Limite funzione a 2 variabili
Salve!
mi trovo in difficoltà a verificare la continuità nell'origine di tale funzione:
$(2cos(x^(1/3)y)+x^(2/3)y^2-2)/(x^4y^4)$
ho eseguito cosi:
$(x^(2/3)y^2)/(x^4y^4)[-2(1-cos(x^(1/3)y))/(x^(2/3)y^2)+1]$
sicchè il limite sembrerebbe una forma indeterminata 0 per infinito.....
qualcuno sarebbe cosi gentile da illuminarmi per saxe quale strada devo procedere x poter infine stabilire l'eventuale continuità nell'origine di tale funzione? vi ringrazio anticipatamente!
mi trovo in difficoltà a verificare la continuità nell'origine di tale funzione:
$(2cos(x^(1/3)y)+x^(2/3)y^2-2)/(x^4y^4)$
ho eseguito cosi:
$(x^(2/3)y^2)/(x^4y^4)[-2(1-cos(x^(1/3)y))/(x^(2/3)y^2)+1]$
sicchè il limite sembrerebbe una forma indeterminata 0 per infinito.....
qualcuno sarebbe cosi gentile da illuminarmi per saxe quale strada devo procedere x poter infine stabilire l'eventuale continuità nell'origine di tale funzione? vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
GRAZIE Chicco!
Uhhppps è vero... Che figuraccia.. Quindi devo ragionare anche qui come nei limiti ad 1 variabile??
Mi confondeva il fatto che la distanza fra due punti è valutata in modo diverso... Niente, continuerò a leggere l'argomento...
Uhhppps è vero... Che figuraccia.. Quindi devo ragionare anche qui come nei limiti ad 1 variabile??
Mi confondeva il fatto che la distanza fra due punti è valutata in modo diverso... Niente, continuerò a leggere l'argomento...
Se invece ti avvicini a $(0,0) $ stando sull'asse y ( $x= 0 )$ allora il limite è $ -y^2/y^2 = -1 $ ; quindi il limite non essite perchè se esiste è unico mentre troviamo due valori diversi.
Capito, non esiste. GRAzIE!
Scusate l'intrusione...
Buona serata a tutti!
Scusate l'intrusione...
Buona serata a tutti!
"Giova411":
Quindi devo ragionare anche qui come nei limiti ad 1 variabile??
precisamente! nel momento in cui fissi il valore dell'altra variabile vuol dire che ti muovi su un percorso "vincolato" in cui questa non gioca più! in pratica hai ridotto la dimensionalità del problema, ed il limite è su una sola variabile.
E' un po' il discorso delle derivate parziali..quando derivi rispetto ad una sola delle variabili le altre le consideri come se fossero costanti!
"Chicco_Stat_":
precisamente! nel momento in cui fissi il valore dell'altra variabile vuol dire che ti muovi su un percorso "vincolato" in cui questa non gioca più! in pratica hai ridotto la dimensionalità del problema, ed il limite è su una sola variabile.
E' un po' il discorso delle derivate parziali..quando derivi rispetto ad una sola delle variabili le altre le consideri come se fossero costanti!
Ti ringrazio tanto!
Sei stato chiarissimo! Forse + del libro che ho in mano in questo preciso momento!
uaaaahh arrossisco! hahah 
buono studio!!
buono studio!!
"Fioravante Patrone":
ciao, goldengirl, non te ne andare
è ancora troppo presto!
- da Taylor vediamo che:
$ 2 \cos (t) + t^2 -2$ è infinitesima (rispetto a $t$) di ordine 4 per $t -> 0$
- prendiamo $y = x ^{1/3}$. Al numeratore della funzione da studiare otteniamo:
$ 2 \cos (x^{2/3}) + (x^{2/3})^2 -2$ che quindi è infinitesima (rispetto a $x$) di ordine $4 * (2/3) = 8/3$ per $x -> 0$
- sempre con $y = x ^{1/3}$, al denominatore abbiamo:
$x^4 * (x^{1/3})^4 = x^{16/3}$
- pertanto, sulla "curva" $y = x^{1/3}$ il limite per $x -> 0$ è infinito
- quindi la funzione di due variabili data non può avere limite finito in $(0,0)$ e quindi non è prolungabile per continuità nell'origine (ovvero, non è mai continua nell'origine, comunque essa sia definita nell'origine)
s.e.o.
preziosissimo, io ho risolto in questa maniera ma la prof si ostina a dire che non dobbiamo fare in questo modo...
quando le chiedo come devo procedere lei non mi ha dato nemmeno un aiutino in merito..... nn ci capisco più nulla.... boh!
sinceramente, non capisco cosa voglia
a meno che (sadismo?) non ti chieda di dim che:
NON esiste $l \in RR$ t.c.:
$\lim_{\rho -> 0} $ sup$ { | f(\rho * cos(\theta), \rho * \sin(\theta)) - l | $ : $ \theta \in [0, 2 \pi] } = 0$
a meno che (sadismo?) non ti chieda di dim che:
NON esiste $l \in RR$ t.c.:
$\lim_{\rho -> 0} $ sup$ { | f(\rho * cos(\theta), \rho * \sin(\theta)) - l | $ : $ \theta \in [0, 2 \pi] } = 0$
semplicemente vuole che si dimostri se la funzione sia continua e differenziabile nell'origine... senza però applicare Taylor.... e nemmeno sfruttare i limiti notevoli.... 
eh, questi prof!
sicura di aver capito bene le "proibizioni"?
perché, se posso "capire" la proibizione per l'uso di Taylor,
non sfruttare i limiti notevoli è insensato in questo caso,
visto che c'è proprio un limite notevole da fare
e quindi esso verrà comunque fatto!!!
