dentro c'è gente che ha anche il doppio dei tuoi anni, non mi sembra proprio un bel modo di parlare. comunque ricordati chenessuno è pagato per risponderti, quindi niente ti è dovuto...
sicuramente niente mi è dovuto ma mi rode che molti qui con molta prepotenza vogliono avere a tutti i costi tutto lo svolgimento di un esercizio e molti rispondono: io ho postato una mia soluzione, x quanto nn fosse quella giusta e nessuno mi aveva dato retta....
la popolarità? questa la lascio a te, a me nn mi interessa proprio essere la diva qui dentro!
la popolarità? questa la lascio a te, a me nn mi interessa proprio essere la diva qui dentro!
È vero che alcuni propongono interi esercizi e altri rispondono (fra questi mi ci metto anche io, da entrambe le parti), ma dato che nessuno è pagato per rispondere, mi sembra fuori luogo dire "grazie per avermi risposto... etc..." se nessuno ha avuto voglia di dare un'occhiata al tuo problema.
se ironizzare su un tasto dolente in questo forum è fuori luogo.....
Ho detto quella frase perché il tuo intervento non mi è sembrato ironico, se mi sono sbagliato ti chiedo scusa.
"goldengirl":
grazie a molti x avermi risposto...
forse dovevo essere meno gentile x essere aiutata.... visto che con la presunzione si ottiene ciò che uno vuole....
è questo che non capisco, cosa vuol dire che si ottiene ciò che si vuole con la presunzione?
mi spiego meglio: siccome io ogni volta che ho chiesto mi hanno sempre risposto, potrei sentirmi offeso dal tuo intervento(che penso sia un modo di esternare la tua amarezza per non aver avuto risposta), in quanto non mi ritengo presuntuoso, il problema penso che sia un altro. non tutti hanno voglia di eseguire un esercizio, solo per il piacere di parlare di matematica. ci sono argomenti che destano più interesse e più risposte di altri. tu chiedi le cose gentilmente e le risposte le avrai, probabilmente sei stata sfortunata nel non aver ricevuto risposte perchè in quel momento c'erano molti topic che hanno destato più interesse. qui ci sono tre categorie di persone: quelli che hanno bisogno e chiedono e basta, gli appassionati che hanno bisogno per cose più avanzate ed aiutano gli altri quando possono, e quelli veramente acculturati che hanno piacere ad aiutare agli altri perchè amano la matematica e magari avrebbero desiderato un aiuto come questo quando erano studenti.
saluti
intendo dire che dovevo semplicemente mettere solo la funzione e chiedere a mo di comando di svolgerlo..... visto che in questo forum si usa spesso questo tono...
ma nn sono cosi: molte volte nn metto qui i miei problemi xk nn pretendo che siano gli altri (che tra l'altro nn conosco) ad aiutarmi.....
sono testarda a risolvere da me questi tipi di problemi, ma poichè all'università la prof nn si degna di una spiegazione xk ha altro da fare (!), nessuno era capace di risolverlo, mi sono trovata con le spalle al muro..... e ho chiesto gentilmente aiuto qui....
nn sentirti offeso se hai chiesto aiuto con gentilezza....
cmq chiudiamo qui la questione: sicuramente qui nnn posterò + se ho dei problemi del genere...
ma nn sono cosi: molte volte nn metto qui i miei problemi xk nn pretendo che siano gli altri (che tra l'altro nn conosco) ad aiutarmi.....
sono testarda a risolvere da me questi tipi di problemi, ma poichè all'università la prof nn si degna di una spiegazione xk ha altro da fare (!), nessuno era capace di risolverlo, mi sono trovata con le spalle al muro..... e ho chiesto gentilmente aiuto qui....
nn sentirti offeso se hai chiesto aiuto con gentilezza....
cmq chiudiamo qui la questione: sicuramente qui nnn posterò + se ho dei problemi del genere...
Sinceramente non vedo perché tu non voglia postare più i tuoi dubbi su questo forum...
xk tanto nn vengo preso in considerazione... x come sono fatta...
Per me ti sbagli, poi fa' un po' come ti pare...
