Limite forma indeterminata
Ragazzi non capisco come svolgere questo limite:
$ lim_(x -> -oo ) root(3)(x) e^(1+root(3)(x)) $
la soluzione è 0.
Probabilmente devo considerare la parte principale?
Grazie
$ lim_(x -> -oo ) root(3)(x) e^(1+root(3)(x)) $
la soluzione è 0.
Probabilmente devo considerare la parte principale?
Grazie
Risposte
esatto, la funzione è asintotica a $e^(x/3)$
Ciao
io l'ho pensata in questo modo:
la funzione $root(3)(x)$ è una funzione dispari, quindi la posso tranquillamente sostituirla con $-root(3)(-x)$
il tuo limite quindi diventa
$lim_(x -> -oo) -root(3)(-x)\cdot e^(1-root(3)(-x)) = -e\cdot lim_(x -> -oo) root(3)(-x)\cdot 1/e^(root(3)(-x))$
applicando la sostituzione $y = root(3)(-x)$, il tuo limite diventa
$ -e\cdot lim_(x -> -oo) root(3)(-x)\cdot 1/e^(root(3)(-x)) = -e \cdot lim_(y -> oo) y/e^y$
che ovviamente è una forma indeterminata del tipo $oo \cdot 0$ come tu stesso avevi trovato, ma sia $y$ che $e^y$ sono funzioni continue e derivabili, quindi possiamo applicare il teorema de l'Hopital e trasformare il limite del rapporto di funzioni in un limite del rapporto delle loro derivate ottenendo
$-e \cdot lim_(y -> oo) y/e^y = -e \cdot lim_(y -> oo) 1/e^y = -e \cdot 1/oo = 0$
che ne dici?
io l'ho pensata in questo modo:
la funzione $root(3)(x)$ è una funzione dispari, quindi la posso tranquillamente sostituirla con $-root(3)(-x)$
il tuo limite quindi diventa
$lim_(x -> -oo) -root(3)(-x)\cdot e^(1-root(3)(-x)) = -e\cdot lim_(x -> -oo) root(3)(-x)\cdot 1/e^(root(3)(-x))$
applicando la sostituzione $y = root(3)(-x)$, il tuo limite diventa
$ -e\cdot lim_(x -> -oo) root(3)(-x)\cdot 1/e^(root(3)(-x)) = -e \cdot lim_(y -> oo) y/e^y$
che ovviamente è una forma indeterminata del tipo $oo \cdot 0$ come tu stesso avevi trovato, ma sia $y$ che $e^y$ sono funzioni continue e derivabili, quindi possiamo applicare il teorema de l'Hopital e trasformare il limite del rapporto di funzioni in un limite del rapporto delle loro derivate ottenendo
$-e \cdot lim_(y -> oo) y/e^y = -e \cdot lim_(y -> oo) 1/e^y = -e \cdot 1/oo = 0$
che ne dici?
Perfetto! Grazie ragazzi
"feddy":
esatto, la funzione è asintotica a $e^(x/3)$
Scusami ma non capisco come hai fatto ad arrivare a questa equivalenza asintotica. Uso le serie di Taylor?
No, diciamo che ho considerato la parte principale, come tu hai detto nel primo messaggio. Il comportamente della funzione è determinato dall'esponenziale, quell'uno all'esponente possiamo trascurarlo, ci resta solo $e^{x^{1/3}}$.
Edit: evidentemente avevo sbagliato a scrivere, grazie della correzione.
Edit: evidentemente avevo sbagliato a scrivere, grazie della correzione.
"Summerwind78":
il tuo limite quindi diventa
$lim_(x -> -oo) -root(3)(-x)\cdot e^(1-root(3)(-x)) = -e\cdot lim_(x -> -oo) root(3)(-x)\cdot 1/e^(root(3)(-x))$
Ma probabilmente non serve neanche usare il teorema di De l'Hopital, già da quel passaggio possiamo applicare gli ordini degli infiniti e quindi, essendo che il denominatore tende a infinito più velocemente del numeratore, il limite farà 0. Giusto no?
non sono d'accordo invece con il fatto della oarte principale perché siamo di fronte a un prodotto
Ciao, si Hopital in effetti non è così necessario. A mio parere si possono usare entrambi i metodi
"Drenthe24":
non sono d'accordo invece con il fatto della oarte principale perché siamo di fronte a un prodotto
Ripropongo, essendo una moltiplicazione vale ugualmente quell'equivalenza asintotica? Mi riferisco ad $ e^(x^(1/3)) $ .
Volevo riprendere questo limite che non mi era chiaro, ho pensato che c'è un metodo molto più sbrigativo per risolvere l'esercizio e cioè usando l'ordine degli infinitesimi
$ x^(1/3)e^(1+x^(1/3) $ questa è la mia funzione e il limite tende a meno infinito
Il procedimento che io ho pensato è questo pongo t= $ x^(1/3) $ quindi il mio limite diventa:
$ te^(1+t $ che è equivalente a scrivere: $ e^(1+t)/(1/t) $ per t che tende a meno infinito sia numeratore che denominatore tendono a 0 sono cioè infinitesimi, quindi il tutto si riduce ad un confronto tra infinitesimi dove essendo il numeratore di grado maggiore il risultato sarà 0.
è corretto?
$ x^(1/3)e^(1+x^(1/3) $ questa è la mia funzione e il limite tende a meno infinito
Il procedimento che io ho pensato è questo pongo t= $ x^(1/3) $ quindi il mio limite diventa:
$ te^(1+t $ che è equivalente a scrivere: $ e^(1+t)/(1/t) $ per t che tende a meno infinito sia numeratore che denominatore tendono a 0 sono cioè infinitesimi, quindi il tutto si riduce ad un confronto tra infinitesimi dove essendo il numeratore di grado maggiore il risultato sarà 0.
è corretto?
Ciao Drenthe24,
Sì, a parte qui:
dove naturalmente non è $x^t $, ma $t$...
"Drenthe24":
è corretto?
Sì, a parte qui:
"Drenthe24":
quindi il mio limite diventa: $x^t e^{1 + t} $
dove naturalmente non è $x^t $, ma $t$...
si giusto, hai ragione grazie per la correzione;)
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