ciao
sicura di aver capito bene le "proibizioni"?
perché, se posso "capire" la proibizione per l'uso di Taylor,
non sfruttare i limiti notevoli è insensato in questo caso,
visto che c'è proprio un limite notevole da fare
e quindi esso verrà comunque fatto!!!
ciao
si ho capito bene le "proibizioni"....
appunto ho optato subito x i limiti notevi.... ma nn le va bene.....
sono sempre + convinta che nn lo sa manco lei come vuole essere risolto sto esercizio....
cmq proprio adesso ho parlato con una mia amica e dice che la prof vuole che venga eseguito applicando il teorema de l'Hopital.... il che mi suona molto strano....
appunto ho optato subito x i limiti notevi.... ma nn le va bene.....
sono sempre + convinta che nn lo sa manco lei come vuole essere risolto sto esercizio....
cmq proprio adesso ho parlato con una mia amica e dice che la prof vuole che venga eseguito applicando il teorema de l'Hopital.... il che mi suona molto strano....
anche a me
usare il teorema di de l'Hopital significa:
- usare la derivata del coseno, che viene quel che viene grazie ai limiti notevoli!
- ridursi al limite di sen x su x che è un limite notevole...
ciao
usare il teorema di de l'Hopital significa:
- usare la derivata del coseno, che viene quel che viene grazie ai limiti notevoli!
- ridursi al limite di sen x su x che è un limite notevole...
ciao
già...
... certo che di tipi strani si trovanno all'uni.....
... certo che di tipi strani si trovanno all'uni.....
Comunque, in generale (qui non saprei, direi che non conviene) si potrebbe anche vedere se vale il teorema
Se f è continua in $x_0$, allora per ogni successione $x_n->x_0$, si ha $f(x_n)->f(x_0)$
oppure facendo i limiti "opportunamente ristretti"
Se f è continua in $x_0$, allora per ogni successione $x_n->x_0$, si ha $f(x_n)->f(x_0)$
oppure facendo i limiti "opportunamente ristretti"
"amel":
Comunque, in generale (qui non saprei, direi che non conviene) si potrebbe anche vedere se vale il teorema di Weierstrass
Se f è continua in $x_0$, allora per ogni successione $x_n->x_0$, si ha $f(x_n)->f(x_0)$
oppure facendo i limiti "opportunamente ristretti"
il "problema" è dover dimostrare che la funzione sia continua nell'origine senza dover applicare:
Taylor
limiti notevoli
ma applicando il teorema de l'Hopital.... ma a me sembra una cretinata.....
io lo svolgo sfruttando i limiti notevoli se proprio le fa schifo Taylor.....
E se provassi ad usare il teorema che ho appena detto prendendo la successione $(x_n,y_n)=(-1/n,1/n)$ e riusando tale teorema grazie al fatto che la funzione coseno è continua?
@amel,
il tuo suggerimento non mi pare che elimini il problema
non basta la continuità del coseno
serve una stima degli ordini di infinitesimo
e non vedo come si scappi dall'usare (direttamente o indirettamente) i "limiti notevoli"
PS: così la caratterizzazione della continuità
mediante successioni, oltre che "teorema ponte"
,
viene anche chiamato "teorema di Weierstrass"?
è la prima volta che lo sento chiamare così!
il tuo suggerimento non mi pare che elimini il problema
non basta la continuità del coseno
serve una stima degli ordini di infinitesimo
e non vedo come si scappi dall'usare (direttamente o indirettamente) i "limiti notevoli"
PS: così la caratterizzazione della continuità
mediante successioni, oltre che "teorema ponte"
,viene anche chiamato "teorema di Weierstrass"?
è la prima volta che lo sento chiamare così!
Sì è vero mi confondevo con un altro teorema 
La mia idea su quella successione (che ora ho corretto perchè avevo scritto sbagliato) era buona: solo che funzionerebbe se al denominatore x avesse esponente dispari...
La mia idea su quella successione (che ora ho corretto perchè avevo scritto sbagliato) era buona: solo che funzionerebbe se al denominatore x avesse esponente dispari...
Ok, ho trovato una soluzione possibile che usa la continuità del coseno.
Se la funzione fosse continua in 0, allora, grazie alla restrizione $x=y^3$, dovrebbe esistere finito il limite:
$lim {y->0} (2cos(y^2)+y^4-2)/y^16$
Tale limite sicuramente però non esiste finito, infatti presa la successione $1/n$:
$n^16 (2cos(1/(n^2))+n^4-2)->+oo$
Che pasticcio, eh, chissà quanti errori sono riuscito a fare in questo post...
Lo svuoterò non appena sarà arrivato qualcuno che avrà smascherato la mia incapacità
Se la funzione fosse continua in 0, allora, grazie alla restrizione $x=y^3$, dovrebbe esistere finito il limite:
$lim {y->0} (2cos(y^2)+y^4-2)/y^16$
Tale limite sicuramente però non esiste finito, infatti presa la successione $1/n$:
$n^16 (2cos(1/(n^2))+n^4-2)->+oo$
Che pasticcio, eh, chissà quanti errori sono riuscito a fare in questo post...
Lo svuoterò non appena sarà arrivato qualcuno che avrà smascherato la mia incapacità
ehm... $x = y^3$ non è molto diverso da $y = x^{1/3}...
e inoltre tu non usi la continuità del coseno, ma il limite fondamentale che coinvolge il coseno...
no free lunch
e inoltre tu non usi la continuità del coseno, ma il limite fondamentale che coinvolge il coseno...
no free lunch
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