"goldengirl":
xk tanto nn vengo preso in considerazione... x come sono fatta...
Vittimismo inutile. La tua reazione è ingiustificata perché erano passate solo 4-5 ore da quando avevi aperto il topic. Ci sono persone che aspettano una risposta per giorni, o altri che non la ricevono mai.
ok allora sparisco dalla situazione.
ciao, goldengirl, non te ne andare
è ancora troppo presto!
- da Taylor vediamo che:
$ 2 \cos (t) + t^2 -2$ è infinitesima (rispetto a $t$) di ordine 4 per $t -> 0$
- prendiamo $y = x ^{1/3}$. Al numeratore della funzione da studiare otteniamo:
$ 2 \cos (x^{2/3}) + (x^{2/3})^2 -2$ che quindi è infinitesima (rispetto a $x$) di ordine $4 * (2/3) = 8/3$ per $x -> 0$
- sempre con $y = x ^{1/3}$, al denominatore abbiamo:
$x^4 * (x^{1/3})^4 = x^{16/3}$
- pertanto, sulla "curva" $y = x^{1/3}$ il limite per $x -> 0$ è infinito
- quindi la funzione di due variabili data non può avere limite finito in $(0,0)$ e quindi non è prolungabile per continuità nell'origine (ovvero, non è mai continua nell'origine, comunque essa sia definita nell'origine)
s.e.o.
è ancora troppo presto!
- da Taylor vediamo che:
$ 2 \cos (t) + t^2 -2$ è infinitesima (rispetto a $t$) di ordine 4 per $t -> 0$
- prendiamo $y = x ^{1/3}$. Al numeratore della funzione da studiare otteniamo:
$ 2 \cos (x^{2/3}) + (x^{2/3})^2 -2$ che quindi è infinitesima (rispetto a $x$) di ordine $4 * (2/3) = 8/3$ per $x -> 0$
- sempre con $y = x ^{1/3}$, al denominatore abbiamo:
$x^4 * (x^{1/3})^4 = x^{16/3}$
- pertanto, sulla "curva" $y = x^{1/3}$ il limite per $x -> 0$ è infinito
- quindi la funzione di due variabili data non può avere limite finito in $(0,0)$ e quindi non è prolungabile per continuità nell'origine (ovvero, non è mai continua nell'origine, comunque essa sia definita nell'origine)
s.e.o.
No, GoldenGirl rimani! Questo Forum è uno strumento straordinario sia per chi chiede che per chi risponde!
(Se solo l'avessi scoperto prima!!!)
Mi son buttato proprio ora su questi limiti.
Toglietemi, perfavore, una curiosità:
$lim_{(x,y)->(0,0)} ((x^2-y^2) / (x^2+y^2))$
Perché, se ci si avvicina a $(0,0)$ lungo l'asse x, abbiamo che il $lim_(x->0) f(x,0) = 1$?
Si pone $y=0$ ok, ma poi (da ignorante sull'argomento) mi verrebbe da dire che tutto tende a zero con x che tende a zero... Che valutazione devo fare?
Perdonatemi, sono all'inizio. (Forse c'entra il fatto che la distanza fra due punti, in questo ambito, è data dal teorema del grande Pitagora?)
Vi ringrazio in anticipo!
(Se solo l'avessi scoperto prima!!!)
Mi son buttato proprio ora su questi limiti.
Toglietemi, perfavore, una curiosità:
$lim_{(x,y)->(0,0)} ((x^2-y^2) / (x^2+y^2))$
Perché, se ci si avvicina a $(0,0)$ lungo l'asse x, abbiamo che il $lim_(x->0) f(x,0) = 1$?
Si pone $y=0$ ok, ma poi (da ignorante sull'argomento) mi verrebbe da dire che tutto tende a zero con x che tende a zero... Che valutazione devo fare?
Perdonatemi, sono all'inizio. (Forse c'entra il fatto che la distanza fra due punti, in questo ambito, è data dal teorema del grande Pitagora?)
Vi ringrazio in anticipo!
uhm non vorrei dir boiate ma se $y=0$
$(x^2) / (x^2) = 1$
e quindi...
$(x^2) / (x^2) = 1$
e quindi...
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