Limite forma indeterminata 0/0

[Izzo2]

Ho questo limite :$ lim_(x -> 0) (3-3^cosx)/(sqrt(cosx) -1) $.
Provo a procedere nel seguente modo: per il numeratore scompongo $3^cosx$ come $e^ cosx log3$.
Sviluppo questo con Taylor ottenendo $1+cosxlog3 + o(x)$ e quindi sopra ho: $lim_(x -> 0) (-1- cosx log3 +3)/(sqrt(cosx) -1)$
A questo punto sostituendo per $x->0$, al numeratore mi trovo $ 2- log3$, mentre al denominatore $0$. Il rapporto quindi risulta divergente, però il risultato deve essere $ -6 log3 $.
Potreste aiutarmi?

[ostrogoto1]

$ (3-3^(cosx))/(sqrt(cosx)-1)=(3-e^(ln3*cosx))/(sqrt(1-x^2/2+o(x^2))-1)=(3-e^((ln3)(1-x^2/2+o(x^2))))/(-x^2/4+o(x^2))=(3-3e^((-ln3)x^2/2+o(x^2)))/(-x^2/4+o(x^2))=(3(1-e^(-(ln3)x^2/2+o(x^2))))/(-x^2/4+o(x^2))=(3(ln3)x^2/2+o(x^2))/(-x^2/4+o(x^2))rarr-6ln3 $
per $ xrarr0 $

[Izzo2]

Grazie mille!!

[Sk_Anonymous]

Limite=
$=lim_{x->0}[-3\cdot (3^ {(cosx-1)}-1)/{(cosx-1)} cdot{(\sqrt{cosx}-1)(\sqrt{cosx}+1)}/{\sqrt{cosx}-1}]=$

$=-3\lim_{x->0}(3^ {(cosx-1)}-1)/{(cosx-1)}\cdot \lim_{x->0}(\sqrt{cosx}+1)=$

$=-3\cdot ln3\cdot2=-6ln3$

[francicko]

Oppure con gli asintotici e' immediato, $lim_(x->0)(3-3^(1-x^2/2))/(-x^2/4)=lim_(x->0) 2 ×(3-3^(1-x^2/2))/(-x^2/2)=lim_(x->0)(-3×2)((3^(-x^2/2)-1)/(-x^2/2))=-6log3$

[ostrogoto1]

@Francicko: praticamente e' il mio calcolo con lo sviluppo di Taylor...naturally
E al denominatore non dovrebbe venirti $ -x^2/4 $?

[francicko]

x@ostrogoto.
Hai perfettamente ragione, quello che dici e' piu' che giusto,
l'uso degli asintotici equivale allo sviluppo in serie di taylor sino al primo termine, supponiamo però, che non conosca lo sviluppo in serie di taylor, e voglio risolvere il limite senza complicare molto i calcoli nei casi in cui chiaramente e' possibile, l'uso degli asintotici e' uno strumento che puo' essere ricavato facilmente anche da un profano in materia come me,
mentre il polinomio di taylor bisogna conoscerlo.
Per quanto riguarda $sqrt(cosx)-1 $ e' asintotico ad $x^2/4$, Ho scritto male